分式的基本性质应用：约分、通分

1、分式的基本性质典型例题例1 下列分式的变形是否正确，为什么？（1） （2）例2 写出下列等式中的未知分子或未知分母。（1） （2）例3 不改变分式的值，将下列各分式中的分子和分母中的各项系数都化为整数.（1） （2）例4 不改变分式的值，使下列各分式中的分子、分母的最高次项系数为正数.（1） （2）例5 已知不论取什么数时，分式（）都是一个定值，求、应满足的关系式，并求出这个定值.例6 已知一个圆台的下底面是上底面的4倍，将圆台放在桌面上，桌面承受压强为P牛顿/，若将圆台倒放，则桌面受到的压强为多少？例7 不改变分式的值，使下列分式的分子、分母前都不含“”号：例8 不改变分式的值，使分式的分子

2、、分母中的多项式的系数都是整数例9 判定下列分式的变形是不是约分变形，变形的结果是否正确，并说明理由：（1）； （2）；（3）； （4）例10 化简下列各式：（1）； （2）； （3）参考答案例1 分析 分式恒等变形的根据是分式的基本性质，应该严格地用基本性质去衡量，是基本性质的生果组成部分，应特别注意.解 （1）已知分式中已隐含了，用分别乘以分式的分子、分母，分式的值不变，故（1）是正确的.（2）因为已知分式中，没限制，可以取任意数，当然也包括了，当分式的分子、分母都乘以时，分式没意义，故（2）是错误的.例2 分析 （1）式中等号两边的分母都是已知的，所以从观察分母入手，显然，是由乘以得到的

3、，由分式的基本性质，也要乘以，所以括号内应填（2）式中等号两边分子都已知，所以先观察分子，除以得到右边分子，按照分式的基本性质，故括号内应填解：（1）（2）例3 分析 要把分式的分子、分母中各项系数都化为整数，可根据分式的基本性质，将分子、分母都乘以一个恰当的不为零的数，怎样确定这个数呢？（1）中分子、分母中的各项系数是小数，这个数应是各项系数的最小公倍数.（2）中分子、分母中各项系数()是分数，这个数应该是各项系数的分母的最小公倍数，即5，2，4，3的最小公倍数60.解：（1）法1：原式 法2：原式 （2）原式说明 在将分式的分子、分母都乘以（或除以）同一个不为零的数时，要遍乘分子分母的每一

4、项，防止漏乘.例4 分析 （1）式中分子要变号，分母也要变号，所以应该同时改变分子、分母的符号.（2）式中分母需要变号，分子不需要变号，所以需要同时改变分母和分式本身的符号.解：（1）（2）例5 分析 在研究某些有关特值的数学问题时，我们可以不考虑一般值，而是直接利用取符合条件特殊值代入研究解决，这就是所谓的特殊值法.解：当时，时，不论取什么实数，是一个定值， 把代入原式，得、的关系为；定值为例6 解：设圆台的压力为G牛顿，下底面积为，上底面积为. 则,当圆台倒放时，桌面受到的压强为：(牛顿/)答：桌面受到的压强为牛/. 说明 运用分式知识，有助于解决物理中问题（1）； （2）； （3）； （

5、4）例7 分析 根据“分式的变号法则：分子、分母、分式的符号中，同时改变其中任意两个，分式的值不变”解：（1）同时改变分子和分式的符号，得 ；（2）同时改变分母和分式的符号，得 ；（3）先确定是分母的符号，再变号，得 ；（4）先确定是分子的符号，然后变号，得 说明 1分式中的分数线实际上起到了括号的作用如果分式的分子或分母是多项式，要把它看成是一个整体，考虑这个整体的符号，如（3），（4）题，千万不可误解成或；2对于（4）题，也可处理成的形式例8 分析 此分式分子中各系数的最小公倍数是6，分母中各系数的最小公倍数是10，而10和6的小公倍数是30于是可利用分式的基本性质：分子、分母同时乘以30

6、解：说明 1利用分式基本性质将分式的分子、分母化成整系数形式，体现了数学化繁为简的策略，并为分式作进一步处理，提供了便利条件2操作过程中，用数30的确定是问题的关键所在因此不仅要考虑到分子、分母，还要考虑分式，使化成整系数一次到位例9 分析 约分变形的前提是分子、分母有公因式解：（1）、（2）、（3）题的变形都不是约分，结果都是错误的（1）分式的分子和分母分别是一个整式，利用分式的基本性质，“除以一个整式”是对分子、分母的整体进行的而只对分子和分母中的某一项进行，就违背了分式基本性质的使用前提，所以是错误的（2）分式的分母是个平方和的形式，不能分解因此分子、分母没有公因式，它是最简分式故此题的

7、变形是毫无根据的（3）当分子、分母都是乘积的形式，才有约分的可能，而这里与是和的形式，因此不能进行约分正确的结果解法是：（4）此题是约分变形因此分母化成的形式，与分子约去公因式可得说明 1对于代数式的恒等变形形式多样，但每一种变形却是运用定义、定理，并根据法则规范操作，而绝不能随心所欲；2对（1）、（2）、（3）题的变形错误，实际上也可以举反例说明如（1）题：当，时，（2）、（3）题同理例10 分析 化简就是把分式的分子、分母中的公因式约去使其成为最简公式因此对分子、分母是单项式时候，先分别化成与公因式的乘积形式；对于多项式仍然要先分解因式解： （1）；（2）；（3）说明 1当分式中分子或分母的系数为负时，处理负号是首先要进行的2约分是实现化简分式的一种手段通过