分形几何中一些经典图形的Matlab画法

1、分形几何中一些经典图形的Matlab画法（1）Koch曲线程序koch.mfunction koch(a1,b1,a2,b2,n)%koch(0,0,9,0,3)%a1,b1,a2,b2为初始线段两端点坐标,n为迭代次数a1=0;b1=0;a2=9;b2=0;n=3;%第i-1次迭代时由各条线段产生的新四条线段的五点横、纵坐标存储在数组A、B中A,B=sub_koch1(a1,b1,a2,b2);for i=1:n for j=1:length(A)/5; w=sub_koch2(A(1+5*(j-1):5*j),B(1+5*(j-1):5*j); for k=1:4 AA(5*4*(j-1)

2、+5*(k-1)+1:5*4*(j-1)+5*(k-1)+5),BB(5*4*(j-1)+5*(k-1)+1:5*4*(j-1)+5*(k-1)+5)=sub_koch1(w(k,1),w(k,2),w(k,3),w(k,4); end end A=AA; B=BB;endplot(A,B)hold onaxis equal%由以(ax,ay),(bx,by)为端点的线段生成新的中间三点坐标并把这五点横、纵坐标依次分别存%储在数组A,B中function A,B=sub_koch1(ax,ay,bx,by)cx=ax+(bx-ax)/3;cy=ay+(by-ay)/3;ex=bx-(bx-ax

3、)/3;ey=by-(by-ay)/3;L=sqrt(ex-cx).2+(ey-cy).2);alpha=atan(ey-cy)./(ex-cx);if (ex-cx)<0 alpha=alpha+pi;enddx=cx+cos(alpha+pi/3)*L;dy=cy+sin(alpha+pi/3)*L;A=ax,cx,dx,ex,bx;B=ay,cy,dy,ey,by;%把由函数sub_koch1生成的五点横、纵坐标A,B顺次划分为四组,分别对应四条折线段中%每条线段两端点的坐标,并依次分别存储在4*4阶矩阵k中,k中第i(i=1,2,3,4)行数字代表第%i条线段两端点的坐标func

4、tion w=sub_koch2(A,B)a11=A(1);b11=B(1);a12=A(2);b12=B(2);a21=A(2);b21=B(2);a22=A(3);b22=B(3);a31=A(3);b31=B(3);a32=A(4);b32=B(4);a41=A(4);b41=B(4);a42=A(5);b42=B(5);w=a11,b11,a12,b12;a21,b21,a22,b22;a31,b31,a32,b32;a41,b41,a42,b42;图1 Von Koch曲线（2）Levy 曲线程序levy.mfunction levy(n)% levy(16),n为levy曲线迭代次

5、数%x1,y1,x2,y2为初始线段两端点坐标,nn为迭代次数n=16;x1=0;y1=0;x2=1;y2=0;%第i-1次迭代时由各条线段产生的新两条线段的三端点横、纵坐标存储在数组X、Y中X,Y=levy1(x1,y1,x2,y2);for i=1:n for j=1:length(X)/3 w=levy2(X(1+3*(j-1):3*j),Y(1+3*(j-1):3*j); XX(3*2*(j-1)+1:3*2*(j-1)+3),YY(3*2*(j-1)+1:3*2*(j-1)+3)=levy1(w(1,1),w(1,2),w(1,3),w(1,4); XX(3*2*(j-1)+3+1:

6、3*2*(j-1)+3+3),YY(3*2*(j-1)+3+1:3*2*(j-1)+3+3)=levy1(w(2,1),w(2,2),w(2,3),w(2,4); end X=XX; Y=YY;endplot(X,Y)hold onaxis equal%由以(x1,y1),(x2,y2)为端点的线段生成新的中间点坐标并把(x1,y1),(x2,y2)连同新点横、纵坐%标依次分别存储在数组X,Y中function X,Y=levy1(x1,y1,x2,y2)x3=1/2*(x1+x2+y1-y2);y3=1/2*(-x1+x2+y1+y2);X=x1,x3,x2;Y=y1,y3,y2;%把由函数

7、levy1生成的三点横、纵坐标X,Y顺次划分为两组,分别对应两条折线段中每条线%段两端点的坐标,并依次分别存储在2*4阶矩阵w中,w中第i(i=1,2)行数字代表第i条线段%两端点的坐标function w=levy2(X,Y)a11=X(1);b11=Y(1);a12=X(2);b12=Y(2);a21=X(2);b21=Y(2);a22=X(3);b22=Y(3);w=a11,b11,a12,b12;a21,b21,a22,b22;图2 Levy 曲线（3） 分形树程序tree.hfunction tree(n,a,b)% tree(8,pi/8,pi/8),n为分形树迭代次数%a,b为分

8、枝与竖直方向夹角%x1,y1,x2,y2为初始线段两端点坐标,nn为迭代次数n=8;a=pi/8;b=pi/8;x1=0;y1=0;x2=0;y2=1;plot(x1,x2,y1,y2)hold onX,Y=tree1(x1,y1,x2,y2,a,b);hold onW=tree2(X,Y);w1=W(:,1:4);w2=W(:,5:8);% w为2k*4维矩阵,存储第k次迭代产生的分枝两端点的坐标,% w的第i(i=1,2,2k)行数字对应第i个分枝两端点的坐标w=w1;w2;for k=1:n for i=1:2k X,Y=tree1(w(i,1),w(i,2),w(i,3),w(i,4)

9、,a,b); W(i,:)=tree2(X,Y); end w1=W(:,1:4); w2=W(:,5:8); w=w1;w2;end%由每个分枝两端点坐标(x1,y1),(x2,y2)产生两新点的坐标(x3,y3),(x4,y4),画两分枝图形,并把%(x2,y2)连同新点横、纵坐标分别存储在数组X,Y中function X,Y=tree1(x1,y1,x2,y2,a,b)L=sqrt(x2-x1)2+(y2-y1)2);if (x2-x1)=0 a=pi/2; else if (x2-x1)<0 a=pi+atan(y2-y1)/(x2-x1); else a=atan(y2-y1)

10、/(x2-x1); endendx3=x2+L*2/3*cos(a+b);y3=y2+L*2/3*sin(a+b);x4=x2+L*2/3*cos(a-b);y4=y2+L*2/3*sin(a-b);a=x3,x2,x4;b=y3,y2,y4;plot(a,b)axis equalhold onX=x2,x3,x4;Y=y2,y3,y4;%把由函数tree1生成的X,Y顺次划分为两组,分别对应两分枝两个端点的坐标,并存储在一维%数组w中function w=tree2(X,Y)a1=X(1);b1=Y(1);a2=X(2);b2=Y(2);a3=X(1);b3=Y(1);a4=X(3);b4=

11、Y(3);w=a1,b1,a2,b2,a3,b3,a4,b4;图3 分形树（4）IFS算法画Sierpinski三角形程序sierpinski_ifs.hfunction sierpinski_ifs(n,w1,w2,w3)%sierpinski_ifs(10000,1/3,1/3,1/3)%w1,w2,w3出现频率n=10000;w1=1/3;w2=1/3;w3=1/3;M1=0.5 0 0 0 0.5 0;M2=0.5 0 0.5 0 0.5 0;M3=0.5 0 0.25 0 0.5 0.5;x=0;y=0;% r为0,1区间内产生的n维随机数组r=rand(1,n);B=zeros(2

12、,n);k=1;% 当0<r(i)<1/3时,进行M1对应的压缩映射;% 当1/3=<r(i)<2/3时,进行M2对应的压缩映射;% 当2/3=<r(i)<1时,进行M3对应的压缩映射;for i=1:n if r(i)<w1 a=M1(1);b=M1(2);e=M1(3);c=M1(4);d=M1(5);f=M1(6); else if r(i)<w1+w2 a=M2(1);b=M2(2);e=M2(3);c=M2(4);d=M2(5);f=M2(6); else if r(i)<w1+w2+w3 a=M3(1);b=M3(2);e=M3

13、(3);c=M3(4);d=M3(5);f=M3(6); end end endx=a*x+b*y+e;y=c*x+d*y+f;B(1,k)=x;B(2,k)=y;k=k+1; end plot(B(1,:),B(2,:),'.','markersize',0.1)图4 Sierpinski三角形（5）IFS算法画Julia集程序julia_ifs.hfunction julia_ifs(n,cx,cy)% julia_ifs(100000,-0.77,0.08)% f(z)=z2+c,cx=real(c);cy=image(c);n=10000;cx=-0.7

14、7;cy=0.08;% z2+c=z0,x=real(z0);y=image(z0);x=1;y=1; B=zeros(2,n);k=1;% A为产生的服从标准正态分布的n维随机数组A=randn(1,n);for i=1:n wx=x-cx; wy=y-cy; if wx>0 alpha=atan(wy/wx); end if wx<0 alpha=pi+atan(wy/wx); end if wx=0 alpha=pi/2; end alpha=alpha/2; r=sqrt(wx2+wy2); if A(i)<0 r=-sqrt(r); else r=sqrt(r);

15、end x=r*cos(alpha); y=r*sin(alpha); B(1,k)=x; B(2,k)=y; k=k+1; endplot(B(1,:),B(2,:),'.','markersize',0.1)图5 Julia 集(6) 逃逸时间算法画Sierpinski垫片程序sierpinski.hfunction sierpinski(a,b,c,d,n,m,r)%sierpinski(0,0,1,1,12,200,200)%(a,b),(c,d)收敛区域左上角和右下角坐标,m为分辨率% n为逃逸时间,需要反复试探,r逃逸半径a=0;b=0;c=1;d=

16、1;n=12;m=200;r=200;B=zeros(2,m*m);w=1;for i=1:m x0=a+(c-a)*(i-1)/m; for j=1:m y0=b+(d-b)*(j-1)/m; x=x0; y=y0; for k=1:n if y>0.5 x=2*x; y=2*y-1; else if x>=0.5 x=2*x-1; y=2*y; else x=2*x; y=2*y; end if x2+y2>r break; end end if k=n B(1,w)=i; B(2,w)=j; w=w+1; end endendplot(B(1,:),B(2,:),

17、9;.','markersize',0.1)图6 Sierpinski三角形垫片(7) 元胞自动机算法画Sierpinski三角形程序² 一维元胞自动机sierpinski_ca1.hfunction sierpinski_ca1(m,n)%sierpinski_ca1(1000,3000)m=1000;n=3000;x=1;y=1;t=1;w=zeros(2,m*n);s=zeros(m,n);s(1,fix(n/3)=1;for i=1:m-1 for j=2:n-1 if (s(i,j-1)=1&s(i,j)=0&s(i,j+1)=0)|

18、(s(i,j-1)=0&s(i,j)=0&s(i,j+1)=1) s(i+1,j)=1; w(1,t)=x+3+3*j; w(2,t)=y+5*i; t=t+1; end endendplot(w(1,:),w(2,:),'.','markersize',1) 图7.1 一维元胞自动机画Sierpinski三角形² 二维元胞自动机sierpinski_ca2.hfunction sierpinski_ca2(m,n)%sierpinski_ca2(400,400)m=400;n=400;t=1;w=zeros(2,m*n);s=zero

19、s(m,n);s(m/2,n/2)=1;for i=m/2:-1:2,m/2:m-1 for j=n/2:-1:2,n/2:n-1 if mod(s(i-1,j-1)+s(i,j-1)+s(i+1,j-1)+s(i-1,j)+s(i+1,j)+s(i-1,j+1)+s(i,j+1)+s(i+1,j+1),2)=1 s(i,j)=1; w(1,t)=i; w(2,t)=j; t=t+1; end endendplot(w(1,:),w(2,:),'.','markersize',0.1)图7.2 二维元胞自动机画Sierpinski三角形(8) IFS算法画Helix曲线程序helix_ifs.hfunction helix_ifs(n,w1,w2,w3)%helix_ifs(20000,0.9,0.05,0.05)%w1,w2,w3为出现频率n=20000;w1=0.9;w2=0.05;w3=0.05;M1=0.787879 -0.424242 1.758647 0