专题跟踪检测直线与圆理

1、专题跟踪检测(十二)直线与圆一、全练保分考法一一保大分1.过点(3,1)作圆(x 1)2+ y2= r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为()A. 2x+ y 5 = 0B. 2x+ y 7= 0C. x 2y 5 = 0D. x 2y 7= 0解析：选B 过点(3,1)作圆(x 1)2+ y2= r2的切线有且只有一条，点(3,1)在圆(x 1)2+ y2= r2上，1 0 1圆心与切点连线的斜率k =尸=,切线的斜率为一2,则圆的切线方程为 y 1 = 2( x 3),即 2x+ y 7 = 0.2圆心在直线x+ 2y = 0上的圆C与y轴的负半轴相切，圆C截x轴所得的弦长为 2 6,

2、则圆C的标准方程为()A. (x 2 2)2 + (y +2)2= 8B. (x , 2)2+ (y+ 2 2)2= 8C. (x 2)2+ (y+ 2) 2= 8D. (x . 2)2+ (y+ 2) 2= 8解析：选A法一：设圆心为 r， 2 (r>0)，半径为r.由勾股定理(6)2+ | 2= r2, 解得 r = 2 2，圆心为(222)，圆 C 的标准方程为(x 2 2)2+ (y+ 2) 2= 8.法二：四个圆的圆心分别为(2 . 2, 2) , ( 2 , 2 2) , (2 , 2) , ( 2, 2),将它们逐一代入 x+ 2y= 0,只有A选项满足.3. 已知圆M x

3、2+ y2 2ay= 0( a>0)截直线x+ y = 0所得线段的长度是 2 2.则圆M与圆N： (x 1)2 + (y 1)2 = 1 的位置关系是()A.内切B.相交C.外切D.相离解析：选B由题意知圆M的圆心为(0 , a)，半径R= a,因为圆M截直线x + y= 0所得 线段的长度为2寸2,所以圆心M到直线x+ y= 0的距离d=寸a2 2( a>0)，解得a= 2,即圆M的圆心为(0,2)，又知圆N的圆心为(1,1)，半径r = 1,所以|MN = ,2,则R-r< . 2 <R+ r，所以两圆的位置关系为相交.4. 已知直线I : x ,3y + 6=

4、0与圆x2 + y2 = 12交于A, B两点，过A, B分别作I的垂 线与x轴交于C, D两点.贝U |CD =()A. 2 ：3C. 6B. 4 ：3D. 4解析：选D 法一：因为圆心(0,0)到直线x ：3y + 6= 0的距离d3,所以 |AB = 2 '12 32 = 2 ,：3,过 C作 CEL BD于 E,因为直所以|CD =ICEcos 30丨ABcos 302线I的倾斜角为30°,法二：由x /3y+ 6 = 0与x2+ y2= 12联立解得 A 3，,巳0,23),二AC的方程为 y ,；3= ：3(x + 3) , BD的方程为 y 2 .'3=

5、 .'3x,可得 C( 2,0) , Q2,0),所以 | CD =4.5.已知 A(0,3,b| , 32tP为圆C: x + y2 = 2x上的任意一点，贝忆ABP面积的最大值为()A.3.3 + 32B.C. 2D.2 3+ 2-"3解析：选A圆C的方程可化为(x 1)2+ y2= 1,因为 A(0, 3 '3) , B|,攀，所以 IAB =、 I 0 1+ 3|3 3 2= 3 ,直线 AB 的方程为，；3x+ y= 3 ,'3 ,所以圆心(1,0)至煩线AB的距离d= 应1 =V3.又圆C的半径为1,所以圆C上1+ 31的点到直线 AB的最大距离为

6、 ：3 + 1,故厶ABP面积的最大值为S.ax= |X('3 + 1) X 3= 3.3+ 326.已知等边三角形 OAB勺三个顶点都在抛物线 y2= 2x上，其中O为坐标原点，设圆 C 是 OAB勺外接圆(点C为圆心)，则圆C的方程为()IIIIA. (x 4) + y = 16B. (x+ 4) + y = 16C. x1+ (y 4)2= 16D. x1 + (y+ 4)2= 16III解析：选A法一：设A, B两点的坐标分别为 |, y1 , |, yi ,由题设知.；1 1 + y12y2 222 + y2=22y1y2 222 2 +y1 y2,B(6,2 由题设知x2

7、+ y1 = x2C在x轴上.解得 y1 = y2= 12,所以 A(6,2 ,B(6 , - 2)3)或 A(6 , - 2 .,一 2设圆心C的坐标为(r, 0)( r >0)，则r = 3X 6= 4,所以圆C的方程为(x 4)2+ y2= 16.法二：设 A, B两点的坐标分别为(X1, yj ,(X2, y2)(X1>0, X2>0),+ y2.又 y1= 2x1, y2 = 2x2, 故 x2 + 2x1 = x2 + 2X2,即(X1 X2) ( X1 + X2 + 2) = 0,由X1>0, X2>0,可知X1 = X2，故A, B两点关于x轴对称

8、，所以圆心设点C的坐标为(r, 0)( r >0)，则点A的坐标为 ，fr ,于是2= 2X扌，解得r=4，所以圆C的方程为(X 4)2+ y2= 16.7.设M N分别为圆O: X2 + y2 12y+ 34= 0和圆Q： (x 2)2+ y2= 4上的动点，贝U M N两点间的距离的取值范围是 .解析：圆O的方程可化为x2 + (y 6)2= 2,其圆心为 0(0,6)，半径1=2.圆Q的圆 心 Q(2,0)，半径2= 2,则 I0QI = ''36 + 4 = 2 10,则 I MNmax= 2 10 + 2+ ：2 , I MNmin= 2 10 2 .'

9、2，故M N两点间的距离的取值范围是 2 10 2 :'2, 2 10 + 2+ /2.答案：210 2 ：2, 2 10+ 2+ ；'2. . 2 2&过点P( 3,1) ,Qa,0)的光线经x轴反射后与圆x + y = 1相切，则a的值为.解析：点P( 3,1)关于x轴对称的点为 P' ( 3, 1),所以直线P' Q的方程为x(a+ 3)y a= 0,I - a|由题意得直线 P Q与圆x2 + y2= 1相切，所以一-22= 1,+ a+ 35解得a= 3.3答案：-59. 已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线I : y = x

10、1被圆C所截得的 弦长为2迈，则过圆心且与直线I垂直的直线的方程为 .解析：由题意，设所求的直线方程为 x + y + m= 0，圆心坐标为(a, 0)( a>0),则由题意知|a 1| 22.2- + 2 =(a- 1)，解得a= 3或一1(舍去)，故圆心坐标为(3,0),因为圆心(3,0)在所求的直线上,所以 3+ 0+ mi= 0,解得n=- 3,故所求的直线方程为 x + y- 3= 0.答案：x + y- 3= 010. (2018 全国卷n )设抛物线C： y11. (2018 成都模拟)在平面直角坐标系 xOy中，曲线 r： y = x mx+ 2nm mE R)与x= 4

11、x的焦点为F,过F且斜率为k( k>0)的直线I 与C交于A, B两点，| AB = 8.(1) 求I的方程；(2) 求过点A, B且与C的准线相切的圆的方程.解：(1)由题意得F(1,0) , I的方程为y= k(x 1)( k>0).设 A(x1, y" , B(x2, y2),=(x1 + 1) + (x2+ 1)=4k2+ 4由题设知4 k2 + 4y= k x 1 由2y = 4x'得 k2x2 (2 k2+ 4)x+ k2= 0.2A = 16k + 16>0 ,场丄2k2 + 4故 X1+ X22 .k所以 | AB = | AF + | BF

12、|解得k= 1或k= 1(舍去).因此I的方程为y= x 1. 由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y 2= (x 3),即 y = x+ 5.设所求圆的圆心坐标为(xo, yo),yo= X0+ 5 ,则2yx° +1 2x°+ 1=+ 16.2X0= 3 ,X0= 11 ,解得或y0= 2y0= 6.2222因此所求圆的方程为 (x 3) + (y 2) = 16 或(x 11) + (y+ 6) = 144.轴交于不同的两点 A B,曲线r与y轴交于点C.(1) 是否存在以AB为直径的圆过点 C?若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理

13、由.(2) 求证：过A B, C三点的圆过定点.解：由曲线 r： y= x2- m灶 2n(R),令 y = 0,得 x - m灶 2m= 0.设 A(xi,0) , 0X2,0),则可得A = m 8n>0,解得 m>8 或 rK0, xi+ X2= m XiX2= 2m令 x = 0,得 y = 2m 即 C(0,2 m .(1)若存在以AB为直径的圆过点 C,则刁C "BC = 0 ,得 xiX2 + 4nn= 0 ,即 2m 4m= 0 ,1所以m= 0(舍去)或m= 21所以m=,此时q0, 1), AB的中点M 4 , 0即圆心,半径r=|CM罟1 2217故

14、所求圆的方程为x + y = -.416(2)证明：设过A, B两点的圆的方程为2 2x + y mx Ey+ 2m= 0 ,将点C(0,2 m代入可得E= 1 2m所以过A, B, C三点的圆的方程为2 2x + y mx- (1 + 2m) y + 2m= 0 ,22整理得 x + y y mx + 2y 2) = 0.x = 0 , 可得y = 1422只x + y y = 0 , 令x + 2y 2 = 0 ,故过A, B, C三点的圆过定点(0,1)和| , 5 .12. (2019届高三广州调研)在平面直角坐标系 xOy中，已知圆C与y轴相切，且过点 M1 , ：'3） ,

15、 N1 , - ：3）.求圆C的方程；（2）已知直线I与圆C交于A, B两点，且直线0A与直线0B的斜率之积为2.求证：直 线I恒过定点，并求出定点的坐标.解：因为圆C过点M1 ,:,N1 , ,.'3）,所以圆心C在线段MN的垂直平分线上，即在 x轴上, 故设圆心为 Qa,O），易知a>0,又圆C与y轴相切，所以圆 C的半径r = a, 所以圆C的方程为（x a）2+ y2= a2.因为点M（1 ,.在圆C上,所以（1 a）2 + （ ；'3）2 = a2，解得 a= 2. 所以圆C的方程为（x 2）2+ y2= 4. 证明：记直线 0A的斜率为k（ k丰0），则其方程

16、为 y = kx. 2 2x 2+ y = 4,22联立消去y，得（k+ 1）x 4x= 0,y = kx” f4解得 xi = 0, X2= .k + 144k所以 A k2+ 1，k2+ 1 .由 k koB= 2,得 koB=2k，直线OB的方程为y = 2x,k一 2在点A的坐标中用一匚代换k，得k24k 8kB k2+ 4，k2+ 4 .当直线I的斜率不存在时,42k + 14k2k2+ 4，得k2= 2,此时直线4I的方程为x= 3.当直线I的斜率存在时,44k2k2+1 專 k2+ 4，即k2工2,则直线I的斜率为4k 8kk2+ 1 k2+ 444k2k2+ 1 k2+ 42

17、2 2故直线I的方程为y 芹=3k42 k2 x k2 +1，4kk + 4 + 8kk + 13k k + 23k 4k + 4 4kk + 14 k 2 k .3kx 34所以直线i过定点3, 0 .一 4综上，直线I恒过定点，定点坐标为3， 0 .、强化压轴考法拉开分. . 2 2 . .1. 已知圆C: x + y = 1,点P(xo, yo)在直线I : 3x+ 2y 4= 0上，若在圆 C上总存在> > >两个不同的点 A, B,使0A+ OB= OP,贝U xo的取值范围是（）24A °,石24B.后，o1313c. o, 24D. °,乜解

18、析：选 c 如图， "0A +"OB="OP, OP与 AB互相垂直平分，圆心到直线AB的距离22,金- Xo + yo<4. 又 3xo+ 2yo 4= o,3二 yo= 2> > 32. 已知直线y = x+ m和圆x + y = 1交于A, B两点，O为坐标原点，若AO AB = ?,则实数m的值为（）A. 土 1D.2xo,232B.C.代入得Xo+ 2 gXo <4,解得 o<xo<23.实数xo的取值范围是24°, 了解析：选设 A( Xi, yi),氏 X2, y2)，贝U A0= ( xi, yi),

19、AB = (X2 xi, y2 yi),y = x+ m由 X2+ y2= i2 2 2 2 2消去 y,整理得，2x + 2m)a m 1 = 0，故 A = 4m 8(m 1) = 8-4m>0,/2<n<,m i2xi + X2 = m, xiX2 = 2, yiy2 = (xi+ m)( X2+ m) = xiX2 + nxi + X2) + m，又> > 2 2AO AB = xiX2 yiy2 + xi+ yi= , 故 xiX2 + yiy2=乙，故 2xiX2+ n(xi + X2) +m=2,即m+m=2,得m=±3. (20i8 荆州

20、模拟)过点A(i ,的直线I将圆C: (X 2)2+ y2= 4分成两段弧，当 劣弧所对的圆心角最小时，直线I的斜率为.解析：易知点A(i , ；'2)在圆(X 2)2+ y2= 4的内部，圆心C的坐标为(2,0)，要使劣弧 所对的圆心角最小，只能是直线I丄CA所以ki = = =.答案：-24已知圆 O X2 + y2= i与x轴负半轴的交点为 A, P为直线3x+ 4y a= 0上一点，过P作圆0的切线，切点为 若I PA = 2| PT，则实数a的最大值为 .解析：由题意知 A( 1,0)，设 P(x,y)，由 |PA = 2|PT| 可得(x+ 1)2 + y2= 4(x2+

21、y2 1),1 2 2 16 , 1 2 2 16 1 化简得x 3 + y=9,由3x + 4y a= 0与圆x 3 + y =6有公共点P,所以圆心 3, 0|1 a|4172323到直线3x+ 4y a= 0的距离d=5三3，解得"3仝a< "3,所以实数a的最大值为.答案:2335.已知圆O x2 + y2= 1,圆M (x a)2+ (y a+ 4) 2= 1.若圆M上存在点P,过点P作 圆O的两条切线，切点分别为A, B使得/ APB= 60°,则实数a的取值范围为 .解析：圆O的半径为1,圆M上存在点P,过点P作圆O的两条切线，切点分别为 A,B,使得/ APB= 60°，则/ AP(= 30°.在 Rt PAO中，|PO = 2,又圆M的半径为1,圆心坐标为 Ma, a 4),I MO 1<| PO<1 MO + 1,/ | M(p = :a2+ a 42, >/a2 + a 42 1< 2<a 42 +1,解得2-aw 2+实数a的取值范围为 2-2, 2+学.答案：2-上2+上2 26. (2018 广州高中综