中值定理与导数的应用答案

1、选择15 BCBDB计算与证明1 .若x 0，证明ex证明：令F x ex 1，则当x 0时,因为F 02.设x证明In证明:1:令 fIn0，则f20: 令 gx In 1 x x由 1、20 知,选择1 4 CBDD二计算与证明习题3.1(A)从而F x0,即0,单增0 ,从而f0 时，g x2In 12In0,单减。0，从而g即 In 1 x(B)0,单减1 1 arcta n arctan1 .求 limnn11n n 1解：令 F xarctanx，则 F x 在上连续，在丄可导，故n 1 narctan- arctan由拉格朗日定理知，存在一点，使fnn1故原式|im0f 1叫L2

2、 .设f x在0,1上可导，且0 fX 1，对于任何X0,1,都有f试证：在0,1内，有且仅有一个数X,使f证：令F x，因为Fx在0,1上连续，则由零点存在定理在0,1内至少存在一点，即 f X X。下证唯一性。设在0,1内存在两个点冷与X2，且X1X2，使f X1X1，f X2 X2，在X1 ,X2上运用拉格朗日中值定理,则有X1,X2f x2f x1x2x1x2x1x2x1这与题设f x1矛盾，故只有一个x使f x3 .设fx在1,2上具有二阶导数f如果x 1 f x，证明至少存在一点1,2，使F证明：由题设知F x在1,2上满足洛尔定理条件,则至少存在一点a1,2，使得f a 0因为F

3、 x f x x 1 f x，则由题设知F x在1,a上连续，在1,a内 可导，且F 1 f 10，故F x在1,a上满足洛尔定理条件，则至少存在一点，使 F 0，4. 设f x在a, b上连续，在 a,b内二阶可导且fa f b 0，且存在点 c a,b，使得f c 0,试证至少存在一点a,b，使得f 0。证：f x在a,c及c,b上都满足拉格朗日定理条件，则存在a,c，c,b，使得f f cfaf cc ac af f b f c f c b cb c因为f c 0，则f 0，f因f X在a,b内二阶可导，则f X在，上满足拉格朗日定理条件，故至少存在一点，使f习题3.2选择1 5 CBA

4、BD计算1 .求 limx 0ln 1解:0型原式0limx 02x1 lim x 0 2 1 x2 .求 limx 01ln 1 x解：原式x In 1 xxln 1 x2型10 limx 0In 111 xxx0型 0 lim x x x 0 in1 2sinx3 .求 limx _ cos3x60型解：原式0 limx 02cosx3sin3x4.求煦1解：令yln 1 x2lim 山x 0-型0x2x2 x原式1ln x5.求 limxarctgx解：令arctgx t，贝Ux ctgt故原式 limtlnctgtt 0Inlntln ctgtTimt 0_型In y_lim01t1

5、2csc tctgtlimt 0sinttcostlimt 0sinttlim costt 0原式6.求极限lim xx。x 0解：令yxx，贝U ln y xln x1lim xln xIn x-型 limlim -xx 0x 01x 012xx原式e010x sin x7 .求 lim ex 0 xsin x解:原式0x si n x0型， e e cosx0 limX 01 cosxxlim x 0sin x 2sin xe cos x esin xsin x0型x sin x 3sin xsin x0型，. e e cos x 3e sin xcosx e cosx 0 lim1=x

6、0cosx习题3.3略习题 3.4 3.6(A)一选择1 8 CACBC DCD二计算1 .求函数y x3 3x2 9x 14的单调区间。解：y 3x2 6x 93 x 1 x 3当x 1时，y 0,当1 x 3时，y 0当x 3时，y 0故y在 ，1及3, 单增，在 1,3单减2.求函数y 2ex e x的极值。解：y 2ex e x令y0得x当x1|n2 时,2当x-In2 时,2故x-In2 时,y取极小值0丄22y 0 ,从而y单增y 0，从而y单减3求函数y也x的单调区间与极值。x令y 0，得x 1或e2故可疑极值点1，e2x0,111,e22 e2 e ,y-+-y极小值0极大值弓

7、e14.当a为何值时，y a si nx -si n3x在x处有极值？求此极值，并说33明是极大值还是极小值。解：y a cosx cos3x由于y在x 3处有极值则y -当x 时，y 0，从而y单增3当x 时，y 0 ,从而y单减3故y在x 处取得极大值。32 25. 求内接于椭圆 令 与 1，而面积最大的矩形的边长。a b解：设矩形在第一象限的顶点坐标为 x,y，则x acos y bsi n故矩形面积为S 4xy 4absincos2absin 2当时，S取最大值2ab，矩形边长分别为2x . 2a和2y.2a。6. 函数 y ax3 bx2 cx d a 0的系数满足什么关系时，这个函

8、数没有极值。解：y 3ax2 2bx c，因 a 0，则 y是开口向上的抛物线要使y没有极值，则必须使y在是单增或单减即必须满足y 0或y 0故只有2b 24 3ac 0时,才能使0成立即b2 3ac时，y没有极值。7.试证y xsinx的拐点在曲线4x24 x2上。证：y si nx xcosx， y 2cosxxsin x设a,b是y xs in x的拐点，则2cosa a sin a 0 b asina即 a 2ctgab 2cosa2 24a24 2ctga2224cos a4 a 4 2ctgab2 y xsinx的拐点在曲线y2齐上。x 18.试证明曲线y x1有三个拐点位于同一直

9、线上。、工x2 2x 1证：y2 2x 1x 1 x24x1x21 3令 y 0 得：x11 , X2 2 、3 , x3 23/. y 11 , y 23 3.3 5 , y 2 . 33.3 5故三个拐点 A 1, 1 , B2 ,3, 5 3 3 , C 2 ,3, 5 3. 3 容易验证：A、B、C在同一直线上。29.试决定y k x云时，曲线的拐点处的法线通过原点。(B)选择1 6 DBDDC二计算与证明2 .x 坐上取得极值。x 13中的k的值，使曲线的拐点处的法线通过原点解：y 4kx x 3 , y 12k x 1令y 0 ,得x 1或-1则拐点为1,4k及1,4k10.在拐点

10、1,4k处切线斜率为y 1 8k从而在拐点1,4k处法线斜率为18k,这样法线方程为14k 8k 1 2 1，因法线过原点，所以20.在拐点 1,4k处切线斜率为y 18k ,这样法线方程为11.试证当10 时，f x4k示x因法线过原点，所以证：f x2x a b0时，f当x1一 ab1时,f x 0 ,从而fx单增当1ab1x 1.a b 1 时，fx 0 ,贝U f x当x1.ab1时,f x 0 ,贝U f x单增故fx在x1、ab 1处取得极大值fx在x1. ab 1处取得极小值单减短距离。2 .求由y轴上的一个给定点0,b到抛物线x2 4y上的点的最1 2解：设M x,-x是抛物线

11、上任一点，则 0,b到M的距离为421 2d . x x bY 411 3 b从而d x -x - x2 1 2 J 82b 4令 d 0,得 x 0 或 x2 4b 810.当b 2时，只有一个驻点x 0 当x 0时，d 0，从而d单减 当x 0时，d 0 ,从而d单增故x 0是d的极小值点，极小值为|b|2.当b 2时，有三个驻点x 0，2、b 2，2. b 2当x 2 b 2时，d 0，从而d单减当 2-b 2 x 0时，d 0，从而d单增当0 x 2 b 2时，d 0，从而d单减当x 2、.b 2时，d 0 ,从而d单增故x 2 b 2是极小点，极小值为 2 5 2习题3.7一选择1.

12、 B二计算略一选择自测题1 3 BDC二解答x3x 2 x sin2 x 11 .求 limx 1x 13解：令y3xx则In3x2 Inx,从而y3x 2 x23ln xx3x3In x3xlim x 1 x 1x。型 -0 limx 10型0 limx 13x 2 x3x 2x2 3lnx 1 x2 x 1故原式 limx 1limx 123ln x3x 2xx sin2 x 123x xsin2x 1lim1 x 12 求解：令y1 x 1 x In 1 xy 1 X Xx2 1 x0型故原式0 lim yx 00 型 elim-x 01 x In 1 x x2 1 x0型110 eli

13、mIn 1 x xx 0 3x 2In e 2x二次可微，有f x0 , f 00，证明函数x 0是单调增函数xf x f x.F x2 x连续F0 x F 0F x f 0limlimx 0xX 0x证：当x 0时,由于F 0lxm0x xf 0专型2xllm0lxm0xf x f x2x 0x1f 0x 02因为xm0F xlimxfx 0limx 0 2x令gx xfxfx，则gx xf x当x0时，gx0，gx单增，从而g xg 00当x0时，gx0，gx单减，从而g xg 00故x0时，gx0，从而F x0因为f 00，则F 00：，从而x,所以F x在x 0处连续，故F x在 ，上

14、连续有F x 0 ,故F x是单调增函数4. 研究函数f x xe x 1的极值。解：10.当 x 0时，f xxex 1，从而 f x ex 1 x 1令f x 0得x 1当x 1时，fx 0 ,则fx单增当x 1时，fx 0 ,则fx单减故x 1是f x的极大值点，极大值为e 22 .当 0 x 1 时，f x xex 1，从而 f x ex 1 x 10说明f x单增，故x 0是极小值点，极小值为03 .当 x 1 时，f x xe % 1，从而 f x e1 x 1 x 0说明f x单减，故x 1是极大值点，极大值为15. 若f x在a, b上有二阶导数fx，且fa f b 0 ,试证

15、在 a,b内至少存在一点，满足f证：由泰勒展式 aa, b，有于是f b1f212b2max，则1b故结论成立。6. 设f x在0,1上具有二阶导数，且f 01 0，m!nfx1，证明:存在一点0,1使f证：设x c是f x的最小值点,因为f x在0,1上具有二阶导数，由题设c处的泰展式为1若0121，则 f 024 8c122c在c与x之间故存在一点0,1 ,仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur f u r den pers?nlichen f u r Studien, Forschung,