数字特征(方差与协方差)

1、一、随机变量方差的概念及性质一、随机变量方差的概念及性质三、协方差及其性质三、协方差及其性质二、重要概率分布的方差二、重要概率分布的方差四、矩的概念四、矩的概念3.5数字特征（方差与协方差）五、小结五、小结22,(),(),.EEEEDVarD设 是一个随机变量 若存在则称为 的方差 记或；并称为标准差或均方差 记为 定义定义3.8 一、随机变量方差的概念及性质一、随机变量方差的概念及性质 方差是一个常用来体现随机变量方差是一个常用来体现随机变量 取值分散程度的取值分散程度的量量.如果如果 值大值大, 表示表示 取值分散程度大取值分散程度大, 的代表性差的代表性差;而如果而如果 值小值小, 则

2、表示则表示 的取值比较集中的取值比较集中,以以 作为随作为随机变量的代表性好机变量的代表性好.DEDE2()( )d ,Dx Ep xx随机变量方差的计算随机变量方差的计算 (1) 利用定义计算利用定义计算 (2) 利用公式计算利用公式计算22() .DEE2()DEE证明：222() EEE 222()EE EE 22()EE4. 方差的性质方差的性质(1) 设设 C 是常数是常数, 则有则有0.DC (2) 设设 是一个随机变量是一个随机变量, C 是常数是常数, 则有则有2().D CC D证明证明()D C22( ) C EE2.C D2()E CE C(3),()DDDDD设 与 相

3、互独立，存在，则证明证明2()()()DEE 2()()EEE22()()2 ()()EEEEEEE .DD推广推广2221 1221122().nnnnD aaaa Da Da D12,n 若相互独立 则有(4)01,DC的充要条件是以概率 取常数即()1.PC2(5),()CEDEC若则(6)契比雪夫不等式契比雪夫不等式证明证明2,DEDP定理设随机变量具有数学期望方差存在 则对于任意正数则（）取连续型随机变量的情况来证明取连续型随机变量的情况来证明.( ),p x设 的概率密度为则有 契比雪夫不等式契比雪夫不等式契比雪夫契比雪夫2.DP（） xxpxd)()(22121.Dxxpxxd)

4、( 222()DP2()1.DP 得得P（） xxxpd)(1. 均匀分布均匀分布则有则有1,( )0,.axbp xba其它( , ),U a b设其概率密度为1E().2ab22()DEE222d1 baxabxba2()=12ba二、重要概率分布的方差二、重要概率分布的方差2. 指数分布指数分布 ,0,( )0.0,0.xexp xx设随机变量服从指数分布 其概率密度为其中则有则有( )dExp xx0dxxex./1 22()DEE20 x2/1xdex 22/1/2 ./1/12 和和分分别别为为指指数数分分布布的的期期望望和和方方差差21/3. 正态分布正态分布2( ,),N 设其

5、概率密度为则有则有E22()21( ).2x p xex 2()( )dDxp xxxexxd21)(222)(2 得得令令, tx 2222d2tDt et tetettd222222 22022.2 和和分别为两个参数分别为两个参数正态分布的期望和方差正态分布的期望和方差分布分布参数参数数学期望数学期望方差方差两点分布两点分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布均匀分布均匀分布指数分布指数分布正态分布正态分布几何分布几何分布10 pp)1(pp 10, 1 pnnp)1(pnp 0 ba 2ba 12)(2ab 0 /12/1 0, 210 pp/12/ )1 (pp1,10,( )1,01,

6、.0,.xxp xxxD 具有概率密度求其它解解0110(1)d(1)dExxxxxx, 0 0122210(1)d(1)dExxxxxx 练习练习1,61 22=E()DE于是 16设随机变量( , ),()().Cov( , ),Cov( , )()().EEEEEE 设是二维随机变量 若则称为随机变量 与 的协方差 记为即定义定义3.8Cov( ,).DD 而称 为 随 机 变 量与的 相 关 系 数三、协方差与相关系数三、协方差与相关系数1. 协方差的计算公式协方差的计算公式(1)Cov( , )();EE E (2) ()2Cov( , ).DDD 证明证明(1)Cov( , )()

7、()EEE ()EEEE E .EE E ()2EE EE E 2. 协方差的性质协方差的性质 (1) Cov( ,)Cov( ,); (2) Cov(,)Cov( , ) ,;ababa b 为常数1212(3)Cov(, )Cov( , ) Cov( , ). 3. 相关系数的意义相关系数的意义, 当较大时 表明的线性关系较密切;,. 当较小时 表明线性相关的程度较差0,.定义：当时 称和不相关(1) 不相关与相互独立的关系不相关与相互独立的关系注意注意相互独立相互独立不相关不相关(2) 不相关的充要条件不相关的充要条件o1,0; 不相关o2,Cov( , )0; 不相关o3,()EE E

8、 不相关4. 相关系数的性质(1)1.(2)1, 1.a bPa b 存在常数使证明证明2,(1)min()a beEab2(1)D0 210 1.221212( , )( , ),.N 设试求 与 的相关系数解解 22222121212122212121121yyxxyxp)()()()(exp),(由由2121()211( ),2x p xex 2222()221( ),.2y p yey 例例1221212,.E E DD12Cov( , )()() ( , )d dxy p x yxy 而xyeeyxxyxdd)(1212112222121)1(212)(21221 ,1111222

9、xyt令令,11xu 2222221212Cov( , )1(1)d d2ut tu uetu teueutudd22222122 tteueutudd212222122,22221 12Cov( ,). 故有Cov( ,).DD 于是结论结论(1),;二维正态分布密度函数中参数 代表了与 的相关系数(2) . 二维正态随机变量与相关系数为零等价于 与相互独立( ,). 二维正态随机变量的概率密度曲面与相关系数的关系单击图形播放单击图形播放/ /暂停暂停ESCESC键退出键退出,1,2,.kkkEkkkE是 机 量 若存在它的原 矩矩,2,3,.()kkkEEkkEE若（）存在 称它为的阶记为

10、中中心心矩矩四、矩的概念定义定义3.111,1.kEX显然 当时就是的数学期望2.D显 然2. 说明说明 (2),;E随机变量的数学期望是的一阶原点矩 方差为二阶中心矩.; )(表表示示阶阶中中心心矩矩可可以以互互相相唯唯一一阶阶原原点点矩矩和和变变量量函函数数的的数数学学期期望望以以上上数数字字特特征征都都是是随随机机kk1.4,)3(阶的矩很少使用阶的矩很少使用高于高于在实际应用中在实际应用中3.EE三 中心矩（） 主要用 衡量机 量的分布是否有偏4 .EE四阶中心矩 （） 主要用来衡量随机变量的分布在均值附近的陡峭程度如何五、小结22(),DEE （）1. 方差方差2( )d .DxEp

11、 xx（）00201()0;2();3()+2( , ).D CD CC DDDDCov 22P221.P 2. 契比雪夫不等契比雪夫不等式式3.矩是随机变量的数字特征;.E随机变量的数学期望是 的一阶原点矩方差为二阶中心矩Pafnuty ChebyshevBorn: 16 May 1821 in Okatovo, RussiaDied: 8 Dec 1894 in St Petersburg, Russia契比雪夫资料)44(2 XXE44)(2 EXEXDX434352 .30 .30)2(2 XE所所以以解解22(2)(44)EE4)(4)(2 XEXE23,5,(2) .EDE已知求例

12、例1备份题.)(;,)(:,)(.,)(的数学期望与方差的数学期望与方差随机变量随机变量的值的值求求且已知且已知其它其它的概率密度为的概率密度为设随机量设随机量XeYcbaXPXExbcxxaxxpX 213431304220 解解,d)()(11 xxp因为因为例例2xbcxxxaxxXEd)(d)(4220 , 2)( XE, 2 bca 35638,4331 XP,432523d)(d2132 bcaxbcxxax,262bca 2042dd1xbcxxax所以所以, 1 b,41 a解之得解之得.41 c .432523, 235638, 1622cbabcacba因此有因此有,)1(

13、16124 e22)()()(XXXEeeEeD 得得22224)1(41)1(161 ee.)1(41222 eexxexxeeExxXd)141(d41)()2(4220 ,)1(4122 exxexxeeExxXd)141(d41)(4222022 证明证明, 1 n.)(,., !)(1120000 nnnXPnxxnexxpXxn试证试证为正整数为正整数其中其中的分布密度为的分布密度为设随机变量设随机变量xxpxXEd)()( 22xexxnxnd!102 例例3xexxnxxxpXExnd!d)()( 01因为因为2) 1() 1)(2( nnn1) 1() 1( nnXnP1)1

14、( nnXPxexxnxnd!102 ),1)(2( nn. 1 n22)()()(EXXEXD 所以所以)1(20 nXP又因为又因为2)1(11 nn.1 nn.1)1(20 nnnXP)1()(1 nXEXP2)1()(1 nXD1)( nXEXP故得故得.,.,),04. 0,50.22(),03. 0 ,40.22()cm(22的概率的概率求活塞能装入气缸求活塞能装入气缸任取一只气缸任取一只气缸任取一只活塞任取一只活塞相互独立相互独立气缸的直径气缸的直径计计以以设活塞的直径设活塞的直径YXNYNX解解),04. 0,50.22(),03. 0 ,40.22(22NYNX因为因为),0025. 0 ,10. 0( NYX所以所以0 YXPYXP故有故有 0025. 0)10. 0(00025. 0)10.