高考数学一轮汇总训练《积分与微积分基本定理》理新人教A

1、 备考方向要明了考 什 么怎 么 考1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念2.了解微积分基本定理的含义.1.考查形式多为选择题或填空题2.考查简单定积分的求解如2012年江西T11等3.考查曲边梯形面积的求解如2012年湖北T3，山东T15，上海T13等4.与几何概型相结合考查如2012年福建T6等.归纳·知识整合1定积分(1)定积分的相关概念在f(x)dx中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间a，b叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式(2)定积分的几何意义当函数f(x)在区间a，b上恒为正时，定积分f(x)dx的几

2、何意义是由直线xa，xb(ab)，y0和曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分)一般情况下，定积分f(x)dx的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线xa，xb之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数(3)定积分的基本性质kf(x)dxkf(x)dx.f1(x)±f2(x)dxf1(x)dx±f2(x)dx.f(x)dxf(x)dxf(x)dx.探究1.若积分变量为t，则f(x)dx与f(t)dt是否相等？提示：相等2一个函数的导数是唯一的，反过来导函数的原函数唯一吗

3、？提示：一个函数的导数是唯一的，而导函数的原函数则有无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数，在利用微积分基本定理求定积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可，并且一般使用不含常数的原函数，这样有利于计算3定积分f(x)g(x)dx(f(x)>g(x)的几何意义是什么？提示：由直线xa，xb和曲线yf(x)，yg(x)所围成的曲边梯形的面积2微积分基本定理如果f(x)是区间a，b上的连续函数，并且F(x)f(x)，那么f(x)dxF(b)F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿莱布尼兹公式为了方便，常把F(b)F(a)记成F(x)，即f(x)dxF(x)F(b)F(a)自测

4、3;牛刀小试1.dx等于()A2ln 2B2ln 2Cln 2 Dln 2解析：选Ddxln xln 4ln 2ln 2.2(教材习题改编)一质点运动时速度和时间的关系为V(t)t2t2，质点作直线运动，则此物体在时间1,2内的位移为()A. B.C. D.解析：选AS(t2t2)dt.3(教材习题改编)直线x0，x2，y0与曲线yx2所围成的曲边梯形的面积为_解析：x2dxx3.答案：4(教材改编题)dx_.解析：由定积分的几何意义可知，dx表示单位圆x2y21在第一象限内部分的面积，所以dx.答案：5由曲线y，直线yx所围成的封闭图形的面积为_解析：作出图象如图所示解方程组可得交点为A，B

5、，所以阴影部分的面积，dx2ln 2.答案：2ln 2利用微积分基本定理求定积分例1利用微积分基本定理求下列定积分：(1)(x22x1)dx；(2)(sin xcos x)dx；(3)x(x1)dx；(4)dx；(5) sin2dx.自主解答(1)(x22x1)dxx2dx2xdx1dxx2x.(2)(sin xcos x)dxsin xdxcos xdx(cos x)sin x2.(3)x(x1)dx(x2x)dxx2dxxdxx3x2.(4)dxe2xdxdxe2xln xe4e2ln 2ln 1e4e2ln 2.(5) sin2 dxdxdxcos xdxxsin x.求定积分的一般步骤

6、计算一些简单的定积分，解题的步骤是：(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差；(2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；(3)分别用求导公式找到一个相应的原函数；(4)利用牛顿莱布尼兹公式求出各个定积分的值；(5)计算原始定积分的值1求下列定积分：(1)|x1|dx；(2) dx.解：(1)|x1|故|x1|dx(1x)dx(x1)dx1.(2) dx|sin xcos x|dx (cos xsin x)dx (sin xcos x)dx(sin xcos x)(cos xsin x) 1(1)22.利用定积分的几何意义求定积分例2dx_

7、.自主解答dx表示y与x0，x1及y0所围成的图形的面积由y得(x1)2y21(y0)，又0x1，y与x0，x1及y0所围成的图形为个圆，其面积为.dx.在本例中，改变积分上限，求dx的值解：dx表示圆(x1)2y21在第一象限内部分的面积，即半圆的面积，所以dx. 利用几何意义求定积分的方法(1)当被积函数较为复杂，定积分很难直接求出时，可考虑用定积分的几何意义求定积分(2)利用定积分的几何意义，可通过图形中面积的大小关系来比较定积分值的大小2(2013·福建模拟)已知函数f(x)(cos tsin t)dt(x>0)，则f(x)的最大值为_解析：因为f(x)sindtcos

8、coscos sin xcos x1sin11，当且仅当sin1时，等号成立答案：1利用定积分求平面图形的面积例3(2012·山东高考)由曲线y，直线yx2及y轴所围成的图形的面积为()A.B4C. D6自主解答由y及yx2可得，x4，即两曲线交于点(4,2)由定积分的几何意义可知，由y及yx2及y轴所围成的封闭图形面积为(x2)dx.答案C若将“yx2”改为“yx2”，将“y轴”改为“x轴”，如何求解？解：如图所示，由y及yx2可得x1.由定积分的几何意义可知，由y，yx2及x轴所围成的封闭图形的面积为f(x)dxdx(x2)dxx. 利用定积分求曲边梯形面积的步骤(1)画出曲线的

9、草图(2)借助图形，确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限(3)将“曲边梯形”的面积表示成若干个定积分的和或差(4)计算定积分，写出答案3(2013·郑州模拟)如图，曲线yx2和直线x0，x1，y所围成的图形(阴影部分)的面积为()A.B.C.D.解析：选D由x或x(舍)，所以阴影部分面积Sdxdx.定积分在物理中的应用例4列车以72 km/h的速度行驶，当制动时列车获得加速度a0.4 m/s2，问列车应在进站前多长时间，以及离车站多远处开始制动？自主解答a0.4 m/s2，v072 km/h20 m/s.设t s后的速度为v，则v200.4t.令v0，即200.4 t0得t

10、50 (s)设列车由开始制动到停止所走过的路程为s，则svdt(200.4t)dt(20t0.2t2)20×500.2×502500(m)，即列车应在进站前50 s和进站前500 m处开始制动1变速直线运动问题如果做变速直线运动的物体的速度v关于时间t的函数是vv(t)(v(t)0)，那么物体从时刻ta到tb所经过的路程为v(t)dt；如果做变速直线运动的物体的速度v关于时间t的函数是vv(t)(v(t)0)，那么物体从时刻ta到tb所经过的路程为v(t)dt.2变力做功问题物体在变力F(x)的作用下，沿与力F(x)相同方向从xa到xb所做的功为F(x)dx.4一物体在力F

11、(x)(单位：N)的作用下沿与力F(x)相同的方向运动了4米，力F(x)做功为()A44 JB46 JC48 J D50 J解析：选B力F(x)做功为10dx(3x4)dx10x202646.1个定理微积分基本定理由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算3条性质定积分的性质(1)常数可提到积分号外；(2)和差的积分等于积分的和差；(3)积分可分段进行3个注意定积分的计算应注意的问题(1)若积分式子中有几个不同的参数，则必须分清谁是积分变量；(2)定积分式子中隐含的条件是积分上限不小于积分下限；(3)面积非负， 而定积分的结果可以为负. 易误警示利用

12、定积分求平面图形的面积的易错点典例(2012·上海高考)已知函数yf(x)的图象是折线段ABC，其中A(0,0)，B，C(1,0)函数yxf(x)(0x1)的图象与x轴围成的图形的面积为_解析由题意可得f(x)所以yxf(x)与x轴围成图形的面积为10x2dx(10x10x2)dxx3.答案1本题易写错图形面积与定积分间的关系而导致解题错误2本题易弄错积分上、下限而导致解题错误，实质是解析几何的相关知识和运算能力不够致错3解决利用定积分求平面图形的面积问题时，应处理好以下两个问题：(1)熟悉常见曲线，能够正确作出图形，求出曲线交点，必要时能正确分割图形；(2)准确确定被积函数和积分变

13、量1由曲线yx2，yx3围成的封闭图形面积为()A.B.C.D.解析：选A由得x0或x1，由图易知封闭图形的面积(x2x3)dx.2(2012·山东高考)设a>0.若曲线y与直线xa，y0所围成封闭图形的面积为a2，则a_.解析：由题意dxa2.又，即xa2，即aa2.所以a.答案：一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1.dx()Aln xln2xB.1C. D.解析：选Cdx.2(2012·湖北高考)已知二次函数yf(x)的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为()A. B.C. D.解析：选B由题中图象易知f(x)x21，则所求面积为2(x21)d

14、x2.3设函数f(x)ax2b(a0)，若f(x)dx3f(x0)，则x0等于()A±1 B.C± D2解析：选Cf(x)dx(ax2b)dx9a3b，则9a3b3(axb)，即x3，x0±.4设f(x)则f(x)dx()A. B.C. D不存在解析：选C如图f(x)dxx2dx(2x)dxx3.5以初速度40 m/s竖直向上抛一物体，t秒时刻的速度v4010t2，则此物体达到最高时的高度为()A. m B. mC. m D. m解析：选Av4010t20，t2，(4010t2)dt40×2×8 (m)6(2013·青岛模拟)由直线x

15、，x，y0与曲线ycos x所围成的封闭图形的面积为()A. B1C. D.解析：选D结合函数图象可得所求的面积是定积分cos xdxsin x.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7设asin xdx，则曲线yf(x)xaxax2在点(1，f(1)处的切线的斜率为_解析：asin xdx(cos x)2，yx·2x2x2.y2xx·2xln 22.曲线在点(1，f(1)处的切线的斜率ky|x142ln 2.答案：42ln 28在等比数列an中，首项a1，a4(12x)dx，则该数列的前5项之和S5等于_解析：a4(12x)dx(xx2)18，因为数列an是等

16、比数列，故18q3，解得q3，所以S5.答案：9(2013·孝感模拟)已知a，则当(cos xsin x)dx取最大值时，a_.解析：(cos xsin x)dx(sin xcos x)sin acos a1sin1，a，当a时，sin1取最大值答案：三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10计算下列定积分：(1) sin2xdx；(2)2dx；(3)e2xdx.解：(1) sin2xdxdx0.(2)2dxdx(24ln 2)ln 3ln 2ln .(3) e2xdxe2xe.11如图所示，直线ykx分抛物线yxx2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值解：抛物线

17、yxx2与x轴两交点的横坐标为x10，x21，所以，抛物线与x轴所围图形的面积S(xx2)dx.又由此可得，抛物线yxx2与ykx两交点的横坐标为x30，x41k，所以，(xx2kx)dx(1k)3.又知S，所以(1k)3，于是k1 1.12如图，设点P从原点沿曲线yx2向点A(2,4)移动，直线OP与曲线yx2围成图形的面积为S1，直线OP与曲线yx2及直线x2围成图形的面积为S2，若S1S2，求点P的坐标解：设直线OP的方程为ykx，点P的坐标为(x，y)，则(kxx2)dx(x2kx)dx，即，解得kx2x32k，解得k，即直线OP的方程为yx，所以点P的坐标为.1一物体做变速直线运动，

18、其vt曲线如图所示，则该物体在 s6 s间的运动路程为_解析：由题图可知，v(t)因此该物体在 s6 s间运动的路程为sv(t)dt2tdt2dtdtt22t|(m)答案： m2计算下列定积分：(1) (3x22x1)dx；(2)dx.解：(1) (3x22x1)dx(x3x2x) 24.(2)dxxdxdxdxx2ln x(e21)(ln eln 1)e2.3求曲线y，y2x，yx所围成图形的面积解：由得交点A(1,1)；由得交点B(3，1)故所求面积Sdxdx.4某技术监督局对一家颗粒输送仪生产厂进行产品质量检测时，得到了下面的资料：这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪，其运动规律属于变速

19、直线运动，且速度v(单位：m/s)与时间t(单位：s)满足函数关系式v(t)某公司拟购买一台颗粒输送仪，要求1 min行驶的路程超过7 673 m，问这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪能否被列入拟挑选的对象之一？解：由变速直线运动的路程公式，可得st2dt(4t60)dt140dtt3(2t260t)140t7 133 (m)<7 676(m)这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪不能被列入拟挑选的对象之一六招破解函数最值及巧用数形结合求参数问题一、六招破解函数最值问题函数最值问题一直是高考的一个重要的热点问题，在高考中占有极其重要的地位为了让大家能够更加系统、全面地掌握函数最值问题的解

20、决方法，下面就其问题的常用解法，分类浅析如下：1配方法配方法是求二次函数最值的基本方法，如函数F(x)af(x)2bf(x)c(a0)的最值问题，可以考虑用配方法例1已知函数y(exa)2(exa)2(aR，a0)，求函数y的最小值解y(exa)2(exa)2(exex)22a(exex)2a22.令texex，则f(t)t22at2a22.因为t2，所以f(t)t22at2a22(ta)2a22的定义域为2，)因为抛物线yf(t)的对称轴为ta，所以当a2且a0时，yminf(2)2(a1)2；当a>2时，yminf(a)a22.点评利用二次函数的性质求最值，要特别注意自变量的取值范围

21、，同时还要注意对称轴与区间的相对位置关系如本题化为含参数的二次函数后，求解最值时要注意区分对称轴与定义域的位置关系，然后再根据不同情况分类解决2换元法换元法是指通过引入一个或几个新的变量，来替换原来的某些变量(或代数式)，以便使问题得以解决的一种数学方法在学习中，常常使用的换元法有两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体问题及题目形式灵活选择换元的方法，以便将复杂的函数最值问题转化为简单的函数最值问题如可用三角换元解决形如a2b21及部分根式函数形式的最值问题例2设a，bR，a22b26，则ab的最小值是_解析因为a，bR，a22b26，所以令acos ，bsin ，R.则abcos si

22、n 3sin()，所以ab的最小值是3.答案3点评在用换元法时，要特别注意换元后新元的取值范围如本题换元后中间变量R，这是由条件a，bR得到的3不等式法利用不等式法求解函数最值，主要是指运用基本不等式及其变形公式来解决函数最值问题的一种方法常常使用的基本不等式有以下几种：a2b22ab(a，b为实数)，(a0，b0)，ab2(a，b为实数)例3函数f(x)(0<x<1)的最小值为_解析f(x)，令t3x1，则x，t(1,4)，f(x)变为g(t)，因为t(1,4)，所以5>t4,0<51，9，所以f(x)的最小值为9.答案9点评利用基本不等式法求解最值的关键在于确定定值

23、，求解时应注意两个方面的问题：一是检验基本不等式成立的三个条件“一正、二定、三相等”，灵活利用符号的变化转化为正数的最值问题解决；二是要注意函数解析式的灵活变形，通过“拆”、“添”或“减”等方法“凑”出常数对于条件最值问题，应首先考虑常数的代换，将函数解析式乘以“1”构造基本不等式4函数单调性法先确定函数在给定区间上的单调性，然后依据单调性求函数的最值这种利用函数单调性求最值的方法就是函数单调性法这种方法在高考中是必考的，多在解答题中的某一问出现例4已知函数f(x)xln x，则函数f(x)在t，t2(t>0)上的最小值为_解析因为f(x)ln x1，所以当x时，f(x)<0，f(

24、x)单调递减；当x时，f(x)>0，f(x)单调递增当0<t<t2<时，t无解；当0<t<<t2，即0<t<时，f(x)minf；当t<t2，即t时，f(x)在t，t2上单调递增，f(x)minf(t)tln t.所以f(x)min答案f(x)min点评本题是函数在不定区间上的最值问题，因此区间的位置要全部考虑到，不要遗漏5导数法设函数f(x)在区间a，b上连续，在区间(a，b)内可导，则f(x)在a，b上的最大值和最小值应为f(x)在(a，b)内的各极值与f(a)，f(b)中的最大值和最小值利用这种方法求函数最值的方法就是导数法例5

25、函数f(x)x33x1在闭区间3,0上的最大值，最小值分别是_，_.解析因为f(x)3x23，所以令f(x)0，得x1(舍正)又f(3)17，f(1)3，f(0)1，易得，f(x)的最大值为3，最小值为17.答案317点评(1)利用导数法求函数最值的三个步骤：一是求函数在(a，b)内的极值，二是求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)，三是比较上述极值与区间端点函数值的大小，即得函数的最值(2)函数的最大值点及最小值点必在以下各点中取得，导数为零的点，导数不存在的点及区间端点6数形结合法数形结合法是指利用函数所表示的几何意义，借助几何方法及函数的图象求函数最值的一种常用的方法这种方法借助几何

26、意义，以形助数，不仅可以简捷地解决问题，还可以避免诸多失误，是我们开阔思路、正确解题、提高能力的一种重要途径例6对a，bR，记max|a，b|函数f(x)max|x1|，|x2|(xR)的最小值是_解析由|x1|x2|，得(x1)2(x2)2，解得x.所以f(x)其图象如图所示由图形，易知当x时，函数有最小值，所以f(x)minf.答案点评用数形结合的方法求解函数最值问题，其关键是发现条件中所隐含的几何意义，利用这个几何意义，就可以画出图形，从而借助图形直观地解决问题如将本题化为分段函数的最值问题后，可以用分段求解函数最值的方法去解二、巧用数形结合妙解3类求参数问题数形结合就是根据数学问题的条

27、件与结论的内在联系，既要分析问题的代数含义，又要揭示其几何意义，把“数”与“形”巧妙地结合起来，并利用“结合”寻找解题的思路，使问题得到圆满解决，数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的互相转化来解决问题的一种重要思想方法通过“以形助数，以数辅形”把复杂问题简单化，抽象问题具体化，充分利用形的直观性和数的严谨性来思考问题，拓展了思路，这就是数形结合的核心价值通过以下三个方面体会数形结合思想的运用1通过基本函数模型及变式的图象求参数的取值范围或值例1已知函数f(x)若a，b，c互不相等，且f(a)f(b)f(c)，则abc的取值范围是()A(1,10)B(5,6)C(10,12) D

28、(20,24)解析画出函数f(x)的图象，再画出直线yd(0<d<1)，如图所示，直观上知0<a<1,1<b<10,10<c<12，再由|lg a|lg b|，得lg alg b，从而得ab1，则10<abc<12.答案C点评通过图形可以发现a，b，c所在的区间，再把绝对值符号去掉，就能发现ab1，这样利用数形结合就可把问题化难为易了2.通过函数的零点与方程的解的相互关系求函数零点和方程的解及参数的范围例2已知mR，函数f(x)x22(m21)x7，g(x)(2m2m2)xm.(1)设函数p(x)f(x)g(x)如果p(x)0在区间(1,5)内有解但无重根，求实数m的取值范围；(2)设函数h(x)是否存在m，对于任意非零实数a，总存在唯一非零实数b(ba)，使得h(a)h(b)成立？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由解(1)因为p(x)f(x)g(x)x2mx7m，令p(x)0，因为方程在(1,5)内有实数解，且没有重根，由p(x)0，得m2(x1)，因为1<x<5，令tx1，则2&l