数学实验课程设计常微分方程数值解

1、 数学实验报告1. 题目： 某容器盛满水后，底端直径为d0的小孔开启（如图1），根据水力学知识，当水面高度为h时，谁从小孔中流出的速度为v=0.6*（g*h）0.5（其中g为重力加速度，0.6问哦小孔收缩系数）1） 若容器为倒圆锥形（如图1），现测得容器高和上底直径都为1.2m，小孔直径d为3cm，为水从小孔中流完需要多少时间；2min时水面高度是多少。2） 若容器为倒葫芦形（如图2），现测得容器高1.2m，小孔直径d为3cm，由底端（记x=0）向上每隔0.1m测出容器的直径D（m）如表1所示，问水从小孔中流完需要多少时间；2min时水面高度是多少。 图1X/m00.10.20.30.40.5

2、0.60.70.80.91.01.11.2D/m0.030.050.080.140.190.330.450.680.981.101.201.131.00 表12. 分析： 由题知，水从小孔中流出，不仅与容器有关，还与水流速度v=0.6*（2*g*h）0.5有关。 第一小题容器是圆锥形，比较规则，但是由于水不断从小孔流出，容器中水的高度是不断变化的，水流速度没有一定的公式，所以要用到微积分解决。由（1）知，水面直径等于水深。水深为h时，流量为0.6(/4)d2*(gh)0.5，0.6*(g*h)(0.5)*(d0/2)2*dt=/4*h2*dh1 / 7则水深下降dh所需时间 ：dt=-(/4)

3、h2*dh/0.6(/4)d2*(gh)0.5=-h1.5*dh/0.6d2*(g)0.5水深由1.2m至0定积分得水从小孔流完的时间：T（其中已知d=0.03m，g=9.8m*s(-2） 对于第二问：设两分钟（120S）后水深为X m ，由 dt=-(/4)h2*dh/0.6*(/4)*d2*(gh)0.5=-h1.5*dh/0.6d2*(g)0.5 则263.93-120 =X2.5/1.5*d2*(g)0.5 以d=0.03m，g=9.8m*s(-2代入上式得 水深：X 第二小题容器为倒葫芦形，比较不规则，比较复杂，不仅要考虑水不断从小孔流出，容器中水的高度是不断变化的，水流速度没有一定

4、的公式，所以要用到微积分解决，还要注意表1的倒葫芦形的不断变化，水深的高度变化是不规则的但仍可以用微积分。 由（2）知容器高1.2m，水深为h时，流量为0.6(/4)d2*(gh)0.5，由于不同高度，倒葫芦形半径不同，用欧拉方程和龙格库塔方法则水深下降dh所需时间 ：dt=t(k+1)-t(k)=-(/4)h2*dh/0.6(/4)d2*(gh)0.5=-h1.5*dh/0.6d2*(g)0.5然后利用循环for k=1：length(L)，t(k)=(h(k+1)-h(k)*(/4)*d(k)2)/(0.6*(/4)*d2*(g(1.2-h(k)0.5)，T=sum(t).可以求得水从小孔

5、流完的总时间。 对于第二问：设两分钟（120S）后水深为X m ，由 S=0,利用条件，当120-s<0.0001时s=s+t(k)，x(k) 把d=0.03m，g=9.8m*s(-2)代入上式得 水深：X 相关资料：龙格库塔方法求解龙格库塔方法思想：用v,v上若干个点的倒数，对他们做线性组合得到平均斜率，就可能得到更高阶的精度，这就是龙格库塔方法思想。为了演算方便本课程设计采用二阶龙格库塔公式，即求v,v上的二个倒数，将他们加权平均得平均斜率。我们设有形如： 其中函数满足HipscHitz条件，既满足存在常数H使 按照下式在和去倒数作线性组合（3）其中为待定系数，确定他们的准则是使（3

6、）式有尽量高的精度。注意到的假设，并对作二元泰勒展开，且利用，（3）式可写为：于是故得截断误差为容易看出只要： 就可以使（3）式具有2阶精度。 以上分析了龙格库塔方法思想，下面用时的龙格库塔方法即为改良后的欧拉公式法在MATHAB上解决本课程设计题目：3. .模型方程： 开始条件h=1.2m，d0=1.2m，g=9.8m*s(-2)，d=0.03m 水深为h时，流量Q为0.6(/4)d2*(gh)0.5，则水深下降dh所需时间 ：dt=-(/4)h2*dh/0.6(/4)d2*(gh)0.5=-h1.5*dh/0.6d2*(g)0.5水深由1.2m至0定积分得水从小孔流完的时间：T（其中已知d

7、=0.03m，g-9.8m/s） 设两分钟（120S）后水深为X m ，由 dt=-(/4)h2*dh/0.6*(/4)*d2*(gh)0.5=-h1.5*dh/0.6d2*(g)0.5 则263.93-120 =X2.5/1.5*d2*(g)0.5 以d=0.03，g=9.8代入上式得 水深：X 用欧拉方程和龙格库塔方法则水深下降dh所需时间 ：dt=t(k+1)-t(k)=-(/4)h2*dh/0.6(/4)d2*(gh)0.5=-h1.5*dh/0.6d2*(g)0.5 k1=0.15*sqrt(g*(x(n)*d2/(-43.6359*x(n)8+213.0457*x(n)7-414.

8、873*x(n)6+410.2075*x(n)5-218.8936*x(n)4+62.553*x(n)3-8.3215*x(n)2+0.49619*x(n)+.014892)2; k2=0.15*sqrt(g*(x(n)-h*k1)*d2/(-43.6359*(x(n)-h*k1)8+213.0457*(x(n)-h*k1)7-414.873*(x(n)-h*k1)6+410.2075*(x(n)-h*k1)5-218.8936*(x(n)-h*k1)4+62.553*(x(n)-h*k1)3-8.3215*(x(n)-h*k1)2+0.49619*(x(n)-h*k1)+.014892)2;

9、x(n+1)=x(n)-h*(k1+k2)/2;4. 编译程序:(1)g=9.8;d=0.03;syms hy=-h(1.5)/(0.6*d2*sqrt(2*g);T=int(y,h,1.2,0);eval(T) x=(T-120)*(1.5*d2*sqrt(2*g)(0.4);eval(x)运行结果如下>> sy1ans = 263.9316ans =0.9416(2)clear;g=9.8;d=0.03;k1=0;k2=0;h=0.4;x(1)=1.2;for n=1:1000 k1=0.15*sqrt(g*(x(n)*d2/(-43.6359*x(n)8+213.0457*x

10、(n)7-414.873*x(n)6+410.2075*x(n)5-218.8936*x(n)4+62.553*x(n)3-8.3215*x(n)2+0.49619*x(n)+.014892)2; k2=0.15*sqrt(g*(x(n)-h*k1)*d2/(-43.6359*(x(n)-h*k1)8+213.0457*(x(n)-h*k1)7-414.873*(x(n)-h*k1)6+410.2075*(x(n)-h*k1)5-218.8936*(x(n)-h*k1)4+62.553*(x(n)-h*k1)3-8.3215*(x(n)-h*k1)2+0.49619*(x(n)-h*k1)+.014892)2; x(n+1)=x(n)-h*(k1+k2)/2;end x(300) t=0:h:1000*h; plot(t,x); axis(0,400,0,1.21);运行结果如下>> sy2ans =1.0278水从小孔流完需要263