初中数学竞赛专题复习第一篇代数第3章一元方程试题1人教版0001

1、3.1 一兀一次方程3.1.1 已知下面两个方程3x2 5x， 4x3ax 6x7ax 有相同的解，试求a的值.解析本题解题思路是从方程中求出x的值，代入方程，求出a的值.由方程可求得 3x 5x 6，所以 x 3 由题设，x 3 也是方程的解，根据方程解的定 义，把 x 3 代入方程时，应有4 3 3 a36 3 7 a 3 ,7 a 33 a 318 12 ,所以 4a181 a 4.23.1.2 解方程:axbabxa2 1xb2xa2b2.解析本题将方程中的括号去掉后产生 际上仍然是一个一元次方程.将原方程整理化简得.2 2b x x2b, 2a b第 3 章一元方程x2，但整理化简后

2、可以消去x2，也就是说，原方程实即a2b2x当 a20 时,b 时，方程有唯一解即 b时，评注含有字母系数的方程，一定要注意字母的取值范围，解这类方程时，需要从方程有唯一解、无解、无数多个解三种情况进行讨论.3.1.3 若 abc 1，解方程2 ax2bx2cxab a 1 bc b解析因为 abc 1 ,2abcx当 a2b2a b 0 ,即0 时,ab 或 a b .若 a b 0 ,即 a b , a b 0 时，方程无解；若a方程有无数多个解.1 .1 ca c 1所以原方程可变形为ab bc a bc bc化简整理为2bxbc b 12cx1. ca c 11，1.2cxbc b 1

3、 ca c 12 b 1 x 2bcx “- - 1 ,bc b 1 cab cb b2 bc b 1 x1 ,bc b 11所以，x -为原方程的解.2评注像这种带有附加条件的方程，求解时恰当地利用附加条件可使方程的求解过程大大简化.3.1.4 已知关于x的方程58x a x 142 .25且a为某些正整数时，方程的解为正整数，试求正整数a的最小值.解析由原方程可解得9a x 142 .10因为 a 为正整数，所以 x 应是大于142的整数.所以 x 142，即 x 1577.10 10 9又因为x为正整数，要使x为整数，x必须是 10 的倍数，而且为使a最小，所以x应取10 x 160 .

4、所以9a 160 1422 .10所以满足题设的正整数a的最小值为 2.评注本题实际上是求 a x 142 的最小正整数解.103.1.5 已知关于x的方程 ax 3 2x b 有两个不同的解，求4a 3b 販5的值.解析一元一次方程或者有一个解，或者有无数个解，或者无解，本题中的一元一次方程有两个解，所以我们可以证明它有无数个解，进而可以确定a、b .设方程的两个不同的解为洛、x2，则有axt3 2xb ,ax?32X2b , 得 aX2x12 x2x1因为x冷, 所以a 2 .所以,20054a 3b20051，1.把 a 2 代入式，得 b 3 .2 / 165 / 163.1.6 已知

5、关于x的方程 a 2x 1 3x 2 无解，求a的值.解析将原方程变形为2a 3 x a2由已知该方程无解，所以2a 30,a 20.解得a|，所以a3-即为所求.23.1.7 已知关于x的方程 a 2x3bx12x 5 有无限多个解，求b 的值.解析原方程变形为2a 3b 12 x 53a .2a 3b 120,5 3a 0,解得 a3，b26 .k2xk22kx5k 的解是正数?解析按未知数x整理方程得k22k xk25k要使方程的解为正数,k22k k25k 0.不等式的左端k22k k25k k2因为 k2 0 , 正数，所以 k 5 或 03.1.9 若a、b、所以只要5 或 k 2

6、 时上式大于零，所以当 k 2 或 k 2 即为所求.c是正数，解方程5 时，原方程的解是x a b x b cca解析原方程两边乘以3 .babc,得到方程ab x a b bc x b cac x c a 3abc .ab xabcbc x abcac x abc0 ,因此有xa bcabbcax 0.因为 a 0 ,b0 ,c0 ,所以 ab bc ac 0 ,于是xa bc0 ,移项、合并同类项得6 / 163.2.2 已知实数 a b，且满足 a的值.解析a、b 是关于x的方程即 x a b c 为原方程的解.3.1.10 设n为正整数, x 表示不超过x的最大整数，解方程x2 x

7、3 x L n x解析由于 x是整数,21一是整数，x 2x 3x4x2 2n n 1nx -，2合并同类项得n2n 122，所以，X n n 1 为原方程的解.3.2 元二次方程3.2.1 若方程 x2bx 1 0 与方程 x2x b 0 至少有一个相同的实数根，求实数 b 的值. 解析假定这个相同的实数根为x X。，则将它代入两个方程，得到两个关于xo、b 的等式，视它们为关于 X。、b 的方程组，即可求出 b 的值.设 x X。是两个方程相同的根，则有点bx。1 0 , x。2X。b 0 .两式相减，得 b 1 X。1X0所以 b1 或 x01 .1 时，两个方程都是1 0 .这个方程无

8、实根，故b1不合题意.当 X。1 时，代入式中任何一式, 都可解得b 2 .所以所求的b 的值为 2.a2b 1 .求7 / 162x 13x130的两个根，整理此方程，得2x !由于故 a、5x 10，25 40， a、b 均为负数.因此b 5， abb.aab abbOFab2a b 2aba2233.2.3 已知a是方程 x22008x 120 的一个根，求 a2007a -22008的值.a21解析因为a是所说方程的根，所以 a21,2008a 12a 2008a由此得到2a 2007a2008a212008a2007a20082008a 1 1a2a 12008aa1也可用下面的方法

9、：因a2008a 10 两边同除以a，易得到2008,1a 1 aa三个不同实数2x200820073.2.4数根 s，且使得方程值.解析因为方程 x2i2彳s ax 1s2bs ee使得方程2a 0 和 xexaxbx两式相减得2ax 10 和 x bx e0 也有一个相同的实数根0 有一个相同的实r，求 a b e 的e 0 有一个相同的实数根s，所以又方程2r2rerex b0 也有一个相同的实数根r，所以8 / 16两式相减得 rab（显然 c 1）.c 1于是 rs1, 故 r 也是方程 x2ax 10 的根，所以2rar 10由 r2ar210 和 r r a0 得r1，或者 a

10、12（此时，xx10 无实根, 舍去），所以，1a1 0i , 1 c b0 ,于是a b c 3.3.2.5 对于切不小于 2 的整数n,关于x的一儿二.次方程2xn 2 x 2n20 的两个根记作 an、bnn 2，求-11L1的值.a22b.2a32b32a20072%072解析由根与系数的关系数得anbnn2,anbn2n2,所an2bn2anbn2 anbn42n22 n242n n1003则anbn22n n 1a22b2a32b332007b2007200720083.2.620084016已知互不相等的实数b、c满足求 t 的值.解析由，代入 b - t 得t acct2ac

11、1 t a c0 .又由1 c -t 可得 ac1at ,act2at2a c 0,即c验证可T 知：1 bca1 aa因此,t1 .3.2.7如 果a、b 都是质 f 数， -1, b13ab2所以所以13b m整理得c代入式得t aa t29 / 1611-t 99 , - t 19, ss即 st 199s , t 19s.解析当 a b 时，b?2 ；a b当 a b 时，a、b 为方程 x213x m 0 的两个根，所以 a b 13 因为a、b 都是质数, 故a、b 的值只可能是2和 11,所以b a 1121253.2.8 已知三个关于x的一元二次方程2 2 2ax bx c 0

12、， bx cx a 0， cx ax2 2 2恰有一个公共实数根，求 的值.bc ca ab解析设 x0是它们的公共实数根，则2 2ax0bx0c 0 , bx0cx02a 0 , cx0ax0a b2c x1 0,2因为2xXo11x.03242t223,333abcab cabccaababc3ab a b3 .abc3.2.9 设实数s和 t 满足方程 19s299s 1求 st4s 1的值.t解析因为 s 0,所以，第一人方程可以变形为：20,t 99t19 0,并且s和 t 的积不等于 1,2119919 0 .ss又因为 st 1，所以,兀二次方程99x 190 的两个不同的实根，

13、所以把上面三个式子相加，得0 ,所以，a b c 0，于是33b a babc10 / 16所以st 4s 1t99s 4s19s3.2.10 已知方程 x23x 1 0 的两个根也是方程 x6px2q 0 的根，求p、q的值.解析利用一元二次方程根的概念，用 用到韦达定理），从而可解出p、q.表示p和q，再结合之间的关系（这里11 / 1633314843328 3133126345863 3145814455 结合6p2q 0 可知,1445531 pq0 .同理，1445531 pq0 .、两式相加，并利用3，有 2q 7p 322 .、两式相减，有3p 144注意到，故 3p 144

14、, p 48,进而，q 7 .评注运用根的概念解题这一方法是处理一元二次方程时容易忽视的技巧,概念，对6与6予以降次，将高次问题予以简化，题中p、q的求值问题迎刃而解.3.2.11 已知方程 2005x22004 2006x 10 的大根为a，方程 x22005x 20060 的小根为 b，求 a b 的值.解析先求出a、b 的值.由观察知，1是方程22005x2004 2006x 10的一个根，于是由韦达定理知，另一个根为乙，所以 a 1 .20052又从观察知，1是方程 x22005x 2006 0 的根，从而由韦达定理知，方程的另一个根为2006，所以，b 2006 .故a b 1200

15、62007 .评注对于方程 ax2bx c 0 a 0，若 a b c 0，则 x 1 是方程的根；若 a b c 0 ,由条件，可知310,即这里巧妙利用根的3曰疋12 / 16则1是方程的根.3.2.12 设a是给定的非零实数，解关于x的方程13 / 16解析由观察知,X a 是方程的根又原方程等价于由韦达定理知，X1X21，所以，方程和另一根为X23.2.13 已知是方程 x2求68 的值.解析8 不是、的对称式， 所以很难用乘法公式把它化为们先把6“降次”.因为是方程的根，所以2210 ,故1 .于是412 221326423213252 85 ,所以68 85 13 .x 10 的两

16、实根,和的表达式.我3.2.14 设一元二次方程9_tax bx c 0 的两个实根的和为5，平方和为 S，立方和为S3，求aS3bS2cS 的值.解析设 x、S33x3X2X1X22 2X1X2X1X2X1所以 aSsbS2cS0.讦注本题疋取“自然”的解法是分别用a的值.当然这样做运算量很大，且容易出错.因为 x、 X2是方程的两个实根，所以2a*bxc0 ,于是3ax2bx1cx.0 .同理3ax22bx2cX20 .X2将、两式相加便得、b、X2是方程的两个实根，于是%cS1,a ac来表示 S、S,、S3,然后再求aQ bS2cSF面我们再介绍一种更为“本质”的解法.aS3bS?cS

17、 0.14 / 1615 / 1616 2 2a 21a 13441a546a 169987a 610 ,a18a16a2987a 610 a 1aSn 2bSn 1cSn0 .证明方法冋上，读者不妨一试.3.2.15 设抛物线 yx22a 1 x18a323a6的值.解析 1 由题设252a 14 2a0 ,4即 a2a 10 .所以4a22 2aa 1a22a1 3a 2 ,82 2a3a 29a12a 421a 13,般地，记 SnX? X，则有52a _的图象与x同只有一个交点，4987a21597a 6102584a1597 .又 a6a42a3a2a 18a5 .因为2aa 10

18、, 所以 64a264a651,a6118a13 .6a8a5故 a18323a62584 a 15973238a135796 .解析 2由0 可得 a2a 10 ,所以a213 ,aa417 ,a4a61214121aaaaaaaa373 18121,-22322a1218a即 8a 5 8a 131，所以0，且 a11，所以a32299t 9 .所以 a18323aa6a12322 a6322 a61857963.2.162 px3p 20 的两个不相等的实数根石、X2满足X2X34 x2x|，求实数p的所有可能的值之和.X1X22p , X1X23p 2，所以2X12X2X1X222X

19、X24p26p 4332X冷X1X2X冷3x1X22:P 4p29p6.又由23X X423x2x2得xix；44p26p 44 2p 4p29p6 ,解析由一元二次方程的根与系数的关系可得3X13X2,所以所以 p 4p 3 p 10 ,3解得 0 ,卩2- , p31 43代入检验可知：P10 , P2-均满足题意，P31 不满足题意.4因此，实数p的所有可能的值之和为c 33443.2.17 设a、b 是方程2X4x 10 的两个根，2e、d 是方程 x 5x 20 的两个根.记tabed，用 t表示be daeda b d ab e2 , 22,2abedbed a e dabdabe

20、解析由韦达定理，得ab4 ,ab1,ed 5 , ed2 .所以 a b e d 9于是原式a 9 bedb 9aede9 a b dd 9 a b ebedaeda b da b eP1P20abedabed11 / 1632299t 9 .18 / 163.3 判别式及其应用3.3.1已知方程 x2 32x m 0 没有实数根，其中m是实数.试判定方程2x 2mx m m 10 有无实数根.解析因为方程 x22x m 0 无实数根，所以1224m 4 4m0,即 m1 .则222m4m m 14m0 ,所以方程 x22mx mm 10 有两个不相等的实根.3.3.2已知常数a为实数，讨论关

21、于x的方程2a 2 x 2a 1 x a 0的实数根的个数情况.解析当 a 2 时，原方程为 3x 20 , x -，即此时方程积有一个实根.3当 a 2 时，原方程为一元二次方程，其判别式212a 14 a 2 a 4a 1，所以，当 a且 a 2 时，原方程有两个不同的实数根；411当 a丄时，原方程有两个相等的实数根；当 a丄时，原方程没有实数根.44评注对于一个二次项系数含参数的方程，要按照二次项系数为零或不为零来讨论根的情况， 前者为一次方程，后者为二次方程，不能一上来就用判别式.3.3.3若对任何实数a，关于x的方程2x 2ax a 2b 0都有实数根，求实数 b 的取值范围.解析

22、根据判别式容易写出关于a、b 的不等式.为了求出 b 的取值范围，可以分离a、b ,f a 的最大值.按题意，4a24 a 2b 4a24a 8b 0 对一切实数a成立.即2 28bw4a 4a 2a 11对一切实数a成立.2所以 b 的取值范围为 bw丄.8写成 g bwf a 或 g b a 的形式，那么 g b 不大于a 的最小值，或 g b 不小于19 / 16211显然，2a 11 当 a时取最小值1，故 8bw1 , bw.2820 / 16334 已知关于x的二次方程 x2k 2x 无实根，其中 k 为实数，试判断二次方程x22kx 1 2 k21 x210的实根情况.解析因为

23、x2k 2x 无实根，即 x22x k 0 无实根，所以4 4k 0，故 k 1 .方程x22kx12 k21x210,即2k21 x22kx 2k210.因为 k1 ,所以2k1,2k210 ,上述方程是实系数 1 次方程，它的判别式14k24 2k2214k22k2214 k 2k21 k2k214 2k1k 12k1k1 .由 k1 ,得 2k10 ,k10 , 2k 10 ,k 10，从而 !0，故x22kx1 2 k212x10无匚实根.3.3.5 A、B、C 是不全相等且都不为零的实数，求证：Ax22Bx C 0 ,2 2Bx 2Cx A 0 , Cx 2Ax B 0 这三个一元二

24、次方程中，至少有一个方程有两个不相 等的实数根.解析本例即要证明三个方程的判别式至少有一个大于零.但由于A、B、C 不是具体数值,很难确定哪一个方程的判别式大于零，因此可考虑三个判别式的和.因为A、B、C 都不是零，所以三个方程都是实系数一元二次方程，它们的判别式顺次记为1、2、3，则1234 B2AC4 C2AB4 A2BC2 2A22B22C22AC2AB2BC2222A BB CCA.因为A、B、C 不全相等，所以1230，从而1、2、3中至少有一个大于零,即三个二次方程中至少有一个方程两个不相等的实数根.3.3.6 对于实数u、v,定义一种运算“ * ”为：u* v uv v .1若关

25、于x的方程x* a* x-有两个不同的实数根，求满足条件的实数a的取值范围.4解析由x* (a*x)丄，得421 / 1621na 1 x a 1 x 0 ,4依题意有a 10,2a 1 a 10,解得，a 0 ,或 a 1 .337 若方程x22 1 a x 3a24ab 4b220 有实根，求a、b 的值.11 即 m2综上可知,5x28y 2 x 5y22y 20.因为x是实数，所以判别式2 24 12a43a24ab222a4ab 4b2a1w0,所以 a2b2a 12w0,从而a2b0,a10,解得 a1 ,b12只有一个不等式而要求两个值，通常是通过配方把这个不等式变形为“若干，从而可以得到一个方程组，评注在本题中， 个非负数之和小于等于零”3.3.8 ABC 的一边长为 5， 另两边长恰是方程的两个根，求m的取值范围. 解析设ABC 的三边长分别为进而求出要求的值.，且 a得 mw18 .此时由韦达定理，b122bem，即 50，并且不等式25 a224be362m ,3.3.9 求方程 5x25y28xy 2y2x 20 的实数解.解析先把y看作是常数，把原方程看成是关于x的一元二次方程，即解析因为方程有实根，所以它的判别式4b2