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1、高频考点(14) 异面直线所成角和线面及面面平行的证明知识点一.异面直线所成角的大小,是由空间任意一点分别引它们的平行线所成的锐角(或直角)来定义的,即异面直线所成的角的范围是0°90°准确选定角的顶点,平移直线构造三角形是解题的重要环节常见方法如下: 本节课用到的定理:1余弦定理:在ABC中,有a=b+c-2bccosA,b=a+c-2accosB,222222c2=a2+b2-2abcosCb2+c2-a2a2+c2-b2a2+b2-c22余弦定理的推论:cosA=,cosB=,cosC=2bc2ab2ac一、抓异面直线(或空间图形)上的已知点和特殊点过一条异面直线上的
2、已知点,引另一条直线的平行线(或作一直线并证明与另一直线平行),往往可以作为构造异面直线所成角的试探目标;或抓住特殊点(特别是中点)构造异面直线所成角是一条有效的途径. 1在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是AB的中点, (1)求BA1与CC1夹角的度数. (2)求BA1与CB1夹角的度数 (3)求A1E与CB1夹角的余弦值AA1DD1(4)若E为C1D1的中点,则异面直线AE与BC所成角的余弦值为等于解:(1)由BB'/CC',可知B'BA'等于异面直线BA'与CC'的夹角,所以异面直线BA'与CC'的夹角为45(2)连结
3、CD,BD,则BA'/ CD,BCD等于异面直线BA'与CB的夹角,由CBD 为等边三角形,B/CD/=60O ,BA'与CB/的夹角为60O/(3)连结AD,DE,则AD/ CB,DAE等于异面直线AE与CB的夹角。/A/D2+A/E2-DE2设AA=2,AE=1,AE=DE=,AD=22,在三角形DAE中,cosDAE=, /(4)取A1B1的中点F,AEF为所求角,设棱长为2,则AE=3,AF=EF=2,AE2+EF2-AF22cosAEF=.2AEEF32长方体ABCD-A1B1C1D1中,若AB=BC=3,AA1=4A1求异面直线A1B和AD1所成角的余弦值求
4、异面直线B1D与DD1A高频考点(14) 异面直线所成角和线面及面面平行的证明BC1所成角的余弦值。解因为CD1A1B,所以AD1C即为A1B与AD1所成的角 在AD1C中,AD1=CD1=5,AC=32cosAD1C=16 25解:如图连结B1C交BC1于0,过0点作OEDB1,则BOE为所求的异面直线DB1与BC1所成的角。连结EB,由已知有B1BC1=5,BE=,cosBOE= 2170练1:如图,长方体ABCDA1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点,则异面直线A1E与GF所成的角是_解:连B1G,则A1EB1G,知B1G F就是异面
5、直线A1E与GF所成的角在D1B1GF中,由余弦定理,得C1B1A1B1G2+GF2-B1F2222= cosB1GF0,2B1GGF 故B1G F90°,应选(D)练2.已知ABCD-A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱,高AA1=2,求 异面直线BD与AB1所成角的余弦值;BEDAGCFDC解:连BD,AB1,B1D1,AD1, BD/B1D1,AB1=AD1, 异面直线BD与AB1所成角为AB1D1,记AB1D1=,A1AB12+B1D12-AD12cos=2AB1B1D1D1C1B13 如图空间四边形ABCD中,四条棱AB=BC=CD=DA=AC=BD=2,E为AD的中点,F为BC中,(1)求直线AB和CE 所成角的余弦值。 (2)求直线AF和CE 所成角的余弦值。 解:(1)取BD中点M,连结MC,ME,则ME/AB,CEM等于异面直线AB和CE的夹角,取ME中点O,连结CO,CM=CE,OCME111AB=2
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