异面直线所成角及线面平行

1、高频考点（14） 异面直线所成角和线面及面面平行的证明知识点一.异面直线所成角的大小，是由空间任意一点分别引它们的平行线所成的锐角（或直角）来定义的，即异面直线所成的角的范围是0°90°准确选定角的顶点，平移直线构造三角形是解题的重要环节常见方法如下： 本节课用到的定理：1余弦定理：在ABC中，有a=b+c-2bccosA，b=a+c-2accosB，222222c2=a2+b2-2abcosCb2+c2-a2a2+c2-b2a2+b2-c22余弦定理的推论：cosA=，cosB=，cosC=2bc2ab2ac一、抓异面直线(或空间图形)上的已知点和特殊点过一条异面直线上的

2、已知点，引另一条直线的平行线(或作一直线并证明与另一直线平行)，往往可以作为构造异面直线所成角的试探目标；或抓住特殊点(特别是中点)构造异面直线所成角是一条有效的途径. 1在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AB的中点， （1）求BA1与CC1夹角的度数. （2）求BA1与CB1夹角的度数 (3)求A1E与CB1夹角的余弦值AA1DD1（4）若E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为等于解：（1）由BB'/CC'，可知B'BA'等于异面直线BA'与CC'的夹角，所以异面直线BA'与CC'的夹角为45（2）连结

3、CD，BD，则BA'/ CD，BCD等于异面直线BA'与CB的夹角，由CBD 为等边三角形，B/CD/=60O ，BA'与CB/的夹角为60O/（3）连结AD，DE，则AD/ CB，DAE等于异面直线AE与CB的夹角。/A/D2+A/E2-DE2设AA=2，AE=1，AE=DE=，AD=22，在三角形DAE中，cosDAE=， /（4）取A1B1的中点F，AEF为所求角，设棱长为2，则AE=3,AF=EF=2，AE2+EF2-AF22cosAEF=.2AEEF32长方体ABCD-A1B1C1D1中，若AB=BC=3,AA1=4A1求异面直线A1B和AD1所成角的余弦值求

4、异面直线B1D与DD1A高频考点（14） 异面直线所成角和线面及面面平行的证明BC1所成角的余弦值。解因为CD1A1B，所以AD1C即为A1B与AD1所成的角 在AD1C中，AD1=CD1=5,AC=32cosAD1C=16 25解：如图连结B1C交BC1于0，过0点作OEDB1，则BOE为所求的异面直线DB1与BC1所成的角。连结EB，由已知有B1BC1=5，BE=，cosBOE= 2170练1：如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是_解：连B1G，则A1EB1G，知B1G F就是异面

5、直线A1E与GF所成的角在D1B1GF中，由余弦定理，得C1B1A1B1G2+GF2-B1F2222= cosB1GF0，2B1GGF 故B1G F90°，应选(D)练2.已知ABCD-A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，高AA1=2，求 异面直线BD与AB1所成角的余弦值；BEDAGCFDC解：连BD,AB1,B1D1,AD1， BD/B1D1,AB1=AD1， 异面直线BD与AB1所成角为AB1D1，记AB1D1=，A1AB12+B1D12-AD12cos=2AB1B1D1D1C1B13 如图空间四边形ABCD中，四条棱AB=BC=CD=DA=AC=BD=2，E为AD的中点，F为BC中，（1）求直线AB和CE 所成角的余弦值。 （2）求直线AF和CE 所成角的余弦值。 解：（1）取BD中点M，连结MC，ME，则ME/AB，CEM等于异面直线AB和CE的夹角，取ME中点O，连结CO，CM=CE，OCME111AB=2