基本不等式最新1(1)

1、2abab 重要不等式重要不等式定理定理：如果如果 ，那么，那么 （当且仅当（当且仅当 时取时取“= =”号）号）Rba,abba222ba 我们可以用比较法证明我们可以用比较法证明探究探究n你能从几何的角度解释定理吗？你能从几何的角度解释定理吗？n几何解释课本第几何解释课本第5页页 .,成立等号时当且仅当所以时等号成立当且仅因为证明bababaabba 02222:,1释释定定理理长长度度那那么么可可以以这这样样来来解解作作为为线线段段如如果果把把实实数数ba.,;,.,22211baSSbEFCEFGaABABCDbaCEFGABCD 正方形正方形那么中在正方形中在正方形如图为例以bbba

2、aABCDEFGKIJH211 .图图的长和矩形矩形JCDIBCGH.,abSSbaJCDIBCGH2 矩形矩形它们的面积和是宽为均为的公共部分是正和和矩形矩形JCDIBCGH.,相等形其面积与正方等于它的边长方形CEFGbJCGKbbbaaABCDEFGKIJH211 .图图,.,时当且仅当即的面积的和与正方形于正方形它不大影部分的面积阴中图于等就和上述两个矩形的面积baabbaCEFGABCDab 2222.,abbaCEFGABCD222 即面积和方形与正等于正方形积阴影部分面两个正方形,所以两个矩形成为ab22ab 动画动画几何解释几何解释221aab221ba几何解释几何解释 思考思

3、考 1220,0,2ababab当在中以 a, b分别代替a,b能得到什么结果?2abababba2( (当且仅当当且仅当 时取时取“ = = ”号）号） ba 如果如果 是正数，那么是正数，那么 ,a b 基本不等式基本不等式定理定理（均值定理）（均值定理）概念概念n如果、都是正数，我们就称为、如果、都是正数，我们就称为、n的的算术平均算术平均 ，称为、的，称为、的几何平均几何平均。2abab均值定理可以描述为：均值定理可以描述为： 两个正数的两个正数的算术平均数算术平均数不小于（即大于或等于）不小于（即大于或等于）它们的它们的几何平均数几何平均数.不等式的几何意义下面我们讨论一下基本.,.

4、bBDaADABOCABABCRtCD 上的中线是斜边上的高中斜边是中在图311AODBC311 .图图 .baABOC 2121,于是,090 ADCA因为.,BDCAAB 所以090,BDCDCDADDBCRtDCARt 从而于是AODBC311 .图.abCDbCDCDa 所以即.,abbaCDOCOCDRtba 2所以大于直角边斜边中在时当.,abbaCDOCABABCRtba 2所以重合和高上的中线斜边时当.:,小于斜边上的高三角形斜边上的中线不直角是基本不等式的几何意义综上所述可知?其其他他几几何何解解释释吗吗你你能能给给出出基基本本不不等等式式的的探探究究ab.2abab2ab半

5、径不小于半弦DBCEoA2ababOCCDaD 当且仅当当且仅当 中的中的“ = = ”号成立号成立 ba 时时2abab这句话的含义是这句话的含义是: 思考思考 2ba abba2当当ba abba2当当 和成立的条件相同吗？ 如： 成立，而 不成立。abba222abba2)5() 1(2)5() 1(22)5() 1(2)5() 1( 思考思考 3abba222成立的条件_abba2成立的条件_a，bRabR，222abcabbcac （1 1） 典例探讨典例探讨222abbcca222变式:求证:2a +2b +2c例例1 1 求证：求证：（）已知（）已知, , ,a b c d都是正

6、数，求证都是正数，求证()()4abcd acbdabcd证明：证明：由, , ,a b c d都是正数，得都是正数，得02abcdab cd02acbdac bd()()4abcd acbdabcd()()4abcd acbdabcd即2., ,a b c巳知均为正数,求证:(a+b)(b+c)(c+a)8abc1 .0 ,0 ,11: ()()4 .ababab巳 知求 证 练习练习1例例2 2 求证：求证：（1）在所有周长相同的矩形）在所有周长相同的矩形中，正方形的面积最大；（中，正方形的面积最大；（2）在所有面）在所有面积相同的矩形中，正方形的周长最短。积相同的矩形中，正方形的周长最短

7、。 :,.,问问题题就就转转化化为为这这样样面面积积为为为为那那么么该该矩矩形形的的周周长长宽宽为为设设矩矩形形的的长长为为分分析析xyyxyx 2 ?,最最大大有有什什么么关关系系时时那那么么正正数数为为定定值值从从而而如如果果xyyxyxyx 21 ?,最小最小从而从而有什么关系时有什么关系时那么正数那么正数为定值为定值如果如果yxyxyxxy 22.,式式证证明明所所以以可可以以利利用用基基本本不不等等间间的的数数量量关关系系及及两两个个正正数数的的和和与与积积之之由由于于基基本本不不等等式式恰恰好好涉涉.,yx 宽为设矩形的长为解 .,为定值即设矩形周长为定值lyxl 221,xyyx

8、 2根据基本不等式.xyl 4可得,162lxy 矩形的面积于是.,162lxy 取得最大值积面形时即当且仅当矩形是正方等号成立,时当且仅当yx .,Syxyx42值取得最小周长矩形是正方形时即当且仅当等号成立时当且仅当 .,为定值即设矩形面积为定值SxyS 2,xyyx 2根据基本不等式 ,Sxyyx442 矩形的周长变形变形.1 如果积 已知yx,都是正数，求证：xy是定值 ,P那么当 yx 时,和 yx 有最小值 2P2 如果和 yx 是定值 ,S那么当 yx 时,积 xy有最大值 214S证：证： Ryx, xyyx21当 xyP（定值）时，2xyP 上式当 yx 时取“=” 当 yx

9、 时， xy有最小值2 P2当 xyS (定值)时， 2Sxy 214xyS 上式当 yx 时取“=” 当 yx 时， 214xyS有最大值yx 2 P注意：注意：1、最值的含义（最值的含义（“”取最小取最小值，值，“”取最大值）取最大值） 2、用极值定理求最值的三个必要条用极值定理求最值的三个必要条件：件：一一“正正”、二、二“定定”、三、三“相等相等”2()2()abab 22a+b由 公 式 a +b2ab,ab2可 得 以 下 结 论 ：ab(1)、同 号 ；baab（ 2）、异 号 。ba练习练习21.巳知x0,y0且xy=100,则x+y的最小 值是 _,此时x=_,y= _242

10、.0,xxx巳知则6的最小值是_,此时x=_.3.证明证明210loglgxx（1）) 1(x证：证： 1x 0lgx010logx于是 210lglg210loglgxxxxlglog 10_ 2xx（2）(01)x解解： 10 x0lgx010logx于是 2)10log()lg(xx从而 210loglgxx？4.已知 求证：（1） （2）, ,1.a b cRabc且1119abc22213abc1(3)3abbcca1cba2)(cbacabcabcba2222221abba222bccb222caac222（3）证明：）证明：cabcabcba222cabcabcba2221222

11、cabcab33331cabcabABCDEFGHMNPQ .,;,.,)(,)(,.,并并求求出出这这个个最最小小值值最最小小为为何何值值时时当当关关系系式式的的函函数数关关于于试试建建立立米米长长为为元元设设总总造造价价为为元元造造价价每每平平方方米米坪坪上上铺铺草草图图中中四四个个三三角角形形再再在在四四个个空空角角元元平平方方米米造造价价为为每每铺铺花花岗岗岩岩地地坪坪图图中中阴阴影影部部分分同同的的矩矩形形上上在在四四个个相相元元造造价价为为每每平平方方米米坛坛上上建建一一座座花花计计划划在在正正方方形形域域平平方方米米的的十十字字型型地地构构成成的的面面积积为为和和是是由由两两个个

12、相相同同的的矩矩形形图图它它的的主主体体造造型型平平面面图图场场所所角角形形的的休休闲闲某某居居民民小小区区要要建建一一座座八八SxxSxADSMNPQEFGHABCD21802104200200411 411 .图图例3411 .图图ABCDEFGHMNPQ ,200412 xyxyDQ则米设解.xxy42002 从而于是2228042104200yxyxS 22224200280420042104200 xxxxxx22400000420038000 xx 411 .图图ABCDEFGHMNPQ 2240000040002xx 由基本不等式可知,800004000004000222 xx.

13、0001180008000038 S所以.,.,等号成立时即当且仅当163000400000422 xxx.,.,元最小值取休闲场所总造价米时约为当由此可知000118163SAD解解： 1x 01x011x 11xx= 112111) 1(21111xxxx 当且仅当当且仅当 111xx即即 0 x时 11xx有最小值有最小值1例例4.若，则为何值时若，则为何值时 11xx有最小值，最小值为几？有最小值，最小值为几？1.yxx1、求函数的值域解解:2121,0) 1 (xxxxx时当,1,0)2(Rxxx时当2)1()(21xxxx21xx)., 22,(y 练习练习32(3)831xxxx21、求函数y=的最小值；x-3、求函数y=的值域.sin22sinxyx4.求（0 x）的最小值。例例5.已知，求（）的最大值证明：222( ,)1122abababa bRab 注意注意:利用算术平均数和几何平均利用算术平均数和几何平均数定理时一定要注意定理的条件数定理时一定要注意定理的条件: 一正一正;二定二定;三相等三相等.有一个条件达不有一个条件达不到就不能取得最值到就不能取得最值.例例6