单元复数与复数平面

1、單元:複數與複數平面一.i的定義 為虛數單位. 所有負數的正平方根都可用i表示之 如：, , , . 循環性質:二.複數的由來:凡是可以寫成i的實數倍bi ()者,稱之為純虛數任何數均可以a+bi表示,其係由實數a和純虛數bi相加,如a+bi的數,稱之為複數,其中a稱為a+bi的實部,b稱為a+bi的虛部共軛複數複數a+bi中,稱之為複數,將虛部加負號,得a-bi稱此為共軛複數,記為根式運算性質:三.複數的四則運算：設則1.2.3.4.設則例1.化簡下列各複數:(1)(2) (3)1+i+i2+×××××+ i99解: 答:(1); (2) (

2、3)0例2. 設,若,求a, b.解:答: ,若 有實根,求a解:答:0或-1, 若,求x.解: 答: a0b0列何者正確(A)× (B)a (C) (D)a2 (E)a3解:答:(D)w則下列何者錯誤(A)(B) (C)1(D)w2w10(E)解: 答:(B)例7.設f (x) =，求f ()之值解: 答:i (87推)解: 答:1(A) 為ax2bxc0之二根abc皆為實數,若則(B)為ax2bxc0之二根且abc皆為複數若23i則23i(C)若abc皆為複數且abc0則abc0 (D)若abab均為實數則ab均為實數(E)設abc皆為實數則有實根解:答:(A)(B)(C)(D)

3、練習1.將下列複數化成a + b i的形式：(1) (2)(1+i)(2-i) (3)-5 (4) 答:練習2.(1) 的實部為 ; (2) 的共軛複數為 .答: (1) -1; (2) 練習3.將下列複數化成a + b i的形式：(1) 1+ 2i + 3i2+×××××+ 100i99 (2) 答:(1)-50-50i (2) 練習4.將下列複數化成a + b i的形式： (1) (2) (3) (4) 答:abÎR若72i則數對(a,b)? 答:(3,5)abÎR若則數對(a,b)=? 答:(4,2)練習7.一複數z之

4、實部為a，虛部為b，則之虛部為(A) (B) (C) (D) (E) 答：(A)練習8.選出正確的 (A)若a0b0則 (B)若a0b0則 (C)若ab0則 (D)若ab0則 (E)abÎR若ab則i答:(A)(D)(E)練習9.下列何者不正確(A)()2 (B) (C) (D) (E) 答:(A)(C)(D)練習10.下列何者為真(A)()2 (B)若ab均為實數且ba則 (C) (D)若ab0則´(E)若ab0則 答:(B)(E) 練習11.下列何者錯誤？(A) (B) (C) (D) (E) 答：(C)練習12.設x,yÎR，且x+y+i=10+xyi，求

5、答: 8練習13.設，求之值 答:9練習14.設(2-i)為之一根，則a= _，又另一根為_。答：練習14.設R , 則a =_ , b = _。 答：52, 50四.共軛複數複數z=a+bi中,稱之為複數,將虛部加負號,得a-bi稱此為共軛複數,記為 共軛複數的運算性質: 例1.試求共軛複數解:答： 為複數,a為實數,下列何者為 的共軛複數解:答:(D)練習1.設求之共軛複數 答：練習2.設為複數,a,b均為實數,下列何者為 的共軛複數 答:(D)五.複數平面：1.定義：以水平線為x軸(實軸)，鉛直線為y軸(虛軸)，P (a+bi )«點(a,b)2.複數的絕對值：(1) 定義：設

6、 z = a + b i (a,bÎR)，規定z的絕對值為，記為ôzô= (2)幾何意義：(2-1)ôzô：複數z到原點的距離(2-2)ôz1- z2ô：複數z1與z2之間的距離 (3)性質： (3-1)ôzô=ôô³ 0 (3-2) ôzô2= z × (3-3)ôz1×z2ô = ôz1ô×ôz 2ô (3-4) ôô= (3-5)ô

7、z nô=ôzôn例1.設兩複數,則解: 答:(1)5 (2)1分別代表求(1)之周長? (2)面積?解: 答: 例3.絕對值的意義-(距離)設,求之值解:答: 10z為複數, 求的最小值 解:答: 2,且符合之條件 則求所有的點符合以上z的條件者,在複數平面所呈現之圖形為何?解:答:3x-2y+5=0(x:實數項,y:虛數項)例6.複數平面上設OABC為正方形,且O(0),A(2+3i),又B在第二象限,則B與C所對應之複數解: 答:B(-1+5i),C(-3+2i)例7.設a為實數,則a=? (86推)解: 答: 例8. 解: 答: 1 ,則答: =? 答:

8、ABCD為一平行四邊形,其中A(0+i),B(1+i),C(a+bi),D(3-2i), 求a+b=? 答:-1,並敘述其基本的性質 答:(1)直線(某兩點之中垂線),(2)圓(圓心.半徑),(3)一線段(兩端點) (4)一射線(一端點),(5)不存在(理由?),)練習5.複數平面上設O(0),A(4+2i),B(4-2i),求三角形OAB的面積? 答: 8練習6.複數平面上設A(3+4i),B(x+0i),x為實數,若,求x之值? 答: 6或0練習7.設下列何者正確(A) 若kÎR則 (B)若則2 (C)若則(D)若則(E) 答:(A)(E)練習8.下列何者可比較大小(A)7i與5

9、i (B)32i與 (C)53i與2i (D)與 (E)13i與85i答:(B)(D)(E)練習9.設則 答: 練習10.設則_。 答：2共軛複數的根設則 令則(1)兩根為相異實根(2)兩根為相同實根(3)兩根為共軛實根根所衍生的概念1.根與係數關係:兩根2.一元二次方程式,由根造此方程式;兩根兩根 4.技巧:例1. 試解方程式。解:答：例2. 若為之二根,求：解: 答:(1)-6(2)2(3)32(4)-180為之二虛根 且亦為此方程式之根,求：解: 答: -1例4. 若為之二根,求：解: 答: -1/9例5.設a為實數,令為之兩根，若有最小值求a=?解: 答: 2 甲看錯a其餘沒看錯解得2與-3,乙用公式解將D做錯得-1與0.5,求正確的兩個根解: 答:1.5 與-2為方程式之二根,求：(1);(2) 答:(1) -14; (2) -6.練習2.若為之二根,求： 答:(1)7 (2)18 (3)120練習3.若為之二根且為之根,求： 答: -2練習4.若為方程式之二根,求：(1);(2) 答:(1) -14