垂径定理 (3)

1、问题问题 ：它的主桥是圆弧形：它的主桥是圆弧形,它的跨度它的跨度(弧所对弧所对的弦的长的弦的长)为为37.4m,拱高拱高(弧的中点到弦的距弧的中点到弦的距离离)为为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？吗？ 实践探究实践探究沿着圆的任意一条直径对折，重复几次，沿着圆的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？你发现了什么？由此你能得到什么结论？可以发现：可以发现： 圆是圆是轴对称图形轴对称图形，任何一条直径任何一条直径所在直线所在直线都是它的对称轴都是它的对称轴如图，如图，AB是是 O的一条弦，做直径的一条弦，做直径CD，使，使CDAB，垂足为

2、，垂足为E（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？OABCDE活活 动动 二二 （1）是轴对称图形直径）是轴对称图形直径CD所在所在的直线是它的对称轴的直线是它的对称轴（2） 线段：线段： AE=BEAC = BCAD = BD弧:ODCBAM在在 O中，直径中，直径CD弦弦AB AM = BM = AB 21AC = BCAD = BD垂直于弦的直径平分弦，垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧垂径定理垂径定理:ODC

3、BAM在在 O中，直径中，直径CD平分弦平分弦ABCDABAC = BCAD = BD并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧 . .平分平分垂直于弦，垂直于弦， 你能平分一条你能平分一条弧吗？弧吗？1、在、在 O中，中，OC垂直于弦垂直于弦AB，AB = 8，OA = 5，则，则AC = ，OC = 。ABCOABCO58431、在、在 O中，中，OC平分弦平分弦AB，AB = 16，OA = 10，则，则OCA = ，OC = 。1610906设设 O的半径是的半径是r，圆心到弦的，圆心到弦的距离距离d，弦长，弦长a，三者关系如何？三者关系如何？rd2a r2 =d2+( )2a2O问

4、题问题 ：它的主桥是圆弧形：它的主桥是圆弧形,它的跨度它的跨度(弧所对的弦的长弧所对的弦的长)为为37.4m,拱高拱高(弧的中点到弧的中点到弦的距离弦的距离)为为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？半径吗？ODABCR解得：解得：R279（m）ODABCR解决求赵州桥拱半径的问题？解决求赵州桥拱半径的问题？在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得即即 R2=18.72+（R7.2）2因此，赵州桥的主桥拱半径约为因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.OA2=AD2+OD2如图，用如图，用AB表示主桥拱，设表示主桥拱，设 AB所在圆的圆心为所在圆的圆心为O，半

5、径为，半径为R经过圆心经过圆心O作弦作弦AB的垂线的垂线OC，D为垂足，为垂足，OC与与AB相交于点相交于点C，根据前面的结论，根据前面的结论，D是是 AB的中点，的中点，C是是AB 的中点，的中点，CD就是拱就是拱高高 解解:,7.184.372121ABADAB=37.4，CD=7.2，OD=OCCD=R7.2半径半径OC弦弦ABAB=37.4mCD=7.2m 1 如图，已知在如图，已知在 O中，弦中，弦AB的长为的长为8厘米，圆心厘米，圆心O到到AB的距的距离为离为3厘米，求厘米，求 O的半径。的半径。解：连结解：连结OA。过。过O作作OEAB于于E，则则OE3厘米，厘米，AE12ABA

6、B8厘米厘米 AE4厘米厘米 在在Rt AOE中，根据勾股定理有中，根据勾股定理有OA5厘米厘米 O的半径为的半径为5厘米。厘米。.AEBO活动三活动三2如图，在如图，在 O中，中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，为互相垂直且相等的两条弦，ODAB于于D，OEAC于于E，求证四边形，求证四边形ABOE是正方形是正方形OABCDE证明：证明： OEAC OD AB ABAC90 90 90OEAEADODA四边形四边形ADOE为矩形，为矩形，又又AC=AB11 22AEAC ADAB， AE=AD 四边形四边形ADOE为正方形为正方形. AG = BG CG = DG AG - CG = B

7、G - DG即即 AC = BDABCDOGabcd a = b ，c = d a c = b - d线段加减线段加减圆弧加减圆弧加减1 1、如图，如图，AB、CD都是都是 O的弦，且的弦，且ABCD. 求证：求证：AC = BD。 ABCDOFE解：过点解：过点O作作OECD，交，交CD于点于点E在在 O中，中，OF弦弦ABG交交 O于点于点G交交AB于点于点F， AG = BG OE弦弦CD CG = DG AG - CG = BG - DG即即 AC = BDODCBAM解：连接解：连接OA在在 O中，直径中，直径CD弦弦AB AB =2AMOMA是是Rt CD = 20 AO = CO

8、 = 10 OM = OC CM = 10 4 = 6在在Rt OMA中，中，AO = 10，OM = 6根据勾股定理，得：根据勾股定理，得：222AMOMAO86102222OMAOAM AB = 2AM = 2 x 8 = 16动动脑筋动动脑筋说出你这节课的收获和体说出你这节课的收获和体验让大家与你分享吗？验让大家与你分享吗？判断下列说法的正误判断下列说法的正误 平分弧的直径必平分弧所对的弦平分弧的直径必平分弧所对的弦 平分弦的直线必垂直弦平分弦的直线必垂直弦 垂直于弦的直径平分这条弦垂直于弦的直径平分这条弦 平分弦的直径垂直于这条弦平分弦的直径垂直于这条弦 弦的垂直平分线是圆的直径弦的垂直平分线是圆的直径 平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦平分弦所