导数在研究函数中的应用(含标准答案)

1、导数在研究函数中的应用导数在研究函数中的应用【自主归纳，自我查验】一、自主归纳1 .利用导函数判断函数单调性问题函数f(x)在某个区间(a,b)内的单调性与其导数的正负有如下关系若,则f(x)在这个区间上是增加的.(2)若,则f(x)在这个区间上是减少的.若_,则f(x)在这个区间内是常数.2 .利用导数判断函数单调性的一般步骤求fx).(2)在定义域内解不等式fx)0或fx)0.(3)根据结果确定f(x)的单调区间.3 .函数的极大值在包含x0的一个区间(a,b)内，函数y=f(x)在任何一点白函数值都x0点的函数值,称点xO为函数y=f(x)的极大值点，其函数值f(xO)为函数的极大值.4

2、 .函数的极小值在包含xo的一个区间(a,b)内，函数y=f(x)在任何一点白函数值都x0点的函数值,称点x0xo为函数y=f(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值.极大值与极小值统称为,极大值点与极小值点统称为极值点.5 .函数的最值与导数1 .函数y=f(x)在a,b上的最大值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都f(xo).2 .函数y=f(x)在a,b上的最小值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都f(xo).二、自我查验1 .函数f(x)=x+elnx的单调递增区间为()A.(0,+8)B.(8,0)C.(0)和(0,+8)d.R2,若函数f(x)=x3+

3、x2+mx+1是R上的单调增函数，则m的取值范围是.193.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f(x)在(a,b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点()A.1个B.2个C.3个D.4个)4.若函数f(x)=x3+ax2+3x-9在x=-3时取得极值，则a等于(A.2B.3C.4D.55.函数ylnx的最大值为(B-e【典型例题】考点一利用导数研究函数的单调性【例1】(2015高考全国卷n )已知函数f(x)= ln x+ a(1 x).讨论f(x)的单调性;(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a 2时，求a的取值范围.【变式训练1已知fxx3ax2a

4、2x2.(1)若a1时，求曲线yfx在点1,f1处的切线方程;(2)若a0,求函数fx的单调区间.考点二利用导函数研究函数极值问题【例2】已知函数fxlnxax3,aR.(1)当a1时，求函数的极值；(2)求函数的单调区间.【变式训练2】(2011安徽)设f(x)=12,其中a为正实数.当a=4时，求f(x)的极值点;1 十ax3考点三利用导函数求函数最值问题2 .【例3】已知a为头数，fx(x4)(xa).(1)求导数fx；(2)若f10,求fx在2,2上的最大值和最小值【应用体验】1 .函数yxlnx的单调递减区间为()A.1,1B.0,C.1,D.0,12 .函数fxxex的单调递减区间

5、是（）A.(1,)B.(,1)C.(,1)D.(1,)3 .函数fxx3ex的单调递增区间是()A.0,3B.1,4C.2,D.,22.4 .设函数fxlnx,则()x,1，一，A-x一为fx的极大值点2r1、，B.x一为fx的极小值点2C.x2为fx的极大值点D.x2为fx的极小值点325 .函数f（x）2x3xa的极大值为6,那么a的值是（）A.0B.1C.5D.6【复习与巩固】A组夯实基础一、选择题1.已知定义在 R上的函数f x ,其导函数x的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（）B.fbfafeD.fcfefd2.函数f xx2 aln x在x 1处取得极值，则a等于（A.2B.2

6、C.4D.43 .函数fxexx(e为自然对数的底数)在区间1,1上的最大值是()A.1+-B.1eC.e+1D.e1二、填空题4 .若函数fxx3xc 2 3x ax .5.右函数f x x在x 0处取得极值，则 a的值为.e6.函数f(x) ex x在1,1上的最小值是 . 三、解答题 2.一，.7.已知函数f x x In x,求函数f x的单倜区间，一一x8.已知函数f x ax,x 1 .In x(1)若f x在1,上单调递减，求实数 a的取值范围;若a 2,求函数f x的极小值.mx1是R上的单调增函数，则实数m的取值范围是B组能力提升、选择题21n数，则实数a的取值范围是3-、,

7、一入人、/ 口在其定义域内的一个子区间a 1,a 1内不是单调函2)B.5141,2D.1,22 .若函数y2ax0,1内无极值，则实数 a的取值范围是(B.,0,0D.3 .若函数f1,1上有最大值3,则该函数在 1,1上的最小值是()1212二、填空题4 .已知函数、1 f(x)=2x2 .+ 2ax ln x,4，、1，若f(x)在区间H 2上是增函数，则实数 a的取值范围为5 .设x1,x2是函数f(x)=x32ax2+a2x的两个极值点，若x120(2)f(x)0,故单调增区间是(0,+00).x答案：A2 .解析：f(x)=x3+x2+mx+1,f(x)=3x2+2x+m1又f(x

8、)在R上是单调增函数，f(x)0包成立，.A=412m-.3答案：1,+0033 .解析：导函数f(x)的图象与x轴的交点中，左侧图象在x轴下方，右侧图象在x轴上方的只有一个，故选A.答案：A4 .解析：f(x)=3x2+2ax+3,由题意知f(3)=0,即3X(3)2+2X(-3)a+3=0,解得a=5.答案：D5.A【解析】ylnxy1_nx,令y1ln-x0xe,当x(0,e)时函xxx数单调递增，当x(e,)时函数单调递减，ymax-e1故选Ae三.典型例题1_一【例题1】(1)f(x)的止义域为(0,+oo),f(x)=-a.右a0,x所以f(x)在(0,+8)单调递增.若a0,则当

9、xC0,1时，f(x)0；a当xe1,+8时，f(x)0.所以f(x)在0,1单调递增，aa,1在+00单调递减.a1一由知，当a0时，”)在乂=-处a取得最大值，最大值为f1=ln1+a11=lna+a-1.aaa1因此f二2a2等价于Ina+a10.a令g(a)=lna+a1,则g(a)在(0,+00)单调递增，g(i)=0.于是，当0a1时,g(a)1时，g(a)0.因此，a的取值范围是(0,1).【变式训练1(1)当a1时，fxx3x2x2,fx3x22x1,切线斜率为k f 14 ,又f 13, 切点坐标为1,3 , 所求切线方程为y 3 4 x 1 ,即 4x y 1 0.f xQ

10、 a 0, 322a3x 2ax a 乂2 3乂2,由乂 0,得 x a或x.3aaa.由 f x 0,得 x a 或x ，由 f x 0,得 a x -.33函数f x的单调递减区间为a, a ,单调递增区间为311x【例题2(1)当a1时，fxlnxx3,fx-1x0,xx令fx0,解得0x1,所以函数fx在(0,1)上单调递增；令f x 0,解得x 1 ,所以函数f x在1,上单调递减;f x - a. x上包成立，所以函数f x在0, 上单调1一 1x 1 ,所以函数f x在0,上单调递增;所以当x1时取极大值，极大值为f12,无极小值.(2)函数fx的定义域为0,1.当a0时，f(x

11、)-a0在0,x递增；当a0时，令fx0,解得01一.1令fx0,解得xi,所以函数fx在，上单调递减.综上所述，当a0时，函数fx的单调增区间为0,;当20时，函数fx1、一，、,的单调增区间为0,-,单调减区间为a【变式训练2】解对f(x)求导得x1+ax22ax4一一.2f(x)=ed,22.当a=a时，右f(x)=0,则4x8x+3=0,I十ax3【例题3】1)f x 2x(xa) (x24)3x22ax31一一解得x1=2,x2=2.结合，可知x(一,12)1213(2,2)323(5，十OO)f(x)十0一0十f(x)极大值极小值1J31所以x1=2是极小值点，x2=2是极大值点(

12、2)由f1f(x)(x214)(x 2)1x2 4x2f( 2)fmax(X)3x2f(2)0 , f( 1)16920 5509 62750fmin (x)27当 a 0 时，f (x) ex 2a,令f(x)在R上单调递增,【变式训练3】1)当a0时，函数f(x)ex2a0,2a0,得xln(2a),所以当x(,ln(2a)时，f(x)0,函数f(x)单调递减；当x(ln(2a),)时，f(x)0,函数f(x)单调递增.(2)由(1)可知，当a0时，函数f(x)ex2ax0,不符合题意.当a0时，”乂)在(，ln(2a)上单调递减，在(ln(2a),)上单调递增.当ln(2a)1,IP|a

13、0时，f(x)最小值为f(1)2ae.e解2ae0,得a-,符合题息.22a 2aln( 2a),e当ln(2a)1,即a万时,f(x)最小值为f(ln(2a)解 2a 2aln( 2a) 0,得 ae ,不符合题意.2应用体验:1.D【解析】函数的定义域为0,，令y1 x 11 0，解得x 0,1 ,又x 0 , x x所以x 0,1 ,故选D.考点：求函数的单调区间.2.A【解析】导数为f x ex1 xex,令f x 0,得x 1 ,所以减区间为1,.考点：利用导数求函数的单调区间.3.C0,解得x 2,【解析】fxex乂36、6)(乂2,令乂exx2所以函数fx的单调增区间为2,.故选

14、C4.【解析】f x21x2,-2212,由fx0得x2,又函数定义域为0,当0 x 2时，f xxxx0,fx递减，当x2时，fx0,fx递增，因此x2是函数fx的极小值点.故选D.考点：函数的极值点.5.D【解析】Qf(x)2x33x2a,fx6x26x6xx1,令fx0,可得x0,1,容易判断极大值为f0a6.考点：函数的导数与极值.复习与巩固A组1.C【解析】由fx图象可知函数fx在，c上单调递增，在c,e上单调递减，在e,上单调递增，又a,b,c,c，且abc,故fcfbfa.考点：利用导数求函数单调性并比较大小.2.Baa【解析】fx2x,由题意可得f1212a0,a2.故选B.x

15、1考点：极值点问题.3.D【解析】fxex1,令fx0,得x0.1.11又f0e001,f1e11,f111，且e11-e2=e 2e e0,所以f1,故选D.考点：利用导数求函数在闭区间上的最值4.一,3【解析】由题意得f(x)0在R上恒成立，则fx3x22xm0,即m3x22x包成立.令gx3x22x,则mgxmax,因为gx3x22x为R上的二次函所以gxmax5.0【解析】ax ex26xae3xx2e2c3x6ax0.由题意得考点：导数与极值.6.1【解析】因为f（x）e0,f(x)0x0,所以f(x)在1,0单调递减，在0,1单调递增，从而函数f(x)ex*在1,1上的最小值是f(

16、0)e001.考点：函数的最值与导数.7.【解析】1c-xlnx的je义域为0,21-，令fx0,贝Ux1或1（舍去）.当01时，fx0,fx递减，当x1时,fx0,fx递增,的递减区间是0,1,递增区间是1,考点：利用导数求函数的单调区间.4、e18.(1)a(2)4【解析】（1）函数fxax,xlnxlnx1lna,由题意可得0在x1,上包成立，1ln2x1lnx1lnx1,lnx0,1.一一10时，函数t2lnx(2)当a2时，fxxc2x,fxInx2lnx12lnxInx令fx0,得2ln2xInx10,解彳导lnx2或Inx1（舍去），即xje.2当ixve时，fxo,当x&时，f

17、xo,，-fx的极小值为fee4n.B组1.D1 3【解析】因为函数fxx211nx3在区间a1,a1上不单调，所以2 2,4x2 12x在区间a 1,a1上有零点,0,1得1aa1,2考点：函数的单调性与导数的关系.0 ,所以y x3 2ax a在0,1上单调2.C【解析】y3x22a,当a0时，y递增，在0,1内无极值，所以a0符合题意；当a0时，令y0,即02c八右刀/日6a6a位6a6a3x2a0,解得x1,x2，当x,U,时，3 333y0,当x显叵时，y0,所以yx32axa的单调递增区间为33限等，单调递减区间为手，手，当x好时原函数取得极大值，当x退时，原函数取得极小值，要满足

18、原函数在0,1内无极3值，需满足沮1,解得a3综合得，a的取值范围为,0U-,322故选C.考点：导函数，分类讨论思想.3.C【解析】fx3x23x3xx1,当fx0时，x1或x0,当fx0时，0x1,所以fx在区间1,0上函数递增，在区间0,1上函数递减，所以当x0时，函数取得最大值f0a3,则fxx33x23,所以21 5一一，一一1f11,f15,所以最小值是f11.2 22考点：利用导数求函数在闭区间上的最值.1,11,4.解析：由题意知f(x)=x+2a-0在马，2上包成立，即2ax+-在x3x2 上恒成立，=一x+max=|,.2a|,即a1*3 x333答案：4,+0035.解析

19、：本题考查利用导数研究函数的极值及不等式的解法.由f(x)=3x2a2,4ax+a2=0得x1=二，x2=a.又x2x2,a2a6.30,即a02xex有解，设g(x)=2xex,则g(x)=2ex,令g(x)=0,解得x=ln2,则当x0,g(x)单调递增,当xln2时，g(x)0,f(x)=12+4xx由函数f(x)在定义域上是增函数，得f(x)0,即a2x-x2=-(x-1)2+1(x0).因为一(x1)2+1&1(当x=1时，取等号)，所以a的取值范围是1,+oo).2 2)g(x)=ex21+2lnxx由(1)得a=2时，f(x)=x2lnx-2+1,xx且f(x)在定义域上是增函数，又f(1)=0