第5章- 角动量守恒定律

1、1 的概念是在研究物体转动问题时引入的。与动的概念是在研究物体转动问题时引入的。与动量、能量一样，角动量也是一个描述质点和质点系运动状量、能量一样，角动量也是一个描述质点和质点系运动状态的基本物理量；角动量守恒定律也是一个与动量守恒定态的基本物理量；角动量守恒定律也是一个与动量守恒定律和能量守恒定律并列的守恒定律。但是，角动量的概念律和能量守恒定律并列的守恒定律。但是，角动量的概念和数学表达要比动量、能量复杂一些。和数学表达要比动量、能量复杂一些。微观微观: : 电子绕原子核运动电子绕原子核运动宏观宏观: : 行星绕太阳运动行星绕太阳运动 例例质点绕某一中心转动质点绕某一中心转动23第一节4

2、- 14 - 1angular momentum andangular momentum andlaw of conservation of angular momentum law of conservation of angular momentum 大量天文观测表明大量天文观测表明rmvsin常量常量方向：方向：rmv()定义：定义：质点质点m绕某一中心绕某一中心O转动转动,对对O点的点的 角动量角动量 为为单位单位：千克千克米米2/秒秒（kgm2/s）。大小大小：L=rpsin = mrvsin 5-1 角动量角动量 宏观宏观: 行星绕太阳运动行星绕太阳运动4地地球球上上的的单单摆摆大

3、小会变大小会变变变太太阳阳系系中中的的行行星星大小大小未必未必会变。靠什么判断？会变。靠什么判断？变变变变变变大小大小质点质点 对对 的角动量的角动量问题的提出问题的提出5导致角动量导致角动量 随时间变化的根本原因是什么？随时间变化的根本原因是什么？思路：思路： 分析分析与什么有关？与什么有关？由由则则(两平行矢量的叉乘积为零两平行矢量的叉乘积为零)得得角动量的时间变化率角动量的时间变化率质点质点m对参考点对参考点O的的位置位置矢量矢量所受的所受的合外力合外力等于等于叉乘叉乘6是是力矩力矩的矢量表达：的矢量表达：而而即即力矩力矩大小大小:方向方向:垂直于垂直于所决定所决定的平面，由右螺旋法的平

4、面，由右螺旋法则定指向。则定指向。得得质点质点m对给定参考点对给定参考点O的的角动量的时间变化率角动量的时间变化率所受的合外力矩所受的合外力矩称为质点的称为质点的 角动量定理角动量定理 的微分形式的微分形式 如果各分力与如果各分力与O点共面，力矩只含正、反两种方向。可点共面，力矩只含正、反两种方向。可设顺时针为正向，用代数法求合力矩。设顺时针为正向，用代数法求合力矩。7由由称为称为 冲量矩冲量矩角动量的增量角动量的增量所受的合外力矩所受的合外力矩89根据质点的根据质点的 角动量定理角动量定理 若若则则即即常矢量常矢量当质点当质点 所受的合外力对某参考点所受的合外力对某参考点 的力矩的力矩 为零

5、时，质点对该点的角动量的时间变化率为零时，质点对该点的角动量的时间变化率 为为零，即质点对该点的角动量零，即质点对该点的角动量 守恒。守恒。称为称为 若质点所受的合外力的方向始终通过参考点，其角动量守恒。如行星若质点所受的合外力的方向始终通过参考点，其角动量守恒。如行星绕太阳运动，以及微观粒子中与此类似的运动模型，服从角动量守恒定律。绕太阳运动，以及微观粒子中与此类似的运动模型，服从角动量守恒定律。5-2 5-2 角动量守恒定律角动量守恒定律10开普勒第二定律应用质点的角动量守恒定律可以证明应用质点的角动量守恒定律可以证明开普勒第二定律开普勒第二定律行星与太阳的连线在相同时间内扫过相等的面积行

6、星与太阳的连线在相同时间内扫过相等的面积11 t时刻时刻 m 对对 O 的的角动量大小为角动量大小为:即即因行星受的合外力总指向是太阳，角动量因行星受的合外力总指向是太阳，角动量 守恒。守恒。瞬间瞬间位矢扫过的微面积位矢扫过的微面积则则常量常量（称为掠面速率）（称为掠面速率）故故位矢在相同时间内扫过的面积相等位矢在相同时间内扫过的面积相等12惯性系中某给定参考点惯性系中某给定参考点5-2 5-2 角动量守恒定律角动量守恒定律13将将对时间求导对时间求导 内力矩内力矩在求矢在求矢量和时成对相消量和时成对相消内内内内外外外外某给定某给定参考点参考点内内外外外外内内外外得得外外质点系的角动量质点系的

7、角动量的时间变化率的时间变化率质点受外力质点受外力矩的矢量和矩的矢量和称为称为14将将对时间求导对时间求导 内力矩内力矩在求矢在求矢量和时成对相消量和时成对相消内内内内外外外外某给定某给定参考点参考点内内外外外外内内外外得得外外质点系的角动量质点系的角动量的时间变化率的时间变化率质点受外力质点受外力矩的矢量和矩的矢量和称为称为微分形式微分形式外外质点系的角动量质点系的角动量的时间变化率的时间变化率质点受外力质点受外力矩的矢量和矩的矢量和的的质点系所受的质点系所受的质点系的质点系的冲量矩冲量矩角动量增量角动量增量的的 若各质点的速度或所受外力与参考点共面，则其角动量或力矩只含正若各质点的速度或所

8、受外力与参考点共面，则其角动量或力矩只含正反两种方向，可设顺时针为正向，用代数和代替矢量和。反两种方向，可设顺时针为正向，用代数和代替矢量和。15质点系角动量守恒外外由由若若则则或或恒矢量恒矢量当质点系所受的合外力矩为零时，其角动量守恒。当质点系所受的合外力矩为零时，其角动量守恒。5-2 5-2 角动量守恒定律角动量守恒定律161(1)(2)(3)(4)两人同时到达；两人同时到达；用力上爬者先到；用力上爬者先到；握绳不动者先到；握绳不动者先到；以上结果都不对。以上结果都不对。两人质量相等两人质量相等一一人人握握绳绳不不动动一一人人用用力力上上爬爬可能出现的情况是可能出现的情况是:终点线终点线终

9、点线终点线滑轮质量滑轮质量既忽略既忽略轮绳摩擦轮绳摩擦又忽略又忽略17同高从静态开始同高从静态开始往上爬往上爬忽略轮、绳质量及轴摩擦忽略轮、绳质量及轴摩擦质点系质点系若若系统受合外力矩为零，系统受合外力矩为零，角动量守恒角动量守恒。系统的初系统的初态角动量态角动量系统的末系统的末态角动量态角动量得得不论体力强弱，两人等速上升。不论体力强弱，两人等速上升。若若系统受合外力矩不为零，角动量不守恒。系统受合外力矩不为零，角动量不守恒。可应用可应用质点系角动量定理质点系角动量定理进行具体分析讨论。进行具体分析讨论。讨论：讨论：18【例例2】 质点系的内力可以改变质点系的内力可以改变 （A）系统的总质量

10、。）系统的总质量。 （B）系统的总动量。）系统的总动量。（C）系统的总动能。）系统的总动能。 （D）系统的总角动量）系统的总角动量。 【例例3 】 一质点作匀速率圆周运动时一质点作匀速率圆周运动时,它的它的（A）动量不变，对圆心的角动量也不变。）动量不变，对圆心的角动量也不变。（B）动量不变，对圆心的角动量不断改变。）动量不变，对圆心的角动量不断改变。（C）动量不断改变，对圆心的角动量不变。）动量不断改变，对圆心的角动量不变。（D）动量不断改变，对圆心的角动量也不断改变。）动量不断改变，对圆心的角动量也不断改变。 CC1920 自然界中有些力具有这样的性质：力的方向始终通过自然界中有些力具有这

11、样的性质：力的方向始终通过某一固定点，力的大小仅依赖于质点与这个点之间的距离。某一固定点，力的大小仅依赖于质点与这个点之间的距离。我们称这样的力为我们称这样的力为，相应的固定点称为，相应的固定点称为。例如，。例如，万有引力是有心力；静电作用力也是有万有引力是有心力；静电作用力也是有力。力。5-3 5-3 角动量守恒定律角动量守恒定律rm有心有心力力F力心力心o 物体运动仅受有心力作用时，物体运动仅受有心力作用时，力对力心力对力心O点的力矩始终为零。点的力矩始终为零。 在有心力作用下，运动物体在有心力作用下，运动物体对力心对力心O的角动量守恒。的角动量守恒。21LL2211vvmmrr21 Fr

12、/, 0FrM22例例1 地球在远日点时，它离太阳的距离为地球在远日点时，它离太阳的距离为 r1 =1.521011 m ，运动速率，运动速率 v1 =2.93104 m/s，当地球在近日点时，它，当地球在近日点时，它离太阳的距离离太阳的距离r2 =1.471011 m，则运动速率，则运动速率v2为多少？为多少？ smrvrv421121 10 03 3. .0 03 3 解解 地球地球2211mvrmvr(1) 该过程中地球动量守恒吗？该过程中地球动量守恒吗？ 地球动量不守恒，因地球速度大小、方向均在变地球动量不守恒，因地球速度大小、方向均在变 。(2) 能否按引力等于向心力立方程求解？能否

13、按引力等于向心力立方程求解？ 曲率半径未知，条件不够。曲率半径未知，条件不够。23解解FrMmgbrFMsinbPxymO【例例2】mgbtgtmbmvbmvrLsinPrLM24【例例3】如图所示，质量如图所示，质量m的小球某时刻具有水平朝右的速度的小球某时刻具有水平朝右的速度v，小球相对图示长方形中小球相对图示长方形中A，B，C三个顶点的距离分别是三个顶点的距离分别是d1、d2、d3 ，且有且有 ，试求：，试求：(1)小球所受重力相对小球所受重力相对A，B，C的力矩；的力矩； (2)小球相对小球相对A，B，C的角动量。的角动量。232122ddd解解ABC1d2d3dgvmFrMAM方向：

14、垂直图平面向里，方向：垂直图平面向里，大小；大小；1mgdMAABMM0CMvmrL角动量角动量(2)0ALBLBCLL方向：垂直图平面向里，方向：垂直图平面向里，大小；大小；3mvdLB25【例例4】质量质量m0的质点固定不动，在它的万有引力的作用下，质量的质点固定不动，在它的万有引力的作用下，质量m的质点作半径为的质点作半径为R的圆轨道运动。取圆周上的圆轨道运动。取圆周上P点为参考点，如图点为参考点，如图所示，试求：质点所示，试求：质点 m在图中点在图中点1处所受的力矩处所受的力矩 和质点的角动和质点的角动量量 ；质点；质点m在图中点在图中点2处所受的力矩处所受的力矩 和质点的角动量和质点

15、的角动量 。1M2M1L2L解：解：在点在点1处：处： 力矩力矩在点在点1处，处，m所受引力指向所受引力指向P点，故点，故01M角动量角动量RvmRmmG220RGmv01M1L由由m作圆周运动的动力学方程，可得速度作圆周运动的动力学方程，可得速度v090RmP120m力矩定义式力矩定义式FrMvmrL角动量角动量1L方向：垂直图平面向外，方向：垂直图平面向外，大小；大小；RGmmRGmmRL0001290sin226力矩力矩 在点在点2处处2M方向：垂直图平面向里，方向：垂直图平面向里，大小；大小；RmGmRmmGRM/135sin200202角动量角动量方向：垂直图平面向外，方向：垂直图平

16、面向外，大小；大小；2LRGmmRGmmRL0002135sin22L同上理可得同上理可得 的速度的速度mRGmv/02FrM090RmP120mvmrL27【例例5】质量同为质量同为m的两个小球系于一轻质弹簧两端，放在光滑的两个小球系于一轻质弹簧两端，放在光滑水平桌面上，弹簧处于自由伸长状态，长为水平桌面上，弹簧处于自由伸长状态，长为 a，其劲度系数为，其劲度系数为k，今使两球同时受水平冲量作用，各获得与连线垂直的等值反向初今使两球同时受水平冲量作用，各获得与连线垂直的等值反向初速度，如图所示。若在以后运动过程中弹簧可达的最大长度速度，如图所示。若在以后运动过程中弹簧可达的最大长度b=2a，

17、试求两球初速度大小试求两球初速度大小v0 。解解:0vm kam0v两球和弹簧视为系统。两球和弹簧视为系统。由角动量守恒由角动量守恒：,22220bmvamvv为弹簧最大长度为弹簧最大长度b时的速度时的速度 因对称，弹簧中点因对称，弹簧中点O相对于桌面不相对于桌面不动。系统所受外力冲量矩为零，系统对动。系统所受外力冲量矩为零，系统对O点角动量守恒；外力做功为零，系统机械能守恒。点角动量守恒；外力做功为零，系统机械能守恒。由机械能守恒：由机械能守恒：202221221212mvabkmv)(解以上两式，并将解以上两式，并将 b=2a代入，得：代入，得：amkv3202829练习三10、1130例

18、例6 如图所示，在光滑水平面上有一长如图所示，在光滑水平面上有一长l=0.5m的绳子，一端固定的绳子，一端固定于于O点，另一端系一质量点，另一端系一质量m=0.5kg的物体。开始时，物体位于位置的物体。开始时，物体位于位置A处，处，OA间的距离间的距离d=0.5m，绳子处于松弛状态。现在使物体以与，绳子处于松弛状态。现在使物体以与OA垂直的初速度垂直的初速度 向右运动，到达位置向右运动，到达位置B时物体速度的方时物体速度的方向与绳垂直。试求物体在向与绳垂直。试求物体在B处的角动量和速度。处的角动量和速度。 (课本课本5-4)smvA/4解解因作用于物体的合外力矩为零，因作用于物体的合外力矩为零

19、，故物体故物体lmvdmvBA物体角动量：物体角动量：)/(4smmldmvvABlmvLBBsmkgLB/12BBvAvAmOdl31例例7 我国第一颗东方红人造卫星的椭圆轨道长半轴为我国第一颗东方红人造卫星的椭圆轨道长半轴为a = 7.79 106 m，短半轴为，短半轴为 b = 7.72106 m，周期，周期 T = 114 min，近地点和远，近地点和远地点距地心分别为地点距地心分别为 r1 = 6.82106 m和和 r2 = 8.76106 m。（。（1）证明）证明单位时间内卫星对地心位矢扫过的面积为常量；（单位时间内卫星对地心位矢扫过的面积为常量；（2）求卫星经）求卫星经近地点和

20、远地点时的速度近地点和远地点时的速度V1 和和V2 。21rorr1V2V dr常矢量vmrprLsin21drrdS解解卫星卫星地球地球（1） 时间内卫星位矢扫过面积时间内卫星位矢扫过面积dtdS32abdtdSTmvrmvr2211常量mLmvrmdtdrrdtdS2sin21sin21（2）卫星和地球视为系统，卫星和地球视为系统，smTrabvsmTrabv/103 . 62/101 . 82322311abmLTLmvrmvr2221133例例8 一轻绳跨过轻定滑轮，一猴子抓住绳的一端，滑轮一轻绳跨过轻定滑轮，一猴子抓住绳的一端，滑轮另一侧的绳子则挂一另一侧的绳子则挂一与猴子与猴子的重物。若猴子从的重物。若猴子