线性方程组解的结构

1、-1- -2-其通解的结构如何其通解的结构如何?如何写出其向量形式的通解如何写出其向量形式的通解?齐次线性方程组齐次线性方程组0 Ax解的结构解的结构本章以向量为工具讨论线性方程组解的结构本章以向量为工具讨论线性方程组解的结构主要内容主要内容:非齐次线性方程组非齐次线性方程组 Ax解的结构解的结构0 Ax如果当齐次线性方程组如果当齐次线性方程组有无穷多解时有无穷多解时,问题问题:1. Ax2.如果当非齐次线性方程组如果当非齐次线性方程组有无穷多解时有无穷多解时,其通解的结构如何其通解的结构如何?如何写出其向量形式的通解如何写出其向量形式的通解?-3-对于对于方程组方程组)0( bbxAnm )

2、()()()()1(ArArArAr 无解无解有解有解nArAr )()()2(有惟一解有惟一解nArAr )()()3(有无限多解有无限多解对于对于方程组方程组0 xAnmnAr )(只有零解只有零解)(nAr 有非零解即有无限多解有非零解即有无限多解-4- -5-记记 Ax = 0 的解集为的解集为:0|)( xARxANnmn(1) 1.解向量解向量:, 0 A满足满足若若0 AX是方程组是方程组则称则称 的一个解向量的一个解向量.2.解向量的性质解向量的性质:0, 0,2121 AA满足满足如果如果0)(2121 AAA则则(2) , 0 A满足满足若若0)(, kAkARk有有则对于

3、则对于不妨不妨设设t ,21是是 N(A) 的最大无关组的最大无关组(称为基础解系称为基础解系)则则:由由(1),(2)可知可知ttkkkx 2211( 取任意实数取任意实数)ik的通解。的通解。是方程组是方程组0 AX-6- 0252 062 420832 03 2 543215421543215421xxxxxxxxxxxxxxxxxx通过下面的例子通过下面的例子, 来解决以上问题来解决以上问题例例1问题问题:对于给定的方程组如何求其基础解系对于给定的方程组如何求其基础解系?BAr 0000000000541003102125121620428312131021解解: 5435421543

4、2xxxxxxx-7- 3524323123211 54 32kxkxkkxkxkkkx 54354215432xxxxxxx332211105-030140100012 kkkx321, 是解吗是解吗?321, 线性无关吗线性无关吗?任一解都任一解都 可由可由 表示吗表示吗?321, 基础解系所含向量的个数基础解系所含向量的个数 = ?321, 是基础解系吗是基础解系吗?352412,kxkxkx 令自由变量为任意实数令自由变量为任意实数 说明说明: :1.1.基础解系不惟一基础解系不惟一2.2.但所含向量的但所含向量的个数唯一且等于个数唯一且等于n-R(A)n-R(A)-8-齐次方程组解的

5、结构定理齐次方程组解的结构定理齐次方程组齐次方程组 的基础解系所含向量个数为的基础解系所含向量个数为0 XAnm)(2211Rkkkkxirnrn )(ARrrn rn ,21设一个基础解系为设一个基础解系为:则通解为则通解为:例例设阶矩阵的秩为，设阶矩阵的秩为， 的每行元素之和的每行元素之和为零，写出的通解为零，写出的通解解：解：0 XAnn的基础解系所含向量个数为的基础解系所含向量个数为1)( ARnT)1 , 1 , 1( 而又而又00 的解向量且的解向量且是方程组是方程组AX则通解为：则通解为：RkkkT ,)1 , 1 , 1( -9-例例2设设 , 是是 的的1)( nArnm21

6、, 0 Ax两个不同的解向量两个不同的解向量, k 取任意实数取任意实数, 则则 Ax = 0 的通解是的通解是)(D)(C)(B)(A)212121 kkkk例例3设设 ,证明证明OBAlnnm nBrAr )()(证证,21lB 记记则由则由), 1(0liAOABi 说明说明), 1(lii 都是都是0 Ax的解的解)()(,21ArnANrrl 因此因此nBrAr )()(移项移项-10-例例4.已知已知)(mnAmn 矩阵矩阵的列向量组是齐次线性的列向量组是齐次线性方程组方程组0 MX的基础解系的基础解系, B是是m阶可逆矩阵阶可逆矩阵,试试证证:AB的列向量组也是齐次线性方程组的列

7、向量组也是齐次线性方程组0 MX的基础解系的基础解系.证明证明:00 MABMA则则AB的列向量组是齐次线性方程组的列向量组是齐次线性方程组0 MX的解向的解向量量个向量个向量的基础解系含的基础解系含又又mMX0 个向量且有个向量且有的列向量组含的列向量组含而而mABmARABR )()(由条件可知由条件可知A的列向量组线性无关且含的列向量组线性无关且含m个向量个向量所以所以AB的列向量组线性无关的列向量组线性无关, 即是方程组即是方程组0 MX的基础解系的基础解系.-11- -12-)1(. XAnm)2(.0 XAnm( ) 设设 都是都是(1)的解的解,则则21, 21 x是是(2)的解

8、的解.( ) 设设 是是(1)的解的解, 是是(2)的解的解,则则 仍是仍是(1)的解的解. x设设 是是(1)的一个解的一个解(固定固定), 则对则对(1)的任一解的任一解 x x是是 (2)的解的解,从而存在从而存在 使得使得ikrnrnkkkx 2211 rnrnkkkx2211由此得由此得:1.解向量解向量: 如果向量如果向量 nmA满足满足的一个解向量的一个解向量为方程组为方程组则称则称 XAnm2.性质性质:）的基础解系，）的基础解系，为（为（其中其中2,21rn -13-非齐次方程组解的结构定理非齐次方程组解的结构定理 的一特解解的一特解解, 是是设设 )(2211Rkkkkxi

9、rnrn XAnm非齐次方程组非齐次方程组则当非齐次线性方程组有无穷多解时其通解为则当非齐次线性方程组有无穷多解时其通解为:例例5. 3)(,46 ARaAij设设 AX是非齐次方程组是非齐次方程组，已知已知321的三个解向量的三个解向量 T5 , 4 , 3 , 21 T4 , 3 , 2 , 132 的通解。的通解。求方程组求方程组 AX解解:043)( AXAR的基础解系的基础解系 含一个向量含一个向量03 ,25, 2 ,232321 T RkkXTT ,6 , 5 , 4 , 35 , 4 , 3 , 2通解为：通解为：-14- .2132, 13, 0432143214321xxx

10、xxxxxxxxx 2132111311101111A,00000212100211011 212 2143421xxxxx例例6故方程组有无穷多解故方程组有无穷多解可见可见, 42)()( ArAr解解 444322421212 21xxxxxxxxx 00120100112121214321kkxxxx).,(21Rkk -15-例例7)(21)A(212211 kk121211)()B( kk)(21)()C(2121211 kk)()D(2112211 kk21, 设设 是非齐次是非齐次 Ax = b 的两个不同的解的两个不同的解21, 其对应的齐次方程组的基础解系其对应的齐次方程组的

11、基础解系, 则则 Ax = b 的通解是的通解是(多选多选)-16-例例8.已知方程组已知方程组 033321321321321xaxxaxxxxxx问问:a为何值时为何值时,方程组有唯一解方程组有唯一解?无解无解?无穷多解无穷多解?有无穷多解时求出通解有无穷多解时求出通解.解解:,03132111时，方程组有唯一解时，方程组有唯一解当当 aa30 aa且且即即时，时，当当0 a 000012100301030130321111r所以有无穷多解所以有无穷多解, RkkXTT ,0 , 1 , 01 , 2 , 3其通解：其通解：-17-时，时，当当3 a 3000111011110331333

12、21111r因为系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩因为系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩,所以方程组无解所以方程组无解.例例9.bAX 组组是四元非齐次线性方程是四元非齐次线性方程设设321, 的三个的三个解向量解向量, TTAr3 , 2 , 1 , 0,4 , 3 , 2 , 1, 3)(321 且且的通解：的通解：则线性方程组则线性方程组bAXRc , TTcA1 , 1 , 1 , 14 , 3 , 2 , 1)( TTcB3 , 2 , 1 , 04 , 3 , 2 , 1)( TTcC5 , 4 , 3 , 24 , 3 , 2 , 1)( TTcD6 , 5 , 4 , 34 , 3 ,

13、 2 , 1)( C-18-例例10设线性方程组设线性方程组 0302022321321321xxxxxxxxx 的系数矩阵为的系数矩阵为A,存在存在 , 0033 ABbBij且且 求求解解:, 00 ABB且且则则B的列向量组为的列向量组为AX=0的解向量的解向量,0有非零解有非零解 AX10 A即即例例11的导出的导出是非齐次是非齐次矩阵，矩阵，是是设设bAXAXnmA 0齐次线性方程组齐次线性方程组,则下列结论正确的是则下列结论正确的是有唯一解有唯一解仅有零解，则仅有零解，则）（bAXAXA 0有无穷多解有无穷多解有非零解，则有非零解，则）（bAXAXB 0仅有零解仅有零解则则有无穷多

14、解有无穷多解）（0, AXbAXC有非零解有非零解则则有无穷多解有无穷多解）（0, AXbAXDD-19-例例2已知方程组已知方程组 033321321321321xaxxaxxxxxx问为何值时，方程组有唯一解，无解，无穷多个解？问为何值时，方程组有唯一解，无解，无穷多个解？在方程组有无穷多个解时求出通解在方程组有无穷多个解时求出通解（考试题）（考试题）解：解：时，时，当当03132111 aa方程组有唯一解方程组有唯一解即即30 aa且且当时当时当时当时-20-思考题思考题:1.求求: 204131210131431104122.设设A为为3阶方阵阶方阵,且且162, 4 AAA求求3.如果非齐次方程组的增广矩阵经过初等行变换化为如果非齐次方程组的增广矩阵经过初等