数学与应用数学专业毕业论文-向量在立体几何中的应用

1、向量在立体几何中的应用摘要作为现代数学的重要标志之一的向量已进入了中学数学教学， 为用代数方法研究几何问题提供了强有力的工具，促进了高中几何的代数化 . 而在高中数学体系中，几何占有很重要的地位，有些几何问题用常规方法去解决往往比较复杂，运用向量作行与数的转化，则使过程得到大大的简化 . 向量法应用于平面几何中时，它能将平面几何许多问题代数化、 程序化从而得到有效的解决， 体现了数学中数与形的完美结合 . 立体几何常常涉及到的两大问题：证明与计算，用空间向量解决立体几何中的这些问题， 其独到之处， 在于用向量来处理空间问题， 淡化了传统方法的有“形”到“形”的推理过程，使解题变得程序化 .装关

2、键词：向量；立体几何；证明；计算；运用订线ABSTRACTAs one of the important signs of modern mathematics the vector has entered middle school mathematics teaching, using algebraic method research geometry problems provides powerful tools, promoted the high school of the geometry of algebra. And in the high school mathemati

3、cs system, geometric occupies a very important position, some geometry problems with conventional method to solve tend to be complex, using vector for the number of rows and transformation, makes the process is greatly simplified. Vector method was used the plane geometry, it will be when the plane

4、geometry many problems algebra effectively, programmed to solve, reflected in mathematics, the perfect combination of Numbers and forms. Three-dimensional geometry often involved the two big problems: proof and calculation, with space vector solve three-dimensional geometry in these problems, its un

5、ique, is using vector to deal with the problem of space, fade the traditional methods are "form" to "form" reasoning process, causes the problem-solving become programmed.Keywords： Vector; solid geometry; proof; calculation; use合肥师范学院2011 届本科生毕业论文（设计）目录摘要 . .ABSTRACT.1 向量方法在研究几何问

6、题中的作用 .12 向量方法解决证明问题的直接应用 .22.1 平行问题 .22.1.1证明两直线平行 .22.1.2证明线面平行 .32.2 垂直问题 .42.2.1证明两直线垂直 .42.2.2证明线面垂直 .42.2.3证明面面垂直 .52.3 处理角的问题 .62.3.1求异面直线所成的角 . .62.3.2求线面角 .72.3.3求二面角 .83 向量方法解决度量问题的直接应用 .103.1两点间的距离 .103.2点与直线距离 .103.3点到面的距离 .113.4求两异面直线的距离 .113.5求面积 .12合肥师范学院2011 届本科生毕业论文（设计）3.6求体积 .134向量

7、方法解决证明与计算问题有关的综合应用.145向量在立体几何中应用的教学反思 .215.1对比综合法与向量法的利弊 . .215.2向量法解决立体几何问题的步骤 . .225.3向量法能解决所有立体几何问题吗 . .22参考文献 . .23合肥师范学院2011 届本科生毕业论文（设计）1 向量方法在研究几何问题中的作用 1向量是高中数学新增加的内容， 在作用上它取代了以往复数在高中数学教材中的地位，但从目前的使用情况来看，向量的作用要远远大于复数. 一个复数所对应的点只能在平面上， 而向量却有平面向量和空间向量之分，这一点在与几何（尤其是立体几何）的联系上表现得更加突出. 向量知识、向量观点在数

8、学、物理等学科的很多分支上都有着广泛的应用，它具有代数形式和几何形式的 “双重身份”，能融数形于一体，能与中学数学教学内容中的许多主干知识相结合，形成知识交汇点 . 向量进入高中数学教材，为用代数方法研究几何问题提供了强有力的工具，促进了高中几何的代数化 . 而在高中数学体系中，几何占有很重要的地位，有些几何问题用常规方法去解决往往比较繁杂， 而运用向量作形与数的转化，则能使过程得到大大的简化 . 用向量法解决几何问题有着思路清晰、过程简洁的优点，往往会产生意想不到的神奇效果 . 著名教育家布鲁纳说过：“学习的最好刺激是对所学材料的兴趣，简单的重复将会引起学生大脑疲劳，学习兴趣衰退 . ”这充

9、分揭示了方法求变的重要性，如果我们能重视向量的教学，重视学生在学习向量过程中产生的障碍并且提供相应的教学对策， 必然能引导学生拓展思路，减轻他们的学习负担 .向量方法在解决几何问题时充分体现了它的优越性，平面向量就具有较强的工具性作用，向量方法不仅可以用来解决不等式、三角、复数、物理、测量等某些问题，还可以简捷明快地解决平面几何许多常见证明（平行、垂直、共线、相切、角相等）与求值（距离、角、比值等）问题. 不难看出向量法应用于平面几何中时，它能将平面几何许多问题代数化、程序化从而得到有效的解决，体现了数学中数与形的完美结合.向量法是将几何问题代数化，用代数方法研究几何问题 . 立体几何的证明与

10、计算常常涉及到两大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直、线面垂直、线线平行、线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成的角，面面所成角等 .用空间向量解决立体几何中的这些问题， 其独到之处，在于用向量来处理空间问题，淡化了传统方法的有“形”到“形”的推理过程，使解题变得程序化 .那么解立体几何题时就可以用向量方法， 对某些传统性较大， 随机性较强的立体几何问题，引入向量工具之后，可提供一些通法 .合肥师范学院2011 届本科生毕业论文（设计）2 向量方法解决证明问题的直接应用2.1 平行问题 22.1.1 证明两直线平行A, Ba; C, Db, ABCDa /

11、b .知 AB(x, y ), CD( x, y) ，则有 x1 y2x2 y1a / b .1122例 1已知直线OA平面，直线 BD平面， O、 B 为垂足，求证：OA/BD.证明：如上图，以点 O为原点，以射线 OA为 z 轴，建立空间直角坐标系Oxyz ，i , j , k 为沿 x轴， y 轴， z 轴的坐标向量，且设 BD( x, y, z) ， BD， BDi, BD j BD i(x, y, z) (1,0,0)x0 ，BD j(x, y, z) ( 0,1,0)y0 ， BD(0,0, z) BDzk ，又知 O、B 为两个不同的点， BD / OA .方法思路：在两条直线上

12、分别取不同的两点得到两向量，转化为证明两向量平行 .合肥师范学院2011 届本科生毕业论文（设计）2.1.2证明线面平行1、线 a 面A, B a，面的法向量为 n ，AB n 0AB nAB / .，方法思路：求面的法向量， 在直线找不同两点得一向量， 证明这一向量与法向量垂直（即证明数量积为0），则可得线面平行 .2、已知面外的直线 a 的方向向量为 a ， e1 , e2 是平面的一组基底（不共线的向量），若 a1 e12 e2a / .例 2如上图 , 正方形 ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面互相垂直 ,P 、Q分别是对角线 AC、BF 上的一点 , 且 AP = FQ, 求证

13、 :PQ平面 BCE.证明：设 APAC ， AP = FQ, FQFB ， PQPAAFFQ=ACBEFB=ABBCBEBEAB=BC(1)BE PQ / 平面 BCE.方法思路： 证明直线的方向向量可用平面的一组基底线性表示（即在平面内存在一向量与方向相等），则可得面内一直线与面外的线平行，从而证明线面平行.2.1.3面面平行1、不重合的两平面与的法向量分别是 m 和 n ， mn/.方法思路：求平面的法向量，转化为证明两法向量平行，则两平面平行.合肥师范学院2011 届本科生毕业论文（设计）2、不重合的两平面与，面的法向量为 m ，若 m/.方法思路：求出其中一平面的法向量， 再证该法向

14、量与另一面的不共线的两向量数量积为 0（即垂直），则可得两平面平行 .2.2 垂直问题 32.2.1证明两直线垂直不重合的直线 a 和直线 b 的方向向量分别为 a 和 b ，则有 a b0ab .例 3 如图，已知四棱锥 P-ABCD的底面为等腰梯形， AB/ CD,AC BD，垂足为 H，PH 是四棱锥的高， E 为 AD 中点 . 证明：PEBC证明：以H 为原点，HA , HB , HP分别为x, y, z 轴，线段 HA 的长为单位长， 建立空间直角坐标系如图，则 A(1,0,0), B(0,1,0)设 C (m,0,0),P(0,0, n)(m0, n0) ，则 D ( 0, m,

15、0), E( 1 , m ,0) ，22可得1m ,n),BC( ,1,0)，PE (,m22因为 PE BCmm00 ，22所以PEBC .2.2.2 证明线面垂直直线 l 的方向向量为 a 4 ，平面 的方向向量为 m ，则有 am l.例 4，如图，m, n 是平面内的两条相交直线 . 如果 l m, ln ，求证：l.证明：在内作任一直线 g ，分别在 l , m, n, g 上取非零向量 l ,m, n, g .合肥师范学院2011 届本科生毕业论文（设计）因为 m与 n 相交，所以向量 m, n 不平行 . 由向量共面的充要条件知，存在唯一的有序实数对（ x,y ）, 使 gxmy

16、nl将上式两边与向量 l 作数量积，得nmlgxlm yl n ，g因为 lm 0, l n0 ，所以 l g0 ，所以 lg 即 lg . 这就证明了直线 l 垂直于平面内的任意一条直线，所以 l.方法思路：找直线的方向向量 （在两直线上取两点得一向量） 及平面的法向量，只需证明两向量平行，则可证线面垂直 .2.2.3证明面面垂直1、不重合的平面与的法向量分别为 m 和 n ，则有 m n0.方法思路：找平面的法向量，只需证明两向量数量积为0，则可证明两平面垂直 .2、平面的法向量为 n ， e1 ,e2 是平面的一组基底（不共线的向量） ，则有 n1 e12 e2.例 5在正方体 ABCD

17、-A1B1C1D1 中， E、F 分别是 BB1，CD的中点（1）求证： AD D1F； (2) 证明平面 AED平面 A1FD1分析：涉及正方体中一些特殊的点、线、面的问题，建立空间直角坐标系来解，不仅容易找到解题方向，而且坐标也简单，此时“垂直”问题转化为“两向量数量积为“ 0”的问题，当然也可用其它的证法 .证明：建立空间直角坐标系如图，并设AB=2，z则 A(0,0,0), D(0,2,0),A1(0,0,2)A1D1D1(0,2,2)， E(2,0,1),F(1,2,0)B 1C 1(1) AD(0,2,0), D1F(1,0, 2)DAyxBCAD D1 F =0×1+2

18、×1+0×(-2)=0,ADD1F（2） AE =（2，0，1） D1F =（ 1，0，-2 ）， | AE |5 ， | D1 F | 5合肥师范学院2011 届本科生毕业论文（设计）设 AE与 D F 的夹角为 ，则1cosAE D 1F2 1 0 0 1 ( 2)=0| AE | D 1F |5 5所以 D1FAE，由（ 1）知 D1FAD，又 ADAE=A，D1F平面 AED，D1F平面 A1FD1 M平面 AED平面 A1FD1方法思路：找其中以平面的法向量， 证明法向量与另一平面平行， 即法向量可以用另一平面的一组基底（不共线的向量）线性表示 .2.3 处理角的

19、问题 52.3.1求异面直线所成的角a,b是两 异面 直 线 ， A, Ba, C , Db ， a ， b所 成 的 角 为， 则有coscos AB,CDAB CD.ABCD例 6 如图所示 , 三棱锥 A-BCD,AB 平面 BCD, BDCD, 若 AB=BC=2BD,求二面角 B-AC-D 的大小 .解:如图建立空间直角坐标系O-xyz,AB=BC=2BD,设 BD=1则 AB=BC=2,DC=3A(1,0,2),B(1,0,0),C(0,3 ,0),D(0,0,0)AB(0,0, 2), BC ( 1,3,0), DC(0,3,0), DA (1,0,2)设平面 ABC的法向量为

20、n1( x1 , y1 , z1 ) ,则 AB. n10z10合肥师范学院2011 届本科生毕业论文（设计）BC .n1 0x13 y10取平面 ABC的法向量 n1( 3,1,0)设平面 ACD的法向量为 n2(x2 , y2 , z2 )则 DC . n20y20DA .n2 0x22z20取法向量 n(2,0,1)cos< n1 , n2 >= n1n23(2)1 00115n2n23104015n1, n2arccos155二面角 BACD 平面角与n1 , n2互补 ,所求二面角 BACD 的大小的 arccos15 .5方法思路：找两异面直线的方向向量，转化为向量的夹

21、角问题，套公式（但要理解异面直线所成的夹角与向量的夹角相等或互补） .2.3.2求线面角设平面 的斜线 l 与面 所成的角为，若 A, Bl , m 是面的法向量，则有 sincos AB, m .例 7 如图，直三棱柱 ABCA1B1C1 中，底面是等z腰直角三角形， ACB90 ，侧棱 AA12，D、E 分C1别是 CC1 与 A1 B 的中点，点 E 在平面 ABD上的射影是A1B1 ABD的重心 G.求 A1B 与平面 ABD所成角的大小（结D果用余弦值表示）；D解析：如图所示，建立坐标系，坐标原点为C，EK GC设 CA2a ，则 A(2a,0,0) ， B(0,2a,0) ， D

22、(0,0,1)，xABy合肥师范学院2011 届本科生毕业论文（设计）A1 (2a,0,2) ， E(a, a,1) ， G (2a,2a,1) ，333 GEa ,a ,2，333BD0,2a,1 ，GEBD2 a 220 ，33 a1 ，GE1,12，33 ,3A1 B2,2, 2A1 B GE2 GE 为平面 ABD的法向量，且 cos A1 B,GE.A1 B GE3 A1B 与平面 ABD所成角的余弦值是2 .3方法思路：找直线的方向向量与平面的法向量， 转化为向量的夹角问题， 再套公式（注意线面角与两向量所在直线夹角互余） .2.3.3求二面角方法一：构造二面角l的两个半平面、 的

23、法向量 n1 、n2 （都取向上的方向，如右图所示） ，则n2BAln1 若二面角l是“钝角型”的如图 3甲所示，那么其大小等于两法向量n1 、n2 的夹角的补n1 n2.角，即 cos| n1 | | n2| 若二面角l是“锐角型”的如右图所示，那么其n1n2大小等于两法向量 n1 、nn1n2.2 的夹角，即 cos| n1 | | n2 |方法二：在二面角的棱l 上确定两个点A、 B ，过 A、 B 分别在平面、 内求出与 l 垂直的向量 n1 、n2 ，则二面角ll合肥师范学院2011 届本科生毕业论文（设计）的大小等于向量 n1、n2 的夹角，即cosn1n2.| n1| n2|例

24、8 在长方体 ABCDA B CD 中， AB=2，BC=4，AA=2, 点 Q是 BC的中点，求11111此时二面角 AA1DQ的大小解 如图所示，建立空间直角坐标系Oxyz ，z依题意： A （0，0，2），D（0，a，0）.D11C1Q（2，2，0）， D（ 0， 4， 0），A1B1 A1 Q(2,2,2), QD (2,20)，面 AAD的法向量 n1(1,0,0)，y1CD设面 A1DQ的法向量 n2(a1 , a2, a3 ) ，Q（）BxO An2 A1Q 2a12a22a30,a2a1 ,则a32a1 ,n2QD2a12a20, n2(a1 , a1 ,2a1 ) ，令 a1

25、 =1，则 n2(1,1,2) ， cosn1 , n2n1n21166 ，n1 n26二面角的平面角为锐角，6二面角 A A1D Q的大小为 arccos.6此法在处理二面角问题时， 可能会遇到二面角的具体大小问题，如本题中若令a11 ，则n2( 1, 1, 2)，cos n1, n26 ，二面角 1DQ 的6A A大小 是n1, n2arccos6 的补角 arccos6 . 所以在计算之前不妨先依题66意直观判断一下所求二面角的大小，然后根据计算取“相等角”或取“补角”.合肥师范学院2011 届本科生毕业论文（设计）3 向量方法解决度量问题的直接应用3.1 两点间的距离 6两点间距离重在

26、 “转化”，即将空间两点间距离转化为向量的长度问题 . 利用向 量 的 模 ， 可 以 推 导 出 空 间 两 点 的 距 离 公 式 ， 即 空 间 两 点Px,y,z ,Px,y,，则z dPPx2yy222xzz111122221212121例 1在三棱锥 SABC 中，面 SAC面 ABC ， SAAC ， BCACSA6 , AC21,BC8 ，求 SB的长 .分析如图，本题可以用几何法求出SB，但需要证明若用向量法，注意到SAACBC，之间的关系 . 建立以 A 点为原点的空间直角坐标系 .则无须证明就有如下巧解.解如图，建立以 A 为原点的空间直角坐标系，则A 0,0,0 , B

27、 8,21,0, S 0,0,6，222所以 SB SB08216 0011.本题用向量法巧妙地把与SB 有关元素的位置关系转化为相应向量是SB的数量关系，构造向量的空间距离模型，然后通过数值计算将问题加以解决.3.2 点与直线距离 7如图 求得向量 AP 在向量 AB 的射影长为 d ,则点 P 到直线 AB的距离等于2d 2 .AP例 2 设 P为矩形 ABCD所在平面外的一点，直线PA垂直平面外的一点，直线 PA垂直平面 ABCD，AB ，BC ，PA求点 P 到直线 BP的距离.=3=4=1解2BP BDBAAPBCBAAB9合肥师范学院2011 届本科生毕业论文（设计）BD5所以 B

28、P 在 BD 上的射影长为9 ，又 BP10 ，5所以点 P 到直线 BD的距离d103.3 点到面的距离291355任取一点 Q得 PQ, m 是平面的法向量，则有：点P 到平面的距离dPQ m （向量 PQ 在法向量 m 的投影的长度） .m方法思路：求出平面的任一法向量m（方程组可求），在平面内任取一点 Q 与点 P 得一向量转化为 PQ 在法向量的投影长度，套公式 .3.4 求两异面直线的距离知 a, b 是两异面直线， A, B a,C , D b ，找一向量与两异面直线都垂直的向AC m量 m ，则两异面直线的距离 dm例 3 如图，三棱柱中，已知 A BCD是边长为 1 的正方形

29、，四边形AA B B 是矩形， 平面 AA B B平面 ABCD 。'若 AA ，求直线 AB到面 DAC 的距离 .解：如图建立空间坐标系 Axyz ，DA'( 1,1,a) ， DC (0,1,0)合肥师范学院2011 届本科生毕业论文（设计）'( x, y,1)，则DA' n0设面 DAC 的法向量为 n1DC n10得 n1'的距离就等于点到面'(a,0,1) ，直线 AB到面 DACDAC 的距离，'ADn12.也等于向量 AD 在面 DAC 的法向量上的投影的绝对 d2n1方法思路：求异面直线的距离，先找一向量与两异面直线都垂

30、直的向量m ，然后分别在两异面直线上任取一点A, C , 则距离 d 就是 AB 在向量 m 上的投影长度，距离 d AC m . m3.5 求面积 8由于平行四边形 ABCD面积 S ABCD = ABAC ，所以三角形的面积是平行四边形的面积的一半 .S ABC= 1 ABAC2特别地当 A、 B、C 三点均在 Oxy 面上，且坐标为 A x1 , y1 ,0， Bx2 , y2 ,0 ，C x3 , y3 ,0 ，时x1y11S ABC2x2y21（ =1 或-1 ，保证面积取正值） .x3y31例4已知空间三点A（ ， ， ）B（ ， ） C（ ， ，）1）试求三1 2 32 -153

31、 2 -5角形的面积， 2）求三角形的 AB边上的高 .解: S ABC1 ABAC2AB1, 3,2AC2,0, 8合肥师范学院2011 届本科生毕业论文（设计）ijkABAC13224i12 j6k208ABAC24212 262621，所以三角形的面积是 321 .因为三角形 ABC的 AB边上的高 CH即是平行形四边形的 AB边上的高，所以 CHS ABCDAB ACABAB，又因为AB1222214 ，3所以CHABAC62136 .AB14例 5已知 ABabADab ，其中 a 2b1 a 与 b 的夹角为，3求平行四边形 ABCD的面积 .解： ABaba2222a b222

32、ab cos7babab3同理 AD3，设 AB 与 AD 的夹角为，2222abababcosAB ADab3 ，ABADABADABADABAD21所以 sin1cos22 7 ，7所以 SABCDABAD sin23 .3.6 求体积三个不共面向量a, b, c 的混合积的绝对值等于以a, b, c 为棱的平行六面体的体积，即 V6a,b, c.合肥师范学院2011 届本科生毕业论文（设计）四面 体的 体 积等于以 a, b,c 为 棱的 平行 六面 体体积的 六分 之一，即V41a, b, c .6例 6 已知空间四点的坐标A（0，0，0）， B（ 0，1，0），C（0，1，1），D（

33、1，1，1）求四面体 ABCD的体积及 A 到 BCD平面的距离 .解 由初等几何知识，四面体ABCD的体积 V 等于以 AB，AC，AD为棱的平行六面体的体积的 1 ,6010V4 1AB, AC, AD1 0 1 11 ,661161另外设 A 到 BCD所确定平面的距离为 d ， dAB, AC, ADBCBD则 V41 BC BD d1 1 d， d 1.66上三个点 B，C，D注：求点 A 到平面 的距离时，取（1）求出 AB, AC, AD ；（2）求出 AB, AC, AD 为棱的平行六面体的体积AB, AC, AD ；（3）求出 BC, BD 为邻边的平行四边形的面积BCBD

34、；（4）求出点到平面的距离 d ，即 dAB, AC, AD.BC BD4 向量方法解决证明与计算问题有关的综合应用例 1 证明三角形各边的垂直平分线共点，且这点到各顶点等距.分析 设ABC 三边 BC,CA,AB的中点分别为 D,E,F ,如图，令 AB的垂直平分线与AC的垂直平分线交于一点G，连接 GD，只要证明 GD BC，也即证 GD CB0 . 从而GD垂直平分 BC.证明 设 GAa, GB b ,GC c 则合肥师范学院2011 届本科生毕业论文（设计）1GF a b , BA a b 2由于 GFBA, 因而0=GF BA1a b a b122a b所以 a b22利用 GE

35、CA0 可得0=1 a c a c122a c所以 a c22GA GB GC从而 =b c1 b c，且 b c , 故又 GD CB1 b c2222GD CB0 于是 GDCB 所以 GD是 BC边上的垂直平分线 .于是证得了三角形三条垂直平分线交于一点G，且 G到 A，B，C的距离均相等 .例 2 一个空间四边形对边平方和相等的充要条件是四边形的对角线互相垂直证明：如图，设 ABa, BCb, CDc, DA d ，各边长各为 a,b,c,d对角线是 AC和 BD.由 abcd0 得2abc2d22c22c a2a bab2b c2222a b c 2 b b c a b a c22222 a b b c 2 AC BD ，故于是 d a b c2222ACBDdbac即 d 2b2a 2c2AC BD .例 3 如果一个四面体 ABCD有两对对棱互相垂直，则第三对对棱也互相垂直,且三对对棱的平方和相等.合肥师范学院2011 届本科生毕业论文（设计）证法一 : 设 ABa, BCb,CDc, DA d, AC e, DBf22222 AC BD（1）（如图），由上例知 dabc又由 ecfa 0 ，可得 ae cf222f2ae