优化探究高三数学理科二轮复习专题演练 导数的应用

1、1-2-3第三讲导数的应用一、选择题1过点(0，1)且与曲线y在点(3，2)处的切线垂直的直线的方程为()A2xy10B2xy10Cx2y20 Dx2y20解析：因为y1，所以y，从而可知函数在x3处的导数值为，故所求的直线的斜率是2，直线方程为y2x1，即2xy10.答案：A2(2012年福州模拟)已知g(x)为三次函数f(x)x3ax2cx的导函数，则函数g(x)与f(x)的图象可能是()解析：因为f(x)ax22axc，所以函数f(x)的对称轴为x1，故可排除B，C；由A中f(x)的图象知c0，所以f(x)x3ax2x2(xa)，因此三次函数f(x)x3ax2cx只有两个零点，而图象A中

2、f(x)的图象与x轴有三个交点，故排除A.应选D.答案：D3(2012年高考辽宁卷)函数yx2ln x的单调递减区间为()A(1，1 B(0，1C1，) D(0，)解析：由题意知，函数的定义域为(0，)，又由yx0，解得0<x1，所以函数的单调递减区间为(0，1答案：B4(2012年高考陕西卷)设函数f(x)ln x，则()Ax为f(x)的极大值点Bx为f(x)的极小值点Cx2为f(x)的极大值点Dx2为f(x)的极小值点解析：利用导数法求解f(x)ln x(x>0)，f(x).由f(x)0解得x2.当x(0，2)时，f(x)<0，f(x)为减函数；当x(2，)时，f(x)&

3、gt;0，f(x)为增函数x2为f(x)的极小值点答案：D5(2012年淄博一检)已知aln x对任意x，2恒成立，则a的最大值为()A0 B1C2 D3解析：设f(x)ln x，则f(x).当x，1)时，f(x)<0，故函数f(x)在，1)上单调递减；当x(1，2时，f(x)>0，故函数f(x)在(1，2上单调递增，f(x)minf(1)0，a0，即a的最大值为0.答案：A二、填空题6如果曲线yx4x在点P处的切线垂直于直线yx，那么点P的坐标为_解析：由y4x31，得当y3时，有4x313，可解得x1，此时P点的坐标为(1，0)答案：(1，0)7设函数f(x)x(ex1)x2，

4、则函数f(x)的单调增区间为_解析：因为f(x)x(ex1)x2，所以f(x)ex1xexx(ex1)·(x1)令f(x)>0，即(ex1)(x1)>0，解得x(，1)或x(0，)所以函数f(x)的单调增区间为(，1和0，)答案：(，1和0，)8已知函数f(x)ax3bx2cx，其导函数yf(x)的图象经过点(1，0)，(2，0)，如图所示，则下列说法中不正确的是_当x时函数取得极小值；f(x)有两个极值点；当x2时函数取得极小值；当x1时函数取得极大值解析：从图象上可以看到：当x(0，1)时，f(x)>0；当x(1，2)时，f(x)<0；当x(2，)时，f(

5、x)>0，所以f(x)有两个极值点1和2，且当x2时函数取得极小值，当x1时函数取得极大值只有不正确答案：三、解答题9(2012年益阳模拟)已知函数f(x)ln(exa)(a为常数)是R上的奇函数(1)求a的值；(2)讨论函数yx22exm的零点的个数解析：(1)因为f(x)ln(exa)是奇函数，所以ln(exa)ln(exa)，所以(exa)(exa)1，所以a(exexa)0，所以a0.(2)由已知得x22exm，令f1(x)，f2(x)x22exm，因为f1(x)，当x(0，e)时，f1(x)>0，所以f1(x)在(0，e上为增函数；当xe，)时，f1(x)0，所以f1(x

6、)在e，)上为减函数所以当xe时，f1(x)maxf1(e)，而f2(x)(xe)2me2，所以当me2>，即m>e2时，所求函数零点的个数为0；当me2，即me2时，所求函数零点的个数为1；当me2<，即m<e2时，所求函数零点的个数为2.10已知函数f(x)x2aln x(aR)(1)若a2，求证：f(x)在(1，)上是增函数；(2)求f(x)在1，e上的最小值解析：(1)证明：当a2时，f(x)x22ln x，当x(1，)时，f(x)>0，所以f(x)在(1，)上是增函数(2)f(x)(x>0)，当x1，e时，2x2a2a，2e2a若a2，则当x1，e

7、时，f(x)0，所以f(x)在1，e上是增函数，又f(1)1，故函数f(x)在1，e上的最小值为1.若a2e2，则当x1，e时，f(x)0，所以f(x)在1，e上是减函数，又f(e)e2a，所以f(x)在1，e上的最小值为e2a.若2<a<2e2，则当1x< 时，f(x)<0，此时f(x)是减函数；当 <xe时，f(x)>0，此时f(x)是增函数又f( )ln ，所以f(x)在1，e上的最小值为ln .综上可知，当a2时，f(x)在1，e上的最小值为1；当2<a<2e2时，f(x)在1，e上的最小值为ln ；当a2e2时，f(x)在1，e上的最小值为e2a.11已知函数f(x)ln x.(1)若函数f(x)在(0，)上为单调增函数，求a的取值范围；(2)设m，n(0，)，且mn，求证：<.解析：(1)f(x).因为f(x)在(0，)上为单调增函数，所以f(x)0在(0，)上恒成立，即x2(22a)x10在(0，)上恒成立，当x(0，)时，由x2(22a)x10，得2a2x.设g(x)x，x(0，)，则g(x)x22，当且仅当x，即x1时等号成立，所以2a22，即a2，所以a的取值范围是(，2(2)不妨设m>