用彼得斯公式估计总体标准差的误差分析

1、用彼得斯公式估计总体标准差的误差分析朱 安 远（冶金工业部自动化研究院·北京，100071）【摘要】本文作者独立地推导出了用彼得斯公式估计总体标准差的标准 差系数 Cn 的计算公式。根据各种估计总体标准差方法的标准差系数 Cn 的大小，我们可以分析出各种估计方法的优劣及其适用范围。【关键词】彼得斯公式 总体标准差 标准差系数 误差分析1 彼得斯公式及其由来 假设总体为独立地抽自总体X的一个随机样本，定义随机变量 其中 这里不妨假设n为大于2的正整数。 因故即随机变量和随机变量 之间的相关系数为 据此其联合概率密度就确定了。在这个基础上，我们就可求得随机变量的概率密度为： 在上式中代入

2、则 在推导彼得斯公式之前，作为预备知识，我们先介绍绝对正态分布。 绝对正态分布是一种常见的不对称分布。只计大小而不计方向的随机误差一般都服从绝对正态分布。假设且 X1，X2 相互独立，则 即 其中 那么随机变量 的分布就是一个绝对正态分布。不难求得随机变量 的数学期望和方差分别为： 上式中 在上述结论中，令亦即k = 0 ,则 随机变量 的数学期望为： 于是用 作为标准差的估计是无偏估计。此公式就是用于计算总体标准差的彼得斯 (Peters) 公式。彼得斯（C. A. F. Peters ,18061880）是德国天文学家，18391849年在俄国工作，主要成就是确定章动常数和恒星视差的光行差

3、等。 在科学实验中，评定实验的准确度（Accuracy）是一个极其重要的问题。在评定准确度的时候，一般都要计算实验的标准差。计算标准差的方法除彼得斯法外，还有贝塞尔法、极差法、较差法、最大误差法和最大残差法等。标准差对理论和实际应用来说都是一个很重要的指标，它描述了随机变量的可能值与均值的疏密程度。2 彼得斯公式的误差分析 在实验过程中，可能同时存在系统误差（Systematic Error）、随机误差（Random Error）和粗大误差（Parasitic Error）。 当粗大误差被剔除后，决定准确度的就是系统误差和随机误差。系统误差影响实验的正确度（Correctness），随机误差影

4、响实验的精密度（Precision）。 系统误差和随机误差的合成结果称为综合误差 ( Composite Error )。而实验的准确度（Accuracy）就是用综合误差来衡量的，它表征了实验结果与真值的接近程度。 因为彼得斯公式是无偏估计 ,故不存在系统误差。下面我们重点来讨论彼得斯公式的随机误差。由于随机变量 和 ( ij，i & j1, 2, , n）之间不是相互独立的，其相关系数不易求得，故随机变量 的方差也不易求得。在这里我们采用下述独特的思路来求随机变量Y的方差：首先求出随机变量 和它们之间也不是相互独立的）的联合概率密度，然后求出随机变量和 的联合概率密度，由此可求得联合

5、数学期望E(Wi Wj )。根据公式COV(Wi，Wj )E(Wi Wj )E(Wi )·E(Wj )即可求得随机变量Wi 和Wj 之间的协方差。在此基础上求随机变量Y的方差就轻而易举了。下面我们就来逐步地作这些工作： 对于随机变量Vi 和Vj（ij，i & j1, 2, , n），有 故其相关系数为： 故二维正态随机变量（Vi，Vj）的联合概率密度为： 令 则二维随机变量（Wi，Wj ）的联合分布函数和联合概率密度分别为： 其余地方为零) 其余地方为零) 在上式中代入则 令则 又令则 再令即则 上式中常数 又 用数学归纳法容易证明： 其中 k = 0, 1, 2, ) 随机

6、变量和的协方差为： 随机变量的方差为： 前面已作过n > 2的假设，实际上经验算此公式也适合n = 2时的情况。 用彼得斯公式来估计随机变量的标准差是无偏估计，不存在系统误差，其随机误差的标准差为故定义其标准差系数为： 精确到小数点后六位，借助于计算机用Excel 97算得标准差系数Cn如下面的表1所示。根据各种估计总体标准差方法（如贝塞尔法、极差法、较差法、最大误差法和最大残差法等）的标准差系数 Cn 的大小，我们可以分析出各种方法的优劣及其适用范围。参 考 文 献1 张世英、刘智敏 编著 ，测量实践的数据处理，科学出版社，1977 年11月（首版）。2 M. 费史(波兰) 著，王福保

7、 译 ，概率论及数理统计， 上海科学 技术出版社，1962年10月（首版）。1990年03月21日完成第一稿1990年12月25日完成第二稿 1998年10月20日完成此定稿The Error Analysis of a Population Standard Deviation Estimated by Peters FormulaZhu An-yuan(Automation Research Institute of Ministry of Metallurgical Industry , Beijing , 100071)Abstract The author has exported

8、on his own the calculating formula of a standard deviation coefficient Cn of a population standard deviation estimated by Peters formula . It can be analysed that various estimating methods are good ,bad and their scope of application according to big or small of different standard deviation coefficients Cns of various estimating methods .Keywords Peters formula population standard deviation standard deviation coefficient error analysis作 者 简 介朱安远 1964年10月生于湖南省邵东县。1985年7月毕业于包头钢铁学院机电工程系工业电气自动化专业，获工学学士学位。现为冶金工业部自动化研究