高考数学(理)一轮复习课件：二项式定理

1、第三节 二项式定理 1.1.能用计数原理证明二项式定理；能用计数原理证明二项式定理；2.2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. .1.1.二项展开式的通项公式的应用，利用通项公式求特定的项或特定项的系数，二项展开式的通项公式的应用，利用通项公式求特定的项或特定项的系数，或已知某项，求指数或已知某项，求指数n n等是考查重点；等是考查重点；2.2.赋值法、化归思想是解决二项展开式问题的基本思想和方法，也是高考考赋值法、化归思想是解决二项展开式问题的基本思想和方法，也是高考考查的热点；查的热点；3.3.题型以选择题和填空题为主，与其他知识点交

2、汇则以解答题为主题型以选择题和填空题为主，与其他知识点交汇则以解答题为主. .1.1.二项式定理二项式定理二项式定理二项式定理 二项展开式的通项二项展开式的通项 二项式系数二项式系数 (a+b)(a+b)n n=_=_(nN_(nN* *) )Tk+1=_,Tk+1=_,二项展开式中各项的系数为二项展开式中各项的系数为 _0n1n 12n 22nnnC aC abC abkn kknnnnC abC bkn kknC abk1knC(k=0,1,2,n)(k=0,1,2,n)它表示第它表示第_项项 【即时应用即时应用】(1)(a+b)(1)(a+b)n n展开式中，二项式系数展开式中，二项式系

3、数 (k=0,1,2,n)(k=0,1,2,n)与展开式中项的系数与展开式中项的系数_(_(填：填：“一定一定”，“不一定不一定”) )相同相同. .(2) =_.(2) =_.(3) (3) 的展开式中，的展开式中，x x3 3的系数等于的系数等于_._.knC012311111111111111C2C4C8C2 C6xy()yx【解析解析】(1)(1)二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念, ,二项式系数是指二项式系数是指 它只与各项的项数有关，而与它只与各项的项数有关，而与a,ba,b无关；而项的系数是指该项中除变量外的部无关；而项的系数是指该项

4、中除变量外的部分，它不仅与各项的二项式系数有关，而且也与分，它不仅与各项的二项式系数有关，而且也与a,ba,b所代表的项有密切关系所代表的项有密切关系. .012nnnnnC ,C ,C ,C ,(2)(2)原式原式=(1-2)=(1-2)1111=-1.=-1.(3) (3) 的通项为的通项为TrTr1 1令令6 6 r r3 3，得得r r2 2， r r3 30 0，故，故x x3 3的系数为的系数为 ( (1)1)2 215.15.答案：答案：(1)(1)不一定不一定 (2)-1 (3)15(2)-1 (3)156xy()yxr6 rr6xyC ()()yx336rr 3rr226C

5、( 1) x y，323226C2.2.二项式系数的性质二项式系数的性质(1)(1)对称性：与首末两端对称性：与首末两端“等距离等距离”的两个二项式系数相等，即的两个二项式系数相等，即_._.(2)(2)增减性：增减性：二项式系数二项式系数 当当k k_时，二项式系数是递增的；时，二项式系数是递增的；当当k k_时，二项式系数是递减的时，二项式系数是递减的. .mnmnnCCknC ，n12n123)3)最大值最大值: :当当n n是偶数时，中间的一项是偶数时，中间的一项_取得最大值；取得最大值；当当n n是奇数时，中间两项是奇数时，中间两项_和和_相等，且同时取得最大值相等，且同时取得最大值

6、. .n2nCn 12nCn 12nC【即时应用即时应用】(1)(1)二项式二项式(1-x)(1-x)4n+14n+1的展开式中，系数最大的项为第的展开式中，系数最大的项为第_项项. .(2)(2)若若 展开式中第展开式中第6 6项的系数最大，则不含项的系数最大，则不含x x的项等于的项等于_._.3n21( x)x【解析解析】(1)(1)因为因为4n+14n+1为奇数，所以展开式有为奇数，所以展开式有4n+24n+2项，则项，则T2n+1= T2n+1= (-x) (-x)2n2n,T2n+2= (-x),T2n+2= (-x)2n+12n+1，系数分别为，系数分别为 所以系数最大的项为第所

7、以系数最大的项为第2n+12n+1项项. .(2)(2)由已知，得第由已知，得第6 6项应为中间项，则项应为中间项，则n=10.n=10.令令30-5r=030-5r=0，得，得r=6.T6+1= =210. r=6.T6+1= =210. 答案：答案：(1)2n+1 (2)210(1)2n+1 (2)2102n4n 1C2n 14n 1C2n4n 1C，2n 14n 1C,r3 10 rrr30 5rr 1101021TCxCxx()()，610C3.3.各个二项式系数的和各个二项式系数的和(1)(a+b)(1)(a+b)n n的展开式的各个二项式系数的和等于的展开式的各个二项式系数的和等于

8、_，即，即_；(2)(2)二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，数的和， 即即 =_=_.=_=_.2 2n n012nnnnnnCCCC2 024nnnnnCCCC135nnnCCC2 2n-1n-1【即时应用即时应用】(1)(1)若若(x(x ) )n n的展开式中第的展开式中第3 3项的二项式系数是项的二项式系数是1515，则展开，则展开式中所有项的系数之和为式中所有项的系数之和为_._.(2)(2)已知已知(3-x)(3-x)4 4=a0+a1x+a2x=a0+a1x+a2x2 2+a3x+a3x3 3+

9、a4x+a4x4 4，则，则a0-a1+a2-a3+a4a0-a1+a2-a3+a4等于等于_._.(3)(3)已知已知(1(1x)x)5 5a0a0a1xa1xa2xa2x2 2a3xa3x3 3a4xa4x4 4a5xa5x5 5，则，则(a0+(a0+a2a2a4)(a1a4)(a1a3a3a5)a5)的值等于的值等于_12x【解析解析】(1)(1)依题意，得依题意，得 1515，即，即 1515，n(nn(n1)1)30(30(其中其中n2)n2)，由此解得，由此解得n n6 6，因此展开式中所有项的系数之，因此展开式中所有项的系数之和为和为(1(1 ) )6 6(2)(2)由题意，可

10、知令由题意，可知令x x1 1，代入式子，可得，代入式子，可得a0-a1+a2-a3+a4a0-a1+a2-a3+a43 3( (1)1)4 4256.256.2nCn n 1212 11.64(3)(3)分别令分别令x x1 1、x x1,1,得得a0a0a1a1a2a2a3a3a4a4a5a50,a00,a0a1a1a2a2a3a3a4a4a5a53232，由此解得，由此解得a0a0a2a2a4a41616，a1a1a3a3a5a51616，所以，所以(a0 (a0 a2a2a4)(a1a4)(a1a3a3a5)a5)256.256.答案答案: :(1) (2)256 (3)-256(1)

11、 (2)256 (3)-256164 求二项展开式中特定的项或特定项的系数求二项展开式中特定的项或特定项的系数【方法点睛方法点睛】1.1.理解二项式定理应注意的问题理解二项式定理应注意的问题(1)Tr+1(1)Tr+1通项公式表示的是第通项公式表示的是第“r+1”r+1”项，而不是第项，而不是第“r”r”项；项；(2)(2)通项公式中通项公式中a a和和b b的位置不能颠倒；的位置不能颠倒；(3)(3)展开式中第展开式中第r+1r+1项的二项式系数项的二项式系数 与第与第r+1r+1项的系数在一般情项的系数在一般情况下是不相同的，在具体求各项的系数时，一般先处理符号，况下是不相同的，在具体求各

12、项的系数时，一般先处理符号，对根式和指数的运算要细心对根式和指数的运算要细心, ,以防出错以防出错. .2.2.求特定项的步骤求特定项的步骤(1)(1)根据所给出的条件根据所给出的条件( (特定项特定项) )和通项公式建立方程来确定指数和通项公式建立方程来确定指数( (求解时要注意二项式系数中求解时要注意二项式系数中n n和和r r的隐含条件，即的隐含条件，即n n为正整数，为正整数，r r为非负整数，且为非负整数，且rn)rn)；(2)(2)根据所求项的指数特征求所要求解的项根据所求项的指数特征求所要求解的项. .rnC【例例1 1】(1)(2012(1)(2012 宁波模拟宁波模拟) )在

13、在 的展开式中，系数为的展开式中，系数为有理数的项共有有理数的项共有_项项. .(2)(2012(2)(2012 烟台模拟烟台模拟)(x+ -1)(x+ -1)5 5展开式中的常数项为展开式中的常数项为_._.(3)(3)在在 的展开式中，系数绝对值最大的项是第几项？的展开式中，系数绝对值最大的项是第几项？204(x3y)1x822( x)x【解题指南解题指南】(1)(1)先明确系数为有理数的项的特征，然后由二项展开式的通项找出符合条件的项的先明确系数为有理数的项的特征，然后由二项展开式的通项找出符合条件的项的个数个数. .(2)(2)可将括号内的三项分成两组看成两项，再利用二项式定理求解，也

14、可直接展开所给式子进行求可将括号内的三项分成两组看成两项，再利用二项式定理求解，也可直接展开所给式子进行求解解. .(3)(3)设第设第r+1r+1项系数的绝对值最大，据此可构造含有项系数的绝对值最大，据此可构造含有r r的不等式组，求出的不等式组，求出r r的范围后，再求项数的范围后，再求项数. .【规范解答规范解答】(1)(1)要求系数为有理数的项，则要求系数为有理数的项，则r r必须能被必须能被4 4整除整除. .由由0r200r20且且rNrN知，当且仅当知，当且仅当r=0,4,8,12,16,20r=0,4,8,12,16,20时所对应的项系数为有理数时所对应的项系数为有理数. .答

15、案答案: :6 61rr20 rrrr20 rr44r 12020TC x(3 ) yC 3 xy，(2)(2)方法一：方法一：(x+ -1)(x+ -1)5 5= =(x+ )-1(x+ )-15 5, ,它的展开式的通项为：它的展开式的通项为：Tr+1= (0r5).Tr+1= (0r5).当当r=5r=5时，时，Tr+1= Tr+1= 1 1(-1)(-1)5 5=-1=-1，当当0r0r5 5时，时，(x+ )(x+ )5-r5-r的通项公式为的通项公式为 0r50r5且且rZ,rZ,1x1xr5 rr51C (x)( 1)x55C1xk5 r kkk 15 rk5 r 2k5 r1T

16、Cx( )xCx0k5r . rr只能取只能取1 1或或3,3,相应的相应的k k值分别为值分别为2 2或或1 1，即，即 或或所以，其常数项为所以，其常数项为 (-1)+ (-1)(-1)+ (-1)3 3+(-1)=-51.+(-1)=-51.r1k2r3,k11254C C3152C C方法二：由于本题只是方法二：由于本题只是5 5次展开式，也可以直接展开次展开式，也可以直接展开(x+ )-1(x+ )-15 5，即即(x+ )-1(x+ )-15 5=(x+ )=(x+ )5 5-5(x+ )-5(x+ )4 4+10(x+ )+10(x+ )3 3-10(x+ )-10(x+ )2

17、2+5(x+ )-1.+5(x+ )-1.由由x+ x+ 的对称性知，只有在的对称性知，只有在x+ x+ 的偶次幂中，其展开式才会出的偶次幂中，其展开式才会出现常数项，且是各自的中间项现常数项，且是各自的中间项. .所以，其常数项为：所以，其常数项为：答案答案: :-51-511x1x1x1x1x1x1x1x1x21425C10C151. (3)(3)设第设第r+1r+1项系数的绝对值最大，项系数的绝对值最大，则则 即：即：5r65r6，故系数绝对值最大的项是第故系数绝对值最大的项是第6 6项和第项和第7 7项项. .5r4r8 rrrrr2r 18822TC ( x)()( 1) C 2 x

18、x rrr 1r 188rrr 1r 188C 2C2,C 2C2128rr121r9r ，【互动探究互动探究】在本例在本例(3)(3)中，条件不变，求系数最大的项和最小中，条件不变，求系数最大的项和最小的项？的项？【解析解析】由本例由本例(3)(3)知，展开式的第知，展开式的第6 6项和第项和第7 7项系数的绝对值最项系数的绝对值最大，而第大，而第6 6项的系数为负，第项的系数为负，第7 7项的系数为正项的系数为正. .故系数最大的项为：故系数最大的项为：系数最小的项为：系数最小的项为：66111178TC 2 x1 792x.1717552268TC 2 x1 792x. 【反思反思 感悟

19、感悟】求二项式求二项式n n次幂的展开式中的特定项，一般利用次幂的展开式中的特定项，一般利用结合律，借助于二项式定理的通项求解；当幂指数比较小时，结合律，借助于二项式定理的通项求解；当幂指数比较小时，可以直接写出展开式的全部或局部可以直接写出展开式的全部或局部. .【变式备选变式备选】已知已知 的展开式中，前三项系数的绝对的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列值依次成等差数列. .(1)(1)求证：展开式中没有常数项；求证：展开式中没有常数项；(2)(2)求展开式中所有的有理项求展开式中所有的有理项. . n41( x)2 x 二项式系数和或各项的系数和二项式系数和或各项的系数和【方法点

20、睛方法点睛】赋值法的应用赋值法的应用(1)(1)对形如对形如(ax+b)(ax+b)n n、(ax(ax2 2+bx+c)+bx+c)m m(a,b,cR)(a,b,cR)的式子求其展开式的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令的各项系数之和，常用赋值法，只需令x=1x=1即可；对形如即可；对形如(ax+by)(ax+by)n n(a,bR)(a,bR)的式子求其展开式各项系数之和，只需令的式子求其展开式各项系数之和，只需令x=y=1x=y=1即可即可. .(2)(2)若若f(x)=a0f(x)=a0a1xa1xa2xa2x2 2anxanxn n，则，则f(x)f(x)展开式中各项

21、系数展开式中各项系数之和为之和为f(1)f(1)，奇数项系数之和为奇数项系数之和为a0+a2+a4+=a0+a2+a4+=偶数项系数之和为偶数项系数之和为a1+a3+a5+=a1+a3+a5+=【提醒提醒】“赋值法赋值法”是求二项展开式系数问题常用的方法，注是求二项展开式系数问题常用的方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解题易出现漏项等情况，应引起注意取几组值，解题易出现漏项等情况，应引起注意. . f 1f1,2 f 1f1.2【例例2 2】(2012(2012 梅州模拟梅州模拟) )设设(2x-1)(

22、2x-1)5 5=a0+a1x+a2x=a0+a1x+a2x2 2+a5x+a5x5 5，求：，求：(1)a0+a1+a2+a3+a4;(1)a0+a1+a2+a3+a4;(2)|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|(2)|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|；(3)a1+a3+a5(3)a1+a3+a5；(4)(a0+a2+a4)(4)(a0+a2+a4)2 2-(a1+a3+a5)-(a1+a3+a5)2 2. .【解题指南解题指南】 (2x-1) (2x-1)5 5=a=a0 0+a+a1 1x+ax+a2 2x x2 2+ +a+a5 5x x5

23、 5为关于为关于x x的恒等式，的恒等式，求系数和的问题可用赋值法解决求系数和的问题可用赋值法解决. .【规范解答规范解答】设设f(x)=(2x-1)f(x)=(2x-1)5 5=a0+a1x+a2x=a0+a1x+a2x2 2+ +a5x+a5x5 5，则，则f(1)=a0+a1+a2+f(1)=a0+a1+a2+a5=1,+a5=1,f(-1)=a0-a1+a2-a3+a4-a5=(-3)f(-1)=a0-a1+a2-a3+a4-a5=(-3)5 5=-243.=-243.(1)a5=2(1)a5=25 5=32,=32,a0+a1+a2+a3+a4=f(1)-32=-31.a0+a1+a

24、2+a3+a4=f(1)-32=-31.(2)|a0|+|a1|+|a2|+(2)|a0|+|a1|+|a2|+|a5|+|a5|=-a0+a1-a2+a3-a4+a5=-f(-1)=243.=-a0+a1-a2+a3-a4+a5=-f(-1)=243.(3)f(1)-f(-1)=2(a1+a3+a5),(3)f(1)-f(-1)=2(a1+a3+a5),a1+a3+a5= =122.a1+a3+a5= =122.(4)(a0+a2+a4)(4)(a0+a2+a4)2 2-(a1+a3+a5)-(a1+a3+a5)2 2=(a0+a1+a2+a3+a4+a5)(a0-a1+a2-a3+a4-a

25、5)=(a0+a1+a2+a3+a4+a5)(a0-a1+a2-a3+a4-a5)=f(1)=f(1)f(-1)=-243.f(-1)=-243.2442【反思反思 感悟感悟】1.1.赋值法是解这类问题的重要方法，运用赋值赋值法是解这类问题的重要方法，运用赋值法求值要抓住代数式的结构特征，通过特殊值代入构造相应的法求值要抓住代数式的结构特征，通过特殊值代入构造相应的结构结构. .2.2.本题是关于二项展开式各项系数的常见问题，应掌握本题是关于二项展开式各项系数的常见问题，应掌握f(1),f(-1)f(1),f(-1)的意义，借助的意义，借助f(1)f(1)求展开式各项的系数和是常用的求展开式各

26、项的系数和是常用的方法方法. .【变式训练变式训练】1.1.已知已知(1(1x)x)(1(1x)x)2 2(1(1x)x)n na0a0a1xa1xa2xa2x2 2anxanxn n，且，且a1a1a2a2anan1 12929n n，则，则n n_._.【解析解析】易知易知a an n1 1，令，令x x0 0得得a a0 0n n，所以，所以a a0 0a a1 1a an n30.30.又令又令x x1 1，有，有2 22 22 22 2n na a0 0a a1 1a an n3030，即即2 2n n1 12 23030，所以，所以n n4.4.答案答案: :4 42.2.已知已知

27、(1(1x)x)n na0a0a1xa1xa2xa2x2 2anxanxn n，若，若5a15a12a22a20 0，则，则a0a0a1a1a2a2a3a3( (1)1)n nanan. .【解析解析】由二项式定理，得由二项式定理，得代入已知得代入已知得5n5nn(nn(n1)1)0 0，所以，所以n n6 6，令令x x1 1得得(1(11)1)6 6a a0 0a a1 1a a2 2a a3 3a a4 4a a5 5a a6 6，即即a a0 0a a1 1a a2 2a a3 3a a4 4a a5 5a6a664.64.答案答案: :6464121n2nn n 1aCnaC2 ，

28、，【变式备选变式备选】设设(x(x2 2-x-1)-x-1)5050=a100 x=a100 x100100+a99x+a99x9999+a98x+a98x9898+a0.+a0.(1)(1)求求a100+a99+a98+a1a100+a99+a98+a1的值；的值；(2)(2)求求a100+a98+a96+a2+a0a100+a98+a96+a2+a0的值的值. .【解析解析】(1)(1)令令x=0,x=0,得得a a0 0=1;=1;令令x=1,x=1,得得a a100100+a+a9999+a+a9898+ +a+a1 1+a+a0 0=1,=1,所以所以a a100100+a+a999

29、9+a+a9898+ +a+a1 1=0.=0.(2)(2)令令x=-1,x=-1,得得a a100100-a-a9999+a+a9898+ +-a-a1 1+a+a0 0=1,=1,而而a a100100+a+a9999+a+a9898+ +a+a1 1+a+a0 0=1,=1,+ +整理可得整理可得a a100100+a+a9898+a+a9696+ +a+a2 2+a+a0 0=1.=1. 二项式定理的综合应用二项式定理的综合应用【方法点睛方法点睛】二项式定理的综合应用二项式定理的综合应用(1)(1)利用二项式定理进行近似计算：当利用二项式定理进行近似计算：当n n不很大，不很大，|x|

30、x|比较小时，比较小时，(1+x)(1+x)n n1+nx.1+nx.(2)(2)利用二项式定理证明整除问题或求余数问题利用二项式定理证明整除问题或求余数问题: :在证明整除问在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式( (数数) )展开后的展开后的每一项都有除式的因式，要注意变形的技巧每一项都有除式的因式，要注意变形的技巧. .(3)(3)利用二项式定理证明不等式利用二项式定理证明不等式: :由于由于(a+b)(a+b)n n的展开式共有的展开式共有n+1n+1项，故可以对某些项进行取舍来放缩，从而达到证明不等式的项，故可以对某些项进行取

31、舍来放缩，从而达到证明不等式的目的目的. .【例例3 3】(1)(1)求证：求证：4 46 6n n5 5n n1 19 9能被能被2020整除整除. .(2)(2)根据所要求的精确度，求根据所要求的精确度，求1.021.025 5的近似值的近似值.(.(精确到精确到0.01).0.01).【解题指南解题指南】(1)(1)将将6 6拆成拆成“5+15+1”，将，将5 5拆成拆成“4+14+1”, ,进而利用进而利用二项式定理求解二项式定理求解. .(2)(2)把把1.021.025 5转化为二项式，适当展开，根据精确度的要求取必要转化为二项式，适当展开，根据精确度的要求取必要的几项即可的几项即

32、可. .【规范解答规范解答】(1)4(1)46 6n n5 5n n1 19 94(64(6n n1)1)5(55(5n n1)1)4 4(5(51)1)n n1 15 5(4(41)1)n n1 12020(5(5n n1 1 ) )(4(4n n1 1 ) )，是，是2020的倍数，所以的倍数，所以4 46 6n n5 5n n1 19 9能被能被2020整除整除. .(2)1.02(2)1.025 5=(1+0.02)=(1+0.02)5 5= =当精确到当精确到0.010.01时，只要展开式的前三项和，时，只要展开式的前三项和，1+0.10+0.004=1.1041+0.10+0.00

33、4=1.104，近似值为，近似值为1.10.1.10.1n2nC 5n 1nC1n2nC 4n 1nC122334455555551C 0.02C 0.02C 0.02C 0.02C 0.022233555C0.020.004,C0.028 10【互动探究互动探究】将本例将本例(2)(2)中精确到中精确到0.010.01改为精确到改为精确到0.0010.001，如何，如何求解求解? ?【解析解析】由本例由本例(2)(2)知，当精确到知，当精确到0.0010.001时，只要取展开式的前时，只要取展开式的前四项和四项和,1+0.10+0.004+0.000 08=1.104 08.,1+0.10+

34、0.004+0.000 08=1.104 08.近似值为近似值为1.104.1.104.【反思反思 感悟感悟】利用二项式定理证明整除问题时，首先需注意利用二项式定理证明整除问题时，首先需注意(a(ab)b)n n中，中，a a，b b中有一个是除数的倍数；其次展中有一个是除数的倍数；其次展开式有什么规律，余项是什么，必须清楚开式有什么规律，余项是什么，必须清楚. .2.2.求求0.9980.9986 6的近似值，使误差小于的近似值，使误差小于0.001.0.001.【解析解析】0.9980.9986 6(1(10.002)0.002)6 61 16 6( (0.002)0.002)1 11515( (0.002)0.002)2 2( (0.002)0.002)6 6. .因为因为T3T3 ( (0.002)0.002)2 21515( (0.002)0.002)2 20.000 060.000 060.0010.001，且第且第3 3项以后的绝对值都小于项以后的绝对值都小于0.0010.001，所以从第所以从第3 3项起项起, ,以后的项都可以忽略不计以后的项都可以忽略不计. .所以所以0.9980.9986 6=(1-0.002)=(1-0.002)6 61+61+6(-0