直线及圆的参数方程

1、直线及圆的参数方程 教学重点和难点:直线参数方程及圆的参数方程的基本形式，对直线标准参数方程中参数t的理解，非标准参数方程如何化为标准方程并求出倾角，并应用直线参数方程解决有关问题。 例题分析:例1下列各式中，哪一个是直线的三角式方程，试述理由，若是点角式参数方程时，写出始点和倾角，若不是，化为点角式参数方程。 （1）（t为参数）；（2）（t为参数）；（3）（t为参数） 解:（1）始点（-2，3），倾角为是点角式参数方程。（2）不是点角式参数方程，不满足为点角式参数方程的必要条件，即a2+b2=1。但是形如（t为参数）的可化为参数方程的标准式即（t为参数） （3）（t为参数）不是点角式参数方程

2、，令t'=-t，得， 直线始点为（-2，2），倾角为。 例2写出过点A（1，-2），倾角为45°的直线l1的点角式参数方程，若l1与l2:x+2y-4=0相交于B。（1）求|AB|； （2）求点B的坐标。 解:设l1的参数方程为:（I）（t为参数）把（I）代入l2方程，1+t+2(-2+t)-4=0 解出t=（II）， |AB|=|t-0|= 把（II）代入（I）得:B(, )。 小结:从此例可看出应用三角式参数方程求距离很简捷。 例3求椭圆=1中斜率为2的平行弦中点的轨迹。 解：（1）用普通方程解决，设弦中点P(x0, y0)，弦的两端点A(x1, y1), B(x2, y

3、2) 由已知得: (1)-(2)： =0， .(6) 将(5)代入(6)， 2=, x0+3y0=0,轨迹为含在椭圆内的一条线段。 法（2）参数方程解题设弦中点P(x0,y0)，弦的倾角为a， 平行弦的直线参数方程为:（t为参数）(1)将（1）代入2x2+3y2-6=0中，整理后得:(2cos2+3sin2)t2+2(2x0cos+3ysin)t+2x02+3y02-6=0, t1+t2= P为弦中点，t1+t2=0，即2x0cos+3y0sin=0，又tg=2, 2x0+6y0=0, P点轨迹是方程为x+3y=0在椭圆=1内的一条线段。 小结:此例用普通方程及参数方程对比解决，体会参数t的几

4、何意义，其中t1+t2=0对点角式方程而言具有普遍的意义，常用于解决弦中点问题。 例4设M，N是抛物线y2=2px(p>0)的对称轴上两点，且它们关于顶点O对称，过M，N作两条平行线，分别交抛物线于P1，P2，Q1，Q2，求证:|MP1|·|MP2|=|NQ1|·|NQ2|。证明:由已知可设M(a,0), N(-a, 0)(a>0) 则直线MP1，NQ1的参数方程为: （1）和（2）其中t是参数，是倾斜角。 把（1）（2）分别代入y2=2px中，由韦达定理可得:|MP1|·|MP2|=，|NQ1|·|NQ2|=，|MP1|·|MP2

5、|=|NQ1|·|NQ2| 评述:此例中应用了点角式参数方程中t的几何意义，即|t1|,|t2|为相应点到定点M的距离，据此证明了关于线段的等式问题。 例5椭圆长轴|A1A2|=6，焦距|F1F2|=4，过椭圆焦点F1引直线交椭圆于M，N两点，设F2F1M=，0,），若|MN|等于短轴时，求。 解:a=3, c=2,b=1, F1(-2,0)，椭圆方程+y2=1。 法（1）设MN所在直线参数方程为.(1)（t为参数） 将(1)代入+y2=1得:(1+8sin2)t2-4tcos-1=0 t1+t2=, t1·t2=,2b=2。|t1-t2|2=, =22, sin2=,0,

6、）， sin=, =或。 （法二）设MN方程:y=k(x+2) x1+x2=.(1),x1·x2=.(2) <i> |MN|=|x1-x2|.<I>又|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2.(3) 将(1),(2)代入(3)，将(3)代入(I)解得:k2=(下略) 另；<ii> e=, M(x1,y1), N(x2,y2)由第二定义:|MF2|=ex2+a, |MF1|=ex1+a |MN|=e(x1+x2)+2a=(x1+x2)+6, 2=·+6, k2=(下略)。 评述:利用直线参数方程，常常解决弦长的问题，对比普通方程的弦长

7、公式可知，形式上要简捷，运算上也将更加简化，减少运算的出错可能。 例6过M(-1,0)的直线l交双曲线x2-y2=10于A，B两点，且|MA|=3|MB|，求直线l的方程。 分析:|MA|=3|MB|，若设普通方程，则两线段间的上述关系表述很繁琐，条件不利于应用。设直线参数方程点角式，直接利用参数t的几何意义表达|MA|=3|MB|，可以很方便的代入式子中去应用。 解:设直线MA的参数方程为（t为参数）(-1+tcos)2-t2sin2-10=0(cos2-sin2)t2-2tcos-9=0，有 t1+t2=, t1·t2= 又 |MA|=3|MB|， t1=±3t2。 &

8、lt;i>当t1=±3t2时，4t2=, 3=, t2=, 3=, 解得:cos2=，sin2=, tg=±， l: y=±(x+1)。<ii> 当t1=3t2时，同理可求l:y=(x+1)。 本周小结:直线参数方程点角式问题，应注重从下面几点讲解。<1>会判断方程是否为点角式参数方程；<2>若参数方程为会化为点角式，并会求出倾角，一定要注意倾角的范围。<3>会应用它解决弦长问题，弦的中点线分弦成定比问题，点在直线上位置等常见问题。 参考练习:1直线:（t为参数）的倾斜角是（ ） A、20°B、70&

9、#176;C、110°D、160° 2直线（t是参数）与圆（为参数）相交所得弦长为（） A、(3-) B、C、D、(3+) 3圆x2+y2=8内有一点P0(-1,2)，AB为过P0且倾角为的弦。 （1）当=，求|AB|；（2）当弦A'B'被点P0平分时，写出直线A'B'的方程。 参考答案: 1.C2.B 3.解:设直线AB方程为:(1)（t为参数）把(1)代入x2+y2=8,整理得: t2-2(cos-2sin)t-3=0.(2) 直线与圆相交，(2)有实根，则由韦达定理:t1+t2=2(cos-sin), t1·t2=-3, (1

10、)当=时，|AB|2=|t1-t2|2=(t1+t2)2-4t1t2=2(cos-sin)2-4×(-3)=30 |AB|=。 （2）弦A'B'被点P0平分 cos-2sin)=0tg=，即k=, A'B'方程为:y-2=(x+1)，即x-2y+5=0。在线测试窗体顶端选择题1直线（t为参数）的倾斜角是（） A、20°B、70°C、110°D、160° 窗体底端窗体顶端2曲线的参数方程为（0t5），则曲线是（） A、线段B、双曲线的一支C、圆弧D、射线 窗体底端窗体顶端3椭圆的两个焦点坐标是（） A、(-3,5)

11、, (-3,-3)B、(3,3),(3,-5)C、(1,1),(-7,1)D、(7,-1),(-1,-1) 窗体底端窗体顶端4下列参数方程(t为参数)与普通方程x2-y=0表示同一曲线的方程是（） A、B、C、D、 窗体底端窗体顶端5曲线的参数方程是(t是参数，t0)，它的普通方程是（） A、(x-1)2(y-1)=1 B、y= C、y=-1 D、y=+1窗体底端答案与解析 答案：1、C 2、A 3、B 4、D 5、B解析：1本题考查三角变换及直线的参数方程。解：由直线方程知此直线过定点(3，0)，那么它的斜率k=-ctg20°=tg(90°+20°)=tg110

12、°。因此直线的倾斜角为110°。故应选C。 2本小题考查化参数方程为普通方程的方法，及解不等式的知识。 解：消去参数t，得x-3y-5=0。因为0t5，所以2x77，-1y24。因此是一条线段，故选A。 3本小题考查参数方程和椭圆方程的知识，以及坐标轴平移。解：原方程消参得=1，是中心为（3，-1），焦点在x=3这条直线上的椭圆，c=4，焦点坐标为(3，3)及(3，-5)，所以选B。 4本小题考查参数方程和三角函数式的恒等变形解：选项A中x0，与x2-y=0中x的取值范围不符；B中，-1x1，与x2-y=0中的x范围不符；C中，y=ctg2t=，不能化成x2-y=0；D中，

13、y=tg2t=x2，即x2-y=0，故选D。 5本题考查参数方程的知识。解：由参数方程得消去t，得=1-y， y=1-=。故选B参数方程、极坐标知识小结 一、求轨迹的参数方程（1）对于曲线的参数方程应注意以下两点：一是参数方程中参数的变化范围是有限制的；二是给出一个t，解出唯一对应的x, y的值，因而得出唯一的对应点。 （2）可供选择的参数较多，如角度、时间、点的坐标、位移、直线斜率等。 二、普通方程与参数方程的互化1注意方程等价性在曲线的普通方程与参数方程的互化中应注意方程的等价性通过参数的取值范围推出x、y的取值范围。 2消去参数，把参数方程化为普通方程化曲线的参数方程为普通方程可用代数消

14、元法和三角消元法，如果参数方程中不含三角函数式，或者参数方程中虽含三角函数式，但三角函数中不含参数，用代入等代数方法消去参数；如果三角函数式含参数，可用三角函数关系消去参数。当然问题不是绝对的，有的题目既可以用代数方法又可用三角方法。 3普通方程化参数方程由普通方程化为参数方程，应注意恰当地选择参数，一般在与运动有关的问题中往往选时间为参数，与旋转有关的某些曲线中往往选角度为参数。参数选择得不同，所得方程也不同。因此，同一条曲线的参数方程不是唯一的。注意 应用参数方程及参数的几何意义解题，有时可使解法简便。 三、求轨迹的极坐标方程1直接法建立极坐标方程常常可以在一个三角形中实现。也就是说，建立

15、起这个三角形中的边角关系，就是建立了极坐标方程。 2转移法如果已知某直线的极坐标方程，求受该直线制约的动点轨迹方程时，常使用转移法，利用已知的极坐标方程推出所求的极坐标的方程。 3参数法在建立曲线的极坐标方程时也可运用参数法，先适当地选取参数t，建立动点的坐标、与t的关系：(t为参数)这就是动点轨迹的参数方程。再消去参数t，就得到极坐标方程。 注意 在求曲线的极坐标方程时，要特别注意点的极坐标(, )取值范围。因为在极坐标系中，平面上所有点的集合与极坐标之间不是”一一对应的；一般情况下，如果限制0，02，则除极点外，平面内的点和它的极坐标之间便可以一一对应。但是这样的限制对于研究曲线的极坐标方程有时有妨碍。如限制02，那么螺线=a只表示动点M的轨迹的一部分，这时螺线只剩下圈了，这显然是不合适的。 四、极坐标方程与直角坐标方程互化1极坐标方程与直角坐标方程互化时要注意以下两点： 在一般情况下取正值，取最小正角； 由tan=