五年级数学培优班讲义长方体和正方体的体积

1、授课教师：苏建明 上课时间： 学生签名：_ 家长签字 第五讲：正方体与长方体的体积 【专题知识点概述】1、长方体正方体体积 长方体体积=长×宽×高=底面积×高 V长=abh或V长=Sh 正方体体积=棱长×棱长×棱长 V正=a3或V正=Sh 在解较复杂的组合图形（长方体或者正方体）的体积（容积）题目时，首先要看清题意，所求形体是由哪些形体组成，再灵活运用体积（容积）公式来解答。【典型例题】【例1】 凯欣家里有一个长方体形状的鱼缸，长4分米，宽3分米，里面只注入了2分米深的水。一天爸爸买回了一块假山，当凯欣把假山放入金鱼缸后（假山全部浸入水中），水

2、面立即上升了6厘米，你知道这块假山的体积是多少？解题思路 鱼缸中放入假山后水面上升，说明假山在鱼缸中挤占了水的得空间，可知上升部分水的体积就等于假山的体积。解：4×3×0.6=7.2（立分分米）答：这块假山的体积是7.2立分分米 巩固训练11、一个正方体玻璃鱼缸长2分米，向鱼缸内倒入5升水，再把一块石头放入水中，石头完全被水浸没，这时量得鱼缸内水深15厘米，问放入的石头体积是多少立方厘米？2、 小红想测量一个铁球的体积，于是把它放进一个地面长20厘米，宽15厘米的长方体容器中，铁球完全被水埋没，水面上升了4厘米，铁球的体积是多少立方厘米？3、兰兰想测一个石块的体积，将石块放

3、入棱长是8厘米的一个正方体玻璃容器内，向容器中倒入水，将石块完全埋没，测得水深6厘米，然后将石块从水中取出，测得水深3厘米，你能帮助兰兰算出这个石块的体积是多少吗？【例2】 如右图，从长为13厘米，宽为9厘米的正方形硬纸板的四角剪掉边长为3厘米的正方形，然后沿虚线折叠成长方体无盖纸盒，这个纸盒的体积是多少？解题思路 由图可知，长方体底面的长为：13-3×2=(7厘米） 长方体底面宽为9-3×2=3（厘米） 长方体的高为3厘米 所以长方体体积为：V=7×3×3=63(立方厘米）解：V=(13-3×2)×(9-3×2)×

4、;3=63(立方厘米）答：这个纸盒的体积是63立方厘米。巩固训练21、如图所示，从长为20厘米，宽为10厘米的长方形硬纸板的四角剪掉边长为2厘米的正方形，然后沿虚线折叠成长方体无盖纸盒，这个纸盒的体积是多少？2、 一个长方形的铁皮，从四个角上各剪去一个同样大小的正方形，然后通过折叠、焊接，做成一个无盖的长方体铁盒，已知长方体铁盒的长是8分米，宽是6分米，高是3分米，这块长方形铁皮的面积是多少平方米？【例3】 一个长方体木块，从上部和下部分别截去高为4厘米和3厘米的长方体后（如右图)，便成为一个正方体，表面积减少了140平方厘米，原长方体的体积是多少立方厘米？解题思路 由题意可知，表面积减少14

5、0平方厘米，这140平方厘米就是截去高为（4+3）厘米、底面为正方形的长方体的侧面积。由侧面积=底面积×高，可求出正方体的底面周长，由此，可求出正方体的棱长，从来求出原长方体的体积。 解：140÷（4+3）=20（厘米）正方体底面周长 20÷4=5（厘米) 正方体棱长 5×5×（5+4+3）=300(立方厘米) 答：原长方体的体积是300立方厘米。巩固训练31、 一个正方体的高增加3厘米，得到的长方体的表面积比原来正方体的表面积增加了60平方厘米，求原正方体的体积是多少？【例4】如图，在一个棱长为4厘米的正方体中，沿着上下方向，前后方向，左右方

6、向挖穿，各挖出一个小长方体A,B,C.剩下部分的体积是多少立方厘米？解题思路：由于剩下的部分是不规则的形体，很难直接求出体积，我们可以换个角度考虑，先求出挖出部分的体积，再从正方体的体积里减去挖出部分的体积，从而得到剩下部分的体积。解：A和B共挖出的体积：1×4×2×2=16(立方厘米)， 挖出时C与A、B各有2个体积是1立方厘米的小正方体交叉重 复，只挖出：1×4×2-2×2=4， 一共挖出的体积：16+4=4（立方厘米） 剩下部分的体积：4×4×4-20=44（立方厘米）答：剩下部分的体积是44立方厘米。巩固训

7、练41、 有一个长5厘米，宽4厘米，高3厘米的木块，在每个面的中心位置都有一个直穿对面的洞，洞口是边长为1厘米的正方形，求出这个长方体木块的体积和表面积分别是多少？2、有一个长10厘米，宽8厘米，高6厘米的长方体木块，在左右两个面的中心位置挖出了一个直穿对面的洞口，洞口是边长为1分米的正方形。这个木块的体积和表面积分别是多少？【例5】把两块棱长分别为6分米和8分米的正方体铁块，熔铸成一块长方体铁块，它的横截面是边长为4分米的正方形，这个长方体铁块长多少分米？解题思路：在铁块熔铸的过程中，铁块的形状，表面积等发生了改变，但铁块的总体积保持不变，因此我们可以先求出原来两块铁块体积之和，即6

8、5;6×6+8×8×8×8=728（立方分米），这也是熔铸后长方体铁块的体积，要求出他的长，只要用体积除以横截面积即可。解：6×6×6+8×8×8×8÷(4×4)=45.5(分米）答：这个长方体铁块长45.5分米。巩固训练51、 把一个棱长10分米的正方体铁块熔铸成一个横截面是25平方分米的长方体铁块，这个铁块的长是多少？2、将150方水倒入一个长10米，宽8米，深1.5米的水池中，水池中水深多少米？3、 有甲乙两个玻璃容器，甲容器长8分米，宽6分米，里面装满5分米高的水，乙容器的长是

9、12分米，宽是5分米，高是10分米，将甲容器中的水倒入乙容器中，水面距离容器口多少分米？【例6】有384立方厘米的水倒入甲、乙两个长方体玻璃容器中，已知甲长方体玻璃容器的长是10厘米，宽是8厘米，高是6厘米，乙容器的长是8厘米，宽是6厘米，高是5厘米，要使两个容器中的水面同样高，这个高是多少厘米？解题思路：题中告诉我们两个容器，可以分别求出两个容器的底面积，因为两个容积的水面同样高，我们可以将两个容器看做一个整体，看做一个容器，这个容器的底面积就是甲、乙两个容器底面积之和。用水的体积除以两个容器底面积之和，就是两个容器中水得高度。解：甲容器底面积：10×8=80（平方厘米） 乙容器底

10、面积=8×6=48（平方厘米） 两个容器底面积之和：80+48=128（平方厘米） 两容器中水面高度：384÷128=（3厘米）答：这两个容器中水面高是3厘米。巩固训练61、 甲长方体容器厂8厘米，宽5厘米，高7厘米，乙长方体容器长10厘米，宽6厘米，高8厘米。现在甲容器空着，乙容器中水深6厘米，把乙容器中的一部分水倒入甲容器中，使两个容器中水面一样高，这时两个容器中水深多少厘米？2、甲、乙两个棱长分别为8厘米和6厘米的正方体水箱，其中甲水箱内水深3厘米，乙水箱内水深2厘米。现将126毫升水倒入两个水箱，使得两水箱内水深相等，求两个水箱内水面各上升多少厘米？课后强化训练1、

11、 一个长方体底面是正方形，高12厘米，侧面展开正好是一个正方形。求出这个长方体的体积。2、如图，将一个长方体平均截成3段，每段长2米，表面积增加了16平方米，求原长方体的体积是多少立方米？3、 一段钢材厂15分米，横截面面积是1.2平方分米。如果把它煅烧成一根横截面面积是0.2平方分米的长方体钢筋，这根钢筋的长是多少分米？4、 有一个长方体水箱，从里面量，长40厘米，宽27厘米，深35厘米，箱内水深20厘米，把一个棱长为12厘米的正方体铁块浸入水中，现在水面高多少厘米？5、 一个边长为2厘米的正方体体积增加208立方厘米后，仍是正方体，则边长增加了多少厘米？6、 一个长方体的底面，左面和前面的面积分别是12平方厘米，8平方厘米和6平方厘米。那么它的体积是多少？7、一个5×5×5的立方体，沿上下方向开有1×1×5的孔，沿左右方向开有2×1×5的孔，沿前后方向开有3×1×5的孔，那么剩余部分的体积是多少？8、 有一个长方形铁皮，长40厘米，宽30厘米。在这块铁皮的左、右两角各剪下一个边长为10厘米的小正方形，然后焊接在下面，再通过折叠、焊接成一个无盖的长方体盒子。求这个盒子的容积是多少？9、有一个长方体，它的底是一个正方形，它的表面积是190平