分析正弦交流电路的相量法

1、正弦交流电路的功率、相量法一、正弦交流电路的功率一、瞬时功率二端网络吸收的瞬时功率p =ui = J2U sin国t站21 sincct =UI Cos® - coS2豹t + ® 卩3.54其波形如图3.44 b所示。在一个周期里，有两段时间p 0， p . 0。这说明二端网络与外电路往返交换能量，这是由于二端网络中含有储能元件的缘故。iUP图3.44二端网络的瞬时功率二、有功功率、无功功率和视在功率1、有功功率和功率因数将式3.54 代入式3.18 ，可得有功功率p =1 ui Cos® -cosgtdt =UI cos® =UIh3.55式中=CO

2、S ：称为二端网络的功率因数。由于能量守恒，所以二端网络吸收的有功功率等于各局部吸收的有功功率的和。2、无功功率无功功率定义为Q=Ulsi n® 3.56对于电感性二端网络，：0, Q 0 ,二端网络接受无功功率；对于电容性二端网络,-0，Q 0，二端网络发出无功功率。在既有电感又有电容的二端网络中，其无功功率应等于两者的代数和，即Q = QL QC一般来说，二端网络吸收的无功功率等于各局部吸收的无功功率的代数和。3、视在功率视在功率定义为S =UI 3.57其SI主单位为伏安VA ，工程上也常用千伏安KVA 。由于电机和变压器的容 量是由它们的额定电压和额定电流来决定的，因此可以用

3、视在功率来表示它们的容量。视在功率、有功功率与无功功率间，满足以下关系式图3.45功率三角形S p；p2 Q2tan = cos=p(3.58)(3.59)(3.60)正好构成一个直角三角形如图3.45所示，称为功率三角形。例3.25试求图3.46所示电路的有功功率、无功功率和视在功率，其中尺=2OJR2 =1OJC =2mF,L =0.1H ,u =50 2sin100tV。22?Mt图 3.46 例 3.25解:jXc(R2+jXl )Rl ' jXcR2 jX L-j=20 -j310j100 0.1100 2 10310j100 0.1100 2 10= 228 -15.26

4、门500Z 22.8 -15.262.19 15.26P =UI cos =50 2.19cos -15.26=105.64 WQ 二Ul sin =50 2.19sin -15.26=-28.82 VarS =UI =50 2.19 =109.5 VA例3.26 图3.47所示电路可用于测量线圈的参数R和L。已测得电压表、电流表和功率表的读数分别为 100V、2A和120W，电源的频率为 50Hz，试求R和L。rvwwxsh耳-图 3.47 例 3.26解:PRi12022=30门线圈的阻抗模100=50'.1又有XL = J|z|2 _r2 = J502 _302 =400所以 L

5、 = 40=0.127H三、复功率为了能够用相量来计算电路的功率，特引入复功率。在端口电压相量、电流相量分别 为的二端网络中，其复功率定义为：S =ui 3.61式中= I. 一“是电流相量I的共轭复数。复功率的 Si主单位为伏安VA 。复功率S还可以表示为S 二Ul =u. -入I. 一日二UI.九 7 二UI. 二S 二Ul cos jUI sin 二 P jQ3.62可见，复功率这个复数的模是网络的视在功率，它的辐角是电压与电流的相位差，它的实部为有功功率，它的虚部为无功功率。可以得到，电阻元件的复功率为S=UIZO° = UI =i2r=u2g电感元件的复功率为 2S =UI

6、N90°= jUI = jI 2Xl电容元件的复功率为S =UIN _90°= -jUI =-jl 2Xc在整个电路中，复功率是守恒的，即一些支路发出的复功率一定等于其余支路吸收的复功率。 由复功率守恒，也必然得到有功功率和无功功率是守恒的。例 3.27 在图 3.48 所示电路中， R =40i SXl =307,R2 =60，Xc =60 ，电源电压US =2200 V。试求各支路的电流及复功率。图 3.48 例 3.27解：1支路的电流及复功率为Il =UsR +jX：220 040 j30=44 36.9 AS=USI( =220 04"-369=774

7、j581 VA2支路的电流及复功率为SR2 - jXc220 060 - j60= 2.59 45 AS=U；I； =220 02.59 - 45 =570 - 45 =403j403VA电源支路的电流及复功率为|1 = l 1)2 =4.4八36.9 2.59 - 45 =5.42 - 8.61 AS =UST =220 05.42 8.61 -1192 8.61 =1179 j178 VA四、功率因数的提高在正弦交流电路中，由于有功功率P =UI cos® = Seos®因此，当负载的功率因数 cos ：太低时，电路中电源设备的额定容量就不能充分利用。P此外，由于电流I

8、 =，所以当传输的功率、 电压一定时，负载的功率因数越低，U cos®那么输电线路的电流越大，所引起的线路能量损耗和电压降落越大，影响负载的正常工作。提高电路的功率因数， 就能充分利用电源设备的容量，就能减少输电的电能损耗，改善供电的电压质量。一般负载都是电感性的， 对于这样的负载，常用电容器与负载并联来提高电路的功率因 数。可用RL串联表示感性负载，如图 3.49a所示，画出电路的相量图如图 3.49 b所 示。在未并电容 C时，线路电流等于负载电流I1，此时功率因数为 COS；并联电容后，线路电流I = I 1 I2，功率因数为COS。因为；：；，所以COS cos，从而把线路的

9、功率因数提高。(a)(b)图3.49功率因数的提高如果要将有功功率为 P ,端电压为U的负载电路的功率因数由 COS提高到COS X ,那么 所应并联的电容C，可计算如下：PP11 =， I =U cos®U cos护"P丨2 =li sin ® - I sin W = jytan® tan® J12 = coCUXc代入上式得PcoCU = tan ® -tan ® U所以PC =r tan 申- tan 申"«U3.63二、正弦交流电路的相量法正弦交流电路的分析计算与直流电路的分析计算一样，也是应用基

10、尔霍夫定律和欧姆定律来进行。在正弦交流电路中，基尔霍夫定律和欧姆定律的相量形式与直流电路中相应的表 达式相似，因而同样可以推出类似于直流电路的分析计算方法。只要把电路中无源元件用阻抗或导纳表示，正弦量用相量表示，那么分析计算直流电路的方法都可以推广到正弦交流电 路，这样的分析计算方法，称为相量法。例3. 21在图3.40 (a)所示电路中， R= 81 , XC =1O1 ,12、I3，并绘出相量图。u二220 2 sin t 60 V，试求各支路电流相量h解Z1 = R jX L =8 j6 =10 36.9Z2 二-jXC 二-j10 =10 -90 11I1220 6010 36.9=2

11、2 23.1 A220 6010-90-22 150 AI = I1 I2 =22 23.122 150= 20.2 j8.6 19.1j11=1.1j19.6 =19.7 86.8 A(a)hci(b)图3.40 例3.21图相量图如图3.40 (b)所示。例 3.22 在图 3.41 ( a)所示电路中，u=1002s in tV，尺=20，4aaaR2601，试求各支路电流相量 I1、I2、I3 ，并绘出相量图。oC=R-i = 201 1二 R2 - jXc =60 - j60 =60 2-45 11Z3二 jXL 二 j60 =60 90 11Z ab乙Z3乙Z360 2-4560

12、90 ,0 2 45 =60 j6260-j60 j60=Z1 Zab =20 60 j60 =80j60 = 100 36.9 11IiUH鵲T9 AI2乙:笃匚駕爲3" 53"(a)(b)图3.41例3.22图相量图如图3.41(b)所示。例 3.23 在 图 3.42 所 示 电 路 中， 已 知Usi =220 0 V, Us2 =220/ -20 V, X“ =20" , XL2 =10,R = 40"，试用节点电压法求各支路电流。解：Usi Us2 220 0220 - 20abZlZ2二号“0=213.8 - 22.8 V丄丄丄丄.丄丄乙 Z2 Z3j20 j10 40I1U S1 " U ab220 0 -213.8/ -22.8= 4.31 -15.2 AU S2 - U ab220/-20 -213.8/ -22.8j10= 1.22/ -51 A，Uab213.8 -22.8= 5.35 -22.8 A图3.42例3.23图在应用相量法时，除用相量解析式计算外，还可