西南交通大学《工程数学Ⅰ》离线作业

1、2013年第1学期课程离线作业课程名称：工程数学I班级（全称）:土木工程（工民建） 2013-16班（专本）姓名：陈士生学号： 13821935西南交通大学网络教育学院 福建宁德学习中心工程数学I第1次离线作业三、主观题（共15道小题）29.求5元排列52143的逆序数。解答：在排列52143中，排在5之后，并小于5的数有4个；排在2之后，并小于2的 数有1个；排在1之后，并小于1的数有0个；排在4之后，并小于4的数有1 个。所以1（52143）=4+1+0+1 = 630.计算行列式2 1 1 1112 11D 112 11112解答：容易发现D的特点是：每列（行）元素之和都等于 6,那么，

2、把二、三、四行同时加 到第一行，并提出第一行的公因子 6,便得到66661 11112111 211D=611211 12111121 112由于上式右端行列式第一行的元素都等于 1,那么让二、三、四行都减去第一行得11 1 1 11010 0£)=6 =60010000 11234234a3A1b31.求行列式4123中元素a和b的代数余子式。堆严（-】产= 8 + 9+8-48-12-l = -36= -(6 + 6 + 32-36-4-8) =-H)= 4=flii4i +吗汕彳+务比行列式展开方法32.计算行列式212111311113二如切+知血+知去6 6 6 61111

3、12 1112 112 13 1一 02 13 112 1312 13便得到6,D解答：容易发现D的特点是：每列元素之和都等于 6,那么，把二、三、四行同时加到第一 行，并提出第一行的公因子由于上式右端行列式第一行的元素都等于1,那么让二、三、四列都减去第一列，第一行就出现了三个零元素，即求：'1121Uc -c*D=60- 1撇展开62 % 2少(x + 46 + x + pZ 2叭v-l + z+«卯+ 5 ；33.设解答：2x =羞+ 4=46 + x+yy 二 102z =T+g + 貯z =42n =34.l£ -5a =5fl 叫3丿，求制解答：Ml=

4、11 1 2 335.求矩阵X使之满足仃0 3p n1 3 1x=0 1<o i i丿J 0;otYi n广2-1p03 JU0 (P 1 -1-12-2420°,-12AX = C , X二屮C .在方程两端回期謙J超求出的逆矩阵，得*Q 2 0）0 -1A =2 2 1,B =-1 336.解矩阵方程 AX=B，其中U 1 1JU -J解答：首先计算出A=,所以A是可逆矩阵。对矩阵（A, B）作初等行变换4 2 00-1<10 04（心二 2 2 1-1 3 工- 0 10-24biii呗2 1 1 I 一 Ja 0 04沏呦 i t） 10-24<0 0 1-

5、5 13 丿所以/4-9X= AXB= -24<-5 13 J所以秩（A） = 4。3设向量组心,禺线性无关，记煜二碍+隔*2 比玄+疣3 *爲）证日月向里7.组甩氐民线性无关.4解答:设数直“上*島使他01 +他禺+為鸟=0将隔,旳，毎代入得妬（斶+禺）+岛（碣+«3） +鸟（碣+<）=0,汽了利用向量组弘禺耳的线性无关的性质，将上式改写两盘 14-屉）疇 +（孙 + k2 ）a2 4- （k2 + 為）省=6由于色线性无关，因而荷七1 += 0讥+七2- 0k2 +i3 - 0这个三元一谀芳程组只有唯一的解屁= = = qaA，A>A线性无关38.求向量组丁1

6、145011 Qi1> 说=-3©厂3>2-6的規和一个极大无关绡.解答:解答:解答:4 1&丿e5 -10 -32 -6-3-43-3-44 1-3 -30 00 -40 >- 301解答:解答:141(?勺q Q 111-轨 0 0-410 0 0 0;阶梯矩阵的穗为所以向量组的穗等于孔由于阶梯矩阵中被化为零行的向量是為（注意 r3 r4）s故氓“喝，函是一个极大无关组。求解非齐次线性方程组孔-2x3 4- 3x3 - x4 = 1宅 - x2 + 5巧-3 = 42xj +xa +2也-2x4 = 3 解答：对增广矩阵施行初等行变换化成简单阶梯形矩阵解

7、答:解答:rl -2 3-1(-23-1rB =3 -15-34°5-40i迄 12-2b000巧00可见，R(A)= R=2,所以方程组有解口754- 50解答:解答:原肓程组的同解方程鋁为故方程组的通解为(V554ij15+ &+5100丄(疋i,為£ R )解答:解答:40.O) =(ljTl)r?偽=(列应期F.间 1 trurv 为何值时遇,禺,禺是正交向童组?解答:若碍，喝正交，则gq=o,即i+f+i = o, £ =亠2所以% - (1.-2门卩时智耳正交的.设吆他是正交向量组，则4二0且函,驹二0“即1 + y +v= 0-1-+ v=

8、Q解得M = Q,v = 1.所以喝=(一 10时，%喝，碼是正交向曇41.设p 6 0A= -3 -5 0 C3 一6 1丿，求A的特征值和特征向量。解答：4-込60If(A) = A-E= -3-5-A0=一(2+兄)(1-卯-3-6ir|由/(兄)=0得卫的特征值为肴二-2,兄厂金=1.其中1是:A的二重特征值.当兄】=一2时，脛赵方程组(A + 2F)x=0,(660>P2 -1僅+ 2閃二-3-30和诗打宝酸 、11 0-6£0 0：O>O.A=(-1 1 1.对应于特征值-2的特征向莖全体次/ %I 0无 H 0 I 0当=3= 1时，瞬磁方程组3-司黑=0，

9、/ 360：2°-3 -60000严 -6b0oj0 1产1十2 1肝?特征（占_毋=；氏1空十爲护+，2 H 0 ；-矩阵卫有三个戡性无关的特征向g='-l 1 1厂 码=0 0 1'?,#3 = 1-2 1 0仁故相擁变换拒阵选取为广10-，P 2 0 0刃旳 0昇二1 0 1,PAP=A =0 1 0,1 1 0 ,i o o 142.求一个正交矩阵 P,将对称矩阵511 -P10-11A 1-10 1111 。丿化为对角矩阵。解答：于认）=/一麵|=（兄一护（兄+为，卫的特征值为入二砥二爲=1,几=3-对特征值易二爲二爲二1,解齐次方程组僅-e）x = &am

10、p;得基础解系=! 1 o o =(i o 1 oF用施密特正突化肓法把监，為,長.；正交化A = £ = U 10 亿 压兰点-S丘F“2 oi<A A> 2属=昙_ 队疋心州-葫、=丄（1 1 1 3 4 QJ 1 <A3将煜，岛，屁单位化得正交规范向量组0*i= 612©A-4腿姦敢右程（*辺兀=得对应于儿=7的特征向量空二亿一1,T,将空单位化得必二匕1 -1 -1 H2O1母是雷中的一"基底，以正交规范基卫“町送申为列向置构成的矩阵尸就是所要的正交距阵，“2V22O O-岔6朽6巧6朽一- 遁6V6676TQ43.已知二次型j二f彳+卅

11、+扇+ 2硒 + 2柄 -2xax3，问：满足什么条件时，二次型f是正定的； 满足什么条件时，二次型 f是负定的。 解答：二次型f的矩阵为1 t -1J " <计算A的各阶主子式得t 11鶴=| 车 1 t -1 =(; + l)a(z-2)1 -1 t Si >02-l> 0, (f 十l(f 一2) > 0得i > 2 -故f ：> 2时了是正定二次型.当(一1)认>02-1>0, -(£+l/(Z-2)>0,由该孫或工程数学I第2次离线作业三、主观题（共14道小题）30. 判断（1 ）：-.-：-;（ 2） 111

12、 ；一是否是五阶行列式 D5中的项。解答：（1）是；（2）不是；31./W =设解答:行列式特点是：每行元素之和都等于 a+b+c+x，那么，把二、三、四列同时加到第一列，并提出第一列的公因子 a+b+c+x，便得到a +.& +c -hx1=(0 + 占 + +暑)、四列-a依次减去第一列的0-a、-b、-c倍得D二 +3 4-c + x)x-a=(a+3+c + 才)伝c-b解答:32.计算四阶行列式解答:D的第一行元素的代数余子式依次为解答:解答:1 3 2=(-iy+2 2 0 2=010I30 = -120由行列式的定义计算得Z) = lxl2+lx0+lx4+lxi；-12

13、：j = 433.用克莱姆法则解方程组2工+- 5x5 + x4 = 8Xi - 3xs - 6x4 = 92+ 2兀4 5內 + 4孟2 -7x3 + 6x+ = 0g11-38912 =02_52= -27,14062-3-5-1-7-5=27427Z71 2 1?=2（1 2 1）=2 4 23<3 6 3,设同为四阶行列式.35.解答：4-<00-1A= 14-136.用初等行变换把矩阵-42-n.0一1丿化为阶梯形矩阵和简单阶梯形矩阵。21011-324-50-1-71-626=27 0 a 331128-519-30-6190-5'D=817D-j =-1081

14、-52-12£0-5-12047610-76解答:fl 4-10><1 4 -1 OA-I 0 -1 -1-blo 0 1 -1J(1 4 -1010 0-1-10 0 0 _2丿上面最后一个矩阵就是阶梯形矩阵,对这个阶梯形矩阵再作初等行变换,简单阶梯形矩阵，即14-10 fl 4 -1 0> 虫 T 0 0 -1 -1 r-p- ° 0 1 10 0 0 _2丿(-护 I。0 0 1；37.<1 4 0 n H 4込0 o 11匸空0 00 0 1片'Io 0就可以得到0 0>1 00 1丿讨论方程组xl +2花 +3巧=1空 2x】

15、+2x2 +x3 = 2 +4乃+4心=几的可解性。解答：増广矩阵">1:2? i= 2212J44：<1231、U20J 23j4231、0亠250f Xj + 2心 + 3x; -= 1j 2Xj + 2心 + © = 2 43 +4r2 +4心=J + 2心 + 3x- I-2心-5x. = 0*-2x3 -5x3 = A-3(x1 + 2x2 + 3Xj = 1-2i.-5ij = 0Di-3ko00I陀”2, *兰时i此时方程无解：当虫二3时！曲X）二氏凤瓦h方程有解。23当戈"3时，0250<000Q_?10250300<1C-

16、2P01%000%+0£u J表垢(V3926103禺=7- 说=11U的线性相关性.讨论向量组38.解答:月二191011191011124-8-12-8-12-8-16-24A的阶梯形有零行，所以向量组线性相关。39.求方程组盂I +龙2十代十蛊4 = 02局+ 3也+兀空一 3x4 = 0兀+2x3 +6x4 二 04野 + 5x2 + 3x2 一佥二 0的一个基础解系并求其通解。解答:解答:解答:对方程组的系数矩阵作初等行变换化成简单阶梯形矩阵:111 )1111、fl111026 1231-3017-501_-501-1- 5102610-11500000000537170

17、0000>得同解方程组*将同解方程组改写成X二百11+対J 050智杠肋其中it =- 2、11乙=50丄3 >就是得肓程组的通解原方程组的一个基础解系40.a、b为何值时，线性方程组解答:解答:彳心+ 2吒= 4上1 +巧 +ix5 = 4有唯一解，无解或有无穷多解？在有无穷多解时，求其通解?解答:1 a 11 2a 1 T 9由克莱綽法则I I 6 当0工0,冃卩戍工0且0 = 1时，方程组肓唯一解°(2)当肚二0时卩q 01审.TO 1 扌广101歹£ 10140 0 0 10 1 1 1J】B勺卫1 31 1丿pool,可见，R(A) = 2 , RE)

18、 = 3 ,此时方程组无解.(3)当心1时q a i歹rl 012 >B 11 40 1 0 2,11140001 2dr 丿当a-时，&占“2至此时方程组无解,当空二丄时，R(A) - R(B) = 2,方程组有无穷多解* 2Xj + x3 = 21个同解方程组为,x2 = 2*通解为兀二上0+2/3 =码< 1 J6(keR)t41.把向量组'P斶=1解答：<-P碍=0化为正交规范向量绸.卫>先得出正交向量组A.A-A*再将AAA单位他丁101:T11-1232匕丿冉=喝=3A = o所也 A = ii i o-f> A =-(i -i 2p、

19、-1<2；2匚企=i-i 1 br是3=2i3正交向量组。计算可得|A卜疝瓦=血3I闯V把A，A. A单位化得正交规范向量组=(1 I羽42.* 44 -3C3解答：0>Ci b，求A的特征值和特征向量。00l_a二一 (2+ 2)(1"4-;I6-5-A-6由/(>!) = 0得乂的特征值润儿=-2, 乂厂金=1“其中1是月时二重特 征值.当忌二时，脛赵方程组(A + 2E)x=0,r 66Q( 2-1A(月 + 2£)二-3-301 101-3 -6卫 0°丿役棊型解fgl 1讥时应于特征值的特征向量全庫次；比軌卜工° ； 口当嘉=

20、砥=1时，脛磁方程组(A-盼"(3 6 0>(12 0)W-5) =-3 一6 00 0 0-5 oj(0 o oj恿星JT鯉杀4" 0， = -2 1 G J特征向量为；妬刊+上2巧|上+疋鼻H 0 ； 0矩阵卫有三个議性无关的持征向量邸1 1讥 0产0 1-?,=-2 1 0仁 故相锻变换矩阵选取为J1 0=2 0 G1 0 1,PAP = A =0 1 0,1 1 0 ,i o oi43.用正交变换把二次型''1 ' _ 1 ' .一一化为标准型。解答：二次型的矩阵f 22- P25-4 . /仇)=|川一兄国=(兄一1)&quo

21、t;兄一10)日-45)所特征值为；二1,人二1A = = 1时对应的恃征向量& = (-2, 1, 0/ ,為=(2, 0” l)r正交化得A =（-2.1. 0）当寓=10时，对应的特征向量沖再=般1-2 2）将久耳吗单位化得P，= = （ 2 1 0#* '2 4 5*V53J5所求的正交距阵湘P （Pi,场,旳）'753142厉3530523 ；221在正交变换兀工彷下；二袂型的标准型为/ =71 +拆 +10 屛工程数学I第3次离线作业三、主观题（共15道小题）27.= 1x2x24-1x3x1+1x1x1-1x3x1-1x1x2-1x2x1 = 1解答:28

22、.举例说明行列式性质，设=2解答:29.D= 01 11 11 1 11 1 11 i 1坯死A0 6 9=6 f 城卞 2匕）=-2 0-1=2 3Z?=0 2 31 1 21 1 22 2 21 1 2计算n+1阶行列式0 000a20-a2 VH 00000000-11-冬解答:把D的第一行加到第二行,1al00 o0ij1心0 00D = 0iI一 1r1-勺1V旳* 00IJ000IJ000* A 1-1再将新的第二行加到第三行上,000000001-耳-11 一叫如此继续直到将所得新的第n行加到第n+1行上，这样就得到0-000 -00耳D 001 ctK000 Q - 0130.

23、计算四阶行列式10 0 32 2 0 0 D =0 0 0 13 3 3 0解答：将行列式D按第三行展开得2) = 1 41 o o= (-1) 2 2 0 二-63 3 3= 05可+侏乃+冷=031. a取何值时齐次线性方程组国+乃+込二°有非零解。解答：由定理，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式d=q>a 11D= 1 a 1=（盘一1依 + 2）11 a由刀得力=1,一2<.当df # 1且盘疋2时！方程组只有零解X = 0.当"1或a = -2BJS方程组哥虞麗口心不难验证，戏=1时，兀=2,可=!，心=一1是方程组的一个韭魏h心a 2

24、时，= 1, x2 = L x3 = 1 是一个非零解 * a32.矩阵223、1丿的转置矩阵解答:32解答:1丿 0 03 133.设11丿，判断A是否可逆？若可逆，求出解答:解答:解答:解答:1由于|4|= 100 031 = 2奪0,所以川是可逆的，再计算得心1 1解答:解答:34)=0二-00310 9Ai=UAs -所以-1-1(21,=-1丄护二_Ml 2-134.用初等行变换求矩阵-1A=1丿的逆矩阵解答:/LD1100(&£)= 120010<121001><10Cl1-n11 2 00-138.38.于是38.38.同样道理，由算式 匕丄|

25、 .二.二-"可知，若对矩阵（A, B）施行初等行变©(V曲=1a2 =2335.讨论向量组?3?©换，当把A变为E时，B就变为-的线性相关性。解答:设育数klrk2rk3使心 +卷禺+為碍二0 -将斶，禺心 的坐标代入得4+ 稔'1+&2+辰3尙+ 2他+ 3k30 ,3由十5& + 6曷0这是一卜二兀二tfc线性方程组】屁=1冶二1馬=-1是它的一个薛，即斶+说-码=1这恙明存在不全为零的数使耐砌十居偽+屉斶;=0,所以斶4,羯线性相关f讨论向量组斶=1,a2 -2碣-3的线性相关性36.d<11n向量组构成的袒阵/-025对矩阵

26、施行初等行变换J3<1 1rp1nq 1 r=0 2 5025Iw0 2 5J 3 E2卫0 0;解答：因为应（卫）二2 ,所以氏（吆禺q） = 2,因此向堡组线性相关.37.求解齐次方程组aPX + 花 一 2码 + x4 = 02 3lj JT? X弓 + 7i 0c4xj -隔 + 2z3 - 2x4 = 03xj +"2 一 9可 +7x4 = 0解答：对方程组的系数矩阵作初等行变换化成简单阶梯形矩阵<1- 2V(1I-21、1-2” ,q0-1小2一1一 110-33-10-33-101-104一62-2.-»_0-55-30001000136一 9&

27、lt;03一 34j000丿000；k =巧V即得 1可=3 4令可二上得通解=k1（上E农），个勒隨曉为1眄=11k =0JlA4>©已知四元线性方程组38.Ax = b的三于解是且R（A）= 3（求方程組的通解.解答:"=由+的2倂“1 1 1 是导出方程组乂盂=0的解.由于找=4,母-凰（旧二1,所以去二0的豪砒燃麵电一个解向量构成"因此，乃二门1 1 1产就是川x=0的基础解系.育程组的通解是”<-1 1A= -4 339.设I 1°解答：302丿，求a的特征值和特征向量。00 =(2-(1-2-；I-1-2 1f(A) = A-E= -43-21 0由J - 0得A的特征值为見二右lS = /13 = 1 H其中1是川的二重特征值（了（乂）=0的二重根人当入兰2时，解荻育程组（A-2E）x = 0,(-313p 0Q(A - 2K)=-4 10匆知4?虫廃、一.0 10Z1 1°0 00丿i=