变焦距物镜高斯光学参数的求解

1、第 23卷第 4期 北 京 理 工 大 学 学 报V o l . 23 N o. 4 文章编号 :100120645(2003 0420424204变焦距物镜高斯光学参数的求解李林 , 王涌天 , 张丽琴 , 黄一帆(北京理工大学 信息科学技术学院光电工程系 , 北京 100081摘要 :针对变焦距物镜设计中高斯光学参数求解的难点 , 利用几何光学和乘子罚函数法对单变倍组与单补偿组 、 双组连动和多组元全动型等变焦距系统的高斯光学参数求解进行了研究 , 给出了系统高斯光学参数的求解方法 给出的计算方法不仅可用于求解多组元全动型系统的高斯光学参数 , 对简单系统的变焦参数求解也有效 关键词 :变

2、焦距系统 ; 高斯光学参数 ; 变倍组 ; 补偿组 ; 罚函数 中图分类号 :O 435 文献标识码 :AAn Approach on the eters, G 2tian , ZHAN G L i 2qin , HUAN G Y i 2fan (D epartm ent of tical Engineering , Schoo l of Info r m ati on Sciente and T echno logy , Beijing Institute ofT echno logy , Beijing 100081, Ch ina Abstract :B ased on geom etr

3、ical op tics and dam p ed 2least 2squares op ti m izati on and app lying penalty functi on s , m ethods of deter m in ing the Gau ssian param eters are studied fo r differen t types of zoom len ses , including tho se w ith one zoom ing group and one com p en sating group , w ith tw o zoom ing group

4、s m oving in connecti on , and w ith m u lti p le m oving group s . T he m ethod p ropo sed can no t on ly be u sed fo r com p lex zoom system s w ith m u lti p le m oving group s , bu t also fo r si m p ler typ es of zoom len ses .Key words :zoom len s ; Gau ssian p aram eters ; zoom ing group ; co

5、m pen sating group ; p enaltyfuncti on收稿日期 :20030327基金项目 :国家自然科学基金资助项目 (69978001 作者简介 :李林 (1957- , 男 , 教授 , 博士生导师 , E 2m ail :li _lin 263. net 变焦距系统是一种焦距可以连续变化而像面保持稳定并且在变焦过程中像质保持良好的系统 根 据变焦补偿方式的不同 , 变焦距系统可分为机械补 偿法变焦距系统和光学补偿法变焦距系统 机械补 偿法就是将补偿组作少量移动以补偿像面位移 , 补 偿透镜组的移动与变倍组的移动方向不同且不等 速 光学补偿法是用几组透镜作变倍和补偿

6、时 , 各透 镜组的移动同向等速 由于光学补偿法变焦系统各透镜组必须移动到某些特殊的位置才能得到稳定清 晰的像面 , 其焦距值是几个离散值 , 在使用中受到了 许多限制 , 而机构补偿法变焦距系统的焦距能够连 续的改变 , 因而得到了迅速发展和广泛的应用 在变焦距物镜的设计中 , 高斯光学参数的求解 直接影响最后的成像质量 在以往的研究中 , 利用高 斯括号和连分数法已经给出了光学补偿法全补偿点 分布与系统高斯参数之间的关系 13; 对机械补偿 法 , 以组元的倍率为中间参数对四组元单组运动和 双组联动以及换根作了研究 4对于变焦组元 (包括 变倍组元和补偿组元 较少的系统 , 用解一元或者多

7、 元非线性方程组确定高斯光学参数的方法是可行 的 而当变焦组元较多时 , 直接求解法既复杂又不具 普遍性 作者系统地对单变倍组与单补偿组 、 双组连 动以及多组元全动型变焦距系统的高斯光学参数求解进行了研究 , 给出了高斯光学参数求解的方法 1变焦距物镜高斯光学参数的求解下面讨论单变倍组和单补偿组 、 双组连动和多 组元全动型变焦距系统的高斯参数求解方法 , 并给 出编程得到的设计实例 3种变焦距系统示意图如 图 1所示 图 1变焦距光学系统的类型Fig . 1Types of zoom syste m s1 前固定组 ; 2, 2 变倍组 ; 3, 3 补偿组 ; 4 后固定组4233 2

8、1(c 多组元全动变焦距系统(b 双组连动变焦距系统 12 432(a 单变倍组单补偿组变焦距系统 1243以下公式中各参数的含义如下 :f i 为各个组元 的焦距 ; i 3; d 的初始间隔 ; d 3s ij 隔 ; f s , f 为系统的初始焦距和变倍比为 M 时的焦 距 ; x 为变倍组的移动距离 ; y 为当变倍组移动距离x 时补偿组移动的相应距离 111单变倍组 、 单补偿组变焦距系统单变倍组 、 单补偿组变焦距系统是只有一个变 倍组和一个补偿组的系统 (如图 1a 所示 其高斯光 学参数的求解 , 可用以下步骤和公式求得 : 求变倍组的初始放大倍率 :2=f 2+f 1-d

9、s12; 求补偿组的初始放大倍率 :3=f 3+f 2(1-2 -d s23; 求相邻两挡焦距的变倍比 :M =f f s ; 求某个变焦位置系统总焦距为 f 时变倍组 的倍率 :32=-D -2(f 2+f 3 D -2(f 2+f 3 2-f 2+(f 2+f 3B 1 22f 2+B,式 中 B =M 23; D =2(f 2+f 3 -f 22+2-f 33+3; 3332;:x =f 22-32; 求补偿组的位移 :y =f 3(33-3 ; 求前固定组与变倍组之间的间隔 :d 3s12=d s12+x ; 求变倍组与补偿组之间的间隔 :d 3s23=d s23-x +y 重复以上步

10、骤 , 就可以计算出各个焦距位置变 倍组与补偿组的移动距离和组元之间的间隔 , 从而设计出凸轮曲线 112双组连动变焦距系统双组连动变焦距系统是指有两个变倍组和一个 补偿组的系统 , 其中两个变倍组的运动同向等速 (图 1b 以下将推导给定某些初始条件的情况下 , 变倍 组和补偿组的移动距离以及组元之间的间隔 由变焦距系统近轴微分方程可得 4f 22+2+f 33+3+f 44+4+ =0, (1 式中 =-f 2s2+s2-f 3s3+s3-f 4s4+s4 由变倍组与补偿组的移动距离相同可得f 22-=f 4(s4-4 (2 由变倍比公式 M =234 (s2s3s4 可得补 偿组的放大倍

11、率524第 4期 李林等 :变焦距物镜高斯光学参数的求解3=BM (24 , B =s2s3s4(3 将式 (3 代入式 (1 化简得f 22 +2+f 3BM+2+f 44+4+ =0. (4 由式 (2 求得4=-f 2+ 1f 42, 1=s4+f 4s2(5 将式 (5 代入式 (4 化简得22+2 1 2f 42+ 1 2f 4=0, (6式中 2=f 2+BM +f 4s2BM ; 3=-f 4BM +f 4 1+ 由式 (6 可求得 2, 由式 (3 可求得 3 变倍组与补偿组的移动距离为x =(4-s4 f 4,y =s2 -2s3f 3(7 各个组元间的间隔为d 12=d s

12、12+x , d 23=d s23-x +y ,d 34=d s34-y +x , d 45=d s45-x (8 重复以上步骤 , 可以得出对应于系统各个焦距 时 , 变倍组与补偿组的移动距离及组元之间的间隔 113多变倍组多补偿组变焦距系统 (多组元全动型 多组元全动型变焦距系统如图 1c 由于变焦组 元较多 , 使用直接法既复杂又不实用 , 因此需要研究 多组元全动型变焦距系统高斯光学参数求解的普遍 适用算法 11311多组全动型高斯光学设变焦距系统由 p 个组元组成 , 每个组元的焦距为 f 1, f 2, , f p , 高斯主面间隔为 d 1, d 2, , d p -1 (d 0

13、为物距 由近轴光学基本公式可以递推出近轴 光线在各组元上的孔径角和投射高 :u i +1=u i +i h i , h i +1=h i -d i u i +1从而可以得到后工作距和系统总 焦距的表达式 B =h p u p , f =h 1 u p 设系统中的变倍组元按照已知的连续光滑曲线 x j (t (j =1, 2, , l ; l 为变倍组元的个数 ; t 为导程 , t 0 t T 运动 为了实现一定的变倍比 , n 个补偿组 元相应移动的距离为 y 1(t , y 2(t , , y n (t 同时运 动曲线满足 : 为保证像面稳定应使B (y 1, y 2, , y n ; t

14、 =B 0; (9 为了实现在变焦过程中的连续变焦 , 系统的 总焦距f (y 1, y 2, , y n ; t =f 0+k 0(t -t 0 , (10 式中 f 0为系统变 焦 范 围 中 的 初 始 焦 距 ; k 0为 常数 同时为了凸轮曲线设计方便 , 每条曲线应尽量 平直 , 可用以下条件实现 :- j (t =y j (t 1+y 2j (t 3 2 , (11 式中 是一个指定的很小正数 ; j =1, 2, , n 已知系统参数后 , 若补偿组元的个数 n =2, 则 可以用牛顿法求解式 (9 (10 组成的二元非线性方 程组 ; 若 n >2, 为了得到式 (9

15、(10 (11 的唯一解 , 应 让 y 1(t , y 2(t , , y n (t ,m inj =1W j j (t , (12 W 2j 为权因子 , 表明各补偿曲线相对重要性或 调解曲线曲率的大小 这样 , 由式 (9 (10 (11 构成 了 n 元非线性最小二乘问题 , 即可用乘子罚函数法 求解 611312乘子罚函数法将导程的区间 t 0, T 均匀地分成 m 等份 , 设 t k 处的函数值 y j (t k 已知 , 求 t k +1处的值 y j (t k +1 其中 t k =t 0+k t , 1 k m , j =1, 2, , n 当步长 t 很小 时 , 式 (

16、11 中的微商用中间差商代替 , 代入式 (12 得 E m in =nj =1W 2j y j (t k - y j (t k -1 2 t 41+ y 2j (t k t 23,式中 y j (t k =y j (t k +1 -y j (t k 取初始 y j (t 0 =0, 并设2j =W 2j t 41+ y 2j (t k t 23;f (k j = y j (t k -1 , 则 E m in 可写为E m in =nj =12j y j (t k -f (k j 2(13 对式 (9 (10 左端在初始点 y 1(t k , y 2(t k , , y n (t k ; t

17、k 处作 T aylo r 展开到一阶项 , 得到 ni =1a i y i (t k =C 1, (14 ni =1b i y i (t k =D 1, (15 式中 a i =(5B 5y i k ; b i =(5f 5y i k ; C 1=B 0-B k -(5B 5t k t ; B k 和 f k 表示在初始点 y k 处的后工作624北 京 理 工 大 学 学 报 第 23卷 距和焦距 ; D 1=f 0-f k -(5f 5t k t +K 0k t 利用乘子罚函数法 , 可以得出式 (13 在式 (14 (15 约束下的二元线性最小二乘解 其过程如下 : 定义乘子罚函数(Y

18、 , , =E (Y , t k - lj =1j x j (Y , t k +2 lj =1x 2j (Y , t k , 式 中 =(1, 2, , l T ; Y =(y 1, y 2, , y n T ; >0 给定初始点 y (0j (j =1, 2, , l , 乘子向量的 初始估计 (1, 参数 , 允许误差 >0, 常数 a >1, (0, 1 , k =0; 以 y (k j 为初始点 , 解无约束问题 (Y , , , 得 y (k +1j ; 若 X (y k +1j <(其 中 X (y k +1j =x 1(y k +1j , , x l (y

19、 k +1j ,则停 , 得到近似解 y k +1; 否 则转 ; 若(k +1 X (k +1j =k j -y k j , j =1, 2, , l ; k =k +1, 转 得到每个补偿组元的离散点移 动 量 y 1(t , y 2(t , , y n (t 后 , 利用自由边界条件的三次样条插值法就可给出每个步长组元的连续移动量曲线 y j =y j (t , j =1, 2, , n 2结论在变焦距物镜的设计中高斯光学参数的求解直接影响最后的成像质量 作者系统地给出了变焦距系统设计中高斯光学参数求解的详细论述 , 重点阐 述了多组元变焦距系统高斯光学参数的求解方法 解决了以往确定高斯

20、光学参数中解一元或者多元非 线性方程组 , 单独设计和计算某种变焦方式的复杂 问题 , 提出了乘子罚函数法这种可以针对普遍性问 题确定高斯光学参数的方法 所讨论的方法不仅可 以用来求解多组元全动型系统的高斯光学参数 , 对 简单系统的变焦参数求解也是有效的 参考文献 :1 Bergstein L . General theo ry of op tically compensatedvarifocal system s J . J Op t Soc Am , 1958, 48(3 :154-171.2 Pw gis R J , Peck W G . F irst o rder design th

21、eo ry fo rlinearly compensated zoom s J . J Op t Soc , (T H . h 2of zoom system s J .cta , (8 :565-584.4陶纯勘 . 变焦距光学系统变焦方程 J . 科学通报 ,1977, 22(4, 5 :207-213.T ao Chunkan . Equati ons using in zoom system s J . Ch inese Science Bulletin , 1977, 22(4, 5 :207-213. (in Ch inese 5张以谟 . 应用光学 M . 北京 :机械工业出版社 , 1987.Zhang Y i m