圆的标准方程一般方程参数方程

1、17.6圆的方程(1教学目的:1、使学生掌握圆的标准方程的特点,能根据圆心、半径准确地写出圆的标准方程,能运用圆的标准方程正 确地求出其圆心和半径2、能根据不同的条件,利用待定系数法、定义法求圆的标准方程 3、能运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题一、复习引入:1、具有什么性质的点的轨迹是圆?(圆的定义:平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹 称为圆2、求曲线方程的一般步骤为:(1建立适当的坐标系,用有序实数对表示曲线上任意一点 M 的坐标; (2写出适合条件 P 的点 M 的集合; (可以省略,直接列出曲线方程 (3用坐标表示条件 P (M ,列出方程 0 , (=y x f ; (4化方程

2、 0 , (=y x f 为最简形式;(5证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点 (可以省略不写 , 如有特殊情况,可以适当 予以说明 二、讲解新课:1、已知圆心为 , (b a C ,半径为 r , 如何求的圆的方程? 运用上节课求曲线方程的方法, 从圆的定义出发, 正确地推导出:222 ( (r b y a x =-+- 这个方程叫做圆的标准方程2、圆的标准方程 :222 ( (r b y a x =-+-若圆心在坐标原点上,这时 0=b a ,则圆的方程就是 222r y x =+3、圆的标准方程的两个基本要素:圆心坐标和半径圆心和半径分别确定了圆的位置和大小,从而确定了圆,所以

3、,只要 r b a , , 三个量确定了且 r >0,圆 的方程就给定了。这就是说要确定圆的方程,必须具备三个独立的条件,确定 r b a , , ,可以根据条件,利用 待定系数法来解决三、讲解范例:例 1 求以 C(1,3为圆心,并且和直线 0743=-y x 相切的圆的方程 解:已知圆心坐标 C(1,3,故只要求出圆的半径,就能写出圆的标准方程。 因为圆 C 和直线 0743=-y x 相切,所以半径 r 就等于圆心 C 到这条直线的距离,根据点到直线的距离公式,得 5164(3|73413|22=-+- -=r 因此,所求的圆的方程是 25256 3( 1(22=-+-y x变式:

4、求以 C(1,3为圆心,且和直线 0643=-y x 截得的弦长为 8的圆的方程。(注 :在求圆的方程时,要注意运用圆的几何意义,使问题解决简化例 2已知圆的方程 222r y x =+,求经过圆上一点 , (00y x M 的切线方程 分析:此题关键是求切线的斜率,为此须分两种情形讨论。 解:如图,设切线的斜率为 k ,半径 OM 的斜率为 1k , 因为圆的切线垂直于过切点的半径,于是 11k k -= 001x y k = 00y x k -= 经过点 M 的切线方程是 (0000x x y xy y -=-,整理得 202000y x y y x x +=+因为点 , (00y x M

5、 在圆上,所以 22020r y x =+,所求切线方程是 200r y y x x =+2点评:1、 “待定系数法” :即设出圆的切线方程,将其代入到圆的方程,得到一个关于 x 或 y 的一元二次方程,利用判别式进行求解。但此法不如用几何方法简练实用。几何方法:利用圆心到直线的距离等于半径 (本题利用了圆心到切点 的距离为半径的知识 ,由此确定了斜率的,从而得到点斜式的切线方程。以上两种方法只能求出存在斜率的切线,若斜率 不存在,则要结合图形配补。2、若圆的方程是:222(r b y a x =-+-, , (00y x M 是圆上一点,则过 M 的切线方程是:200r y y x x =+

6、。例 3.求过点 (3,1M ,且与圆 22(1 4x y -+=相切的直线 l 的方程 .解一:(待定系数法 设切线方程为 1(3 y k x -=-,即 310kx y k -+=, 圆心 (1,0到切线 l 的距离等于半径 2, 2=,解得 34k =-,切线方程为 31(3 4y x -=-,即 34130x y +-=, 当过点 M 的直线的斜率不存在时,其方程为 3x =,圆心 (1,0到此直线的距离等于半径解二:利用切线方程公式,关键是求出切点坐标。例 4. 一圆过原点 O 和点 (1,3 P ,圆心在直线 2y x =+上,求此圆的方程。 (学生思考、探索不同解法 解法一:(待

7、定系数法圆心在直线 2y x =+上, 设圆心坐标为 (, 2 a a +, 则圆的方程为 222( (2 x a y a r -+-=, 点 (0,0O 和 (1,3P 在圆上, 222222(0 (02 (1 (32 a a r a a r-+-=-+-=,解得 214258a r =-=,所以,所求的圆的方程为 221725( ( 448x y +-=.解法二:(定义法由题意:圆的弦 OP 的斜率为 3,中点坐标为 13(, 22,弦 OP 的垂直平分线方程为 311( 232y x -=-,即 350x y +-=, 圆心在直线 2y x =+上,且圆心在弦 OP 的垂直平分线上,由

8、2350y x x y =+-=解得 1474x y =-=,即圆心坐标为 C 17(, 44-, 又圆的半径 |r OC =所以,所求的圆的方程为 221725( ( 448x y +-=.例 5. 已知一圆与 y 轴相切,在直线 y x =上截得的弦 AB 长为 30x y -=上,求此圆的方程 .解:圆心在直线 30x y -=上,设圆的方程为 222(3 ( x a y a r -+-=, 圆与 y 轴相切, 3|r a =, 又圆心到弦 AB |a = , 222|(3|a a +=, 1a =±, 3r =,3所以,所求的圆方程为 22(3 (1 9x y -+-=或 2

9、2(3 (1 9x y +=. 说明:(1求圆的方程,常用待定系数法,要注意用部分条件设方程(少设未知数 ,再用其余的条件求待定的系数;四、课堂练习 :P77 T1、 2、 3、 42、已知圆 2522=+y x ,求:(1过点 A (4, -3的切线方程 (2过点 B (-5, 2的切线方程分析:求过一点的切线方程,当斜率存在时可设为点斜式,利用圆心到切线的距离等于圆的半径列出 方程,求出斜率 k 的值,斜率不存在时,结合图形验证;当然若过圆上一点的切线方程,可利用公式200r y y x x =+求得解:(1点 A (4, -3在圆 2522=+y x 上 过点 A 的切线方程为:0253

10、4=-y x(2点 B (-5, 2不在圆 2522=+y x 上,当过点 B (-5, 2的切线的斜率存在时,设所求切线 方程为 5(2+=-x k y ,即 025=+-k y kx 由5122=+k k ,得 2021=k 01452021=+-y x 当过点 B (-5, 2的切线斜率不存在时,结合图形可知 x =-5,也是切线方程 综上所述,所求切线方程为:01452021=+-y x 或 x =-5五、小结 :1.圆的标准方程的概念及推导; 2.如何求圆的标准方程:待定系数法、定义法 3.求圆的切 线方程的常用方法:公式法、待定系数法。圆的方程(圆的一般方程 教学目标:1. 掌握圆

11、的一般方程,知道它的特点;2. 能将圆的一般方程化为圆的标准方程,从而求出圆心坐标和半径; 3. 能用待定系数法由已知条件求出圆的方程.教学过程:(一复习:1、写出圆的标准方程? 222将上述标准方程展开,整理,得 22222220x y ax by a b r +-+-=, 将配方得:22224( ( 224D E D E Fx y +-+=. 把方程和圆的标准方程进行比较,可以看出:(1当 224 0D E F +->时,方程表示以 (, 22D E - (2当 2240D E F +-=时,方程表示一个点 (, 22D E -;(3当 2240D E F +-<时,方程不表示

12、任何图形.结论:当 2240D E F +->时,方程表示一个圆,此时,我们把方程叫做 圆的一般方程.2.圆的一般方程形式上的特点:(1 2x 和 2y 的系数相同,且不等于 0; (2没有 xy 这样的二次项.以上两点是二元二次方程 220Ax Bxy Cy Dx Ey F +=表示圆的必要条件,但不是充分条件 .充要条 件是? (A=C0, B=0, 0422>-+FA E D 4说明:1、要求圆的一般方程,只要用待定系数法求出三个系数 D 、 E 、 F 就可以了.2、圆的一般方程与圆的标准方程各有什么优点?(圆的标准方程:有利于作图。一般方程:有利于判别二 元二次方程是不是

13、圆的方程 (三例题分析:例 1.求过三点 (0,0O 、 1(1,1 M 、 2(4,2M 的圆的方程,并求这个圆的半径和圆心坐标. 解:设所求的圆方程为 220x y Dx Ey F +=, (0,0O 、 1(1,1 M 、 2(4,2M 在圆上, 0, 20, 42200. F D E F D E F =+=+=解得 860D E F =-=, 所求的圆方程为 22860x y x y +-+=,圆心坐标为 (4,3 - ,半径为 5r =. 注意:由于所求的圆过原点,可设原的方程为 220x y Dx Ey +=;本题也可以换一种说法:已知 12OM M 中,三个顶点的坐标分别 (0,

14、0O 、 1(1,1 M 、 2(4,2M ,求 21M OM 的外接圆的方程.例 2. 已知一曲线是与两个定点 (0,0O 、 (3,0A 距离的比为 12的点的轨迹, 求此曲线的方程, 并画出曲线. 解:设 (, M x y 是曲线上任意一点,由题意:|1|2MO MA =, 12=,化简得 22230x y x +-=, 这就是所求的曲线方程 .把方程配方得:22(1 4x y +=,所以方程的曲线是以 (1,0 -为圆心, 2为半径的圆. (作图 注意:本题也可以一般化已知一曲线是与两个定点 A 、 B 距离的比为 (0 >的点的轨迹,求此曲线的方程,并画出曲线.提示:以直线 A

15、B 为 x 轴,线段 AB 的中垂线为 y 轴,建立直角坐标系,设 (20AB a a =>,则可以 按照上例的方法求解。可得:(2222222112110x ya x a -+-+-=要注意讨论 对曲线的形状的影响.例 3. 已知圆 2280x y x y m +-+=与直线 260x y +-=相交于 P 、 Q 两点, 定点 (1,1R , 若 PR Q R ,求实数 m 的值.解:设 11(, P x y 、 22(, Q x y ,由 2280260x y x y m x y +-+=+-=,消去 y 得:254600x m +-=, 由题意:方程有两个不等的实数根, 6040

16、m ->, 15m <,由韦答定理:121204125x x x x m +=-, PR QR , 1PR QR k k =-, 121211111y y x x -=-,即 1212(1(1 (1(1 0x x y y -+-=,即 12121212( ( 20x x x x y y y y -+-+=, 5(3(3 9( 922244x x x x x x y y x x =-=-+=+, 126y y +=,代入得:125504x x +=,即 54(12 5045m -+=, 10m =,适合 15m <,所以,实数 m 的值为 10.圆的方程(圆的参数方程教学目标:

17、1. 理解圆的参数方程,能熟练求出圆心在原点、半径为 r 的圆的参数方程;2. 理解参数 的意义;3. 理解圆心不在原点的圆的参数方程,能根据圆心坐标和半径熟练地求出圆的参数方程; 4. 能进行圆的一般方程和圆的参数方程的互化,并能用之解题 .教学过程:(一复习:1、圆的标准方程和一般方程.2、 P (x,y 是图形 F 上的任意一点,它在平移后图形 F 上的对应点为 P (x ,y , 平移向量为(h,k =. 则平移 公式是?(1设圆 O 的圆心在原点,半径是 r ,圆 O 与 x 轴的正半轴的交点是 0P , 设点在圆 O 上从 0P 开始按逆时针方向运动到达点 P , 0POP =,则

18、 点 P 的位置与旋转角 有密切的关系: 当 确定时, 点 P 在圆上的位置也随着确定; 当 变化时, 点 P 在圆上的位置也随着变化. 这说明, 点 P 的坐标随着 的变化而变化. 设 点 P 的坐标是 (, x y ,你能否将 x 、 y 分别表示成以 为自变量的函数?根据三角函数的定义, cos sin x r y r =, 显然,对于 的每一个允许值,由方程组所确定的 点 (, P x y 都在圆 O 上。我们把方程组叫做圆心为原点、半径为 r 的 圆的参数方程 , 是参数. (2圆心为 1(, O a b ,半径为 r 的圆的参数方程是怎样的?圆 1O 可以看成由圆 O 按向量 (,

19、 v a b =平移得到的(如图, 由 11O P OP = 可以得到圆心为 1(, Oa b , 半径为 r 的圆的参数方程是 cos sin x a r y b r =+=+ (为参数在取定的坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 x 、 y都是某个变数 t 的函数,即 (x f t y g t =并且对于 t 的每一个允许值,方程组所确定的点 (, M x y 都在这条曲线上,那么方程组就叫做这条曲线的参数方程,联系 x 、 y 之间关系的变数叫做 参变数,简称参数.xy0Px(, P x yy相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标 x 、 y 关系的方程，叫做曲线的普通方程

20、普通方程 普通方程 将曲线的参数方程中的参数消去，可得到曲线的普通方程。参数方程和普通方程可以互化 2 2 2 如：将圆的参数方程的参数 消去，就得到圆的普通方程 ( x a + ( y b = r （三）例题分析： 例 1把下列参数方程化为普通方程： 2 x = 1+ t 2 x = a (t + 1 x = 2 + 3cos 2 t （1） （ 为参数）（2） （ t 为参数）（3） （t 为参数） b 1 2t y = 2 (t t y = 3+ 2sin y = 1+ t 2 x2 3 = cos ， (1 解：（1）(利用同角公式化简 利用同角公式化简 ， 利用同角公式化简 y 3

21、= sin ， (2 2 2 ( x 2 ( y 3 2 由 (1 2 + (2 2 得 + = 1 ，这就是所求的普通方程 9 4 y y 2 2 （2）（整体代入消元 整体代入消元）由原方程组得 = t ，把 t = 代入 x = 得x = ， 整体代入消元 2 y 2 x x 1+ t 1+ ( x 2 2 化简得： x + y 2 x = 0 （ x 0 ），这就是所求的普通方程 （3）平方后加减消元 平方后加减消元 说明：1、 说明： 、将参数方程和普通方程的互化，要注意参数的取值范围与 x 、 y 的取值范围之间的制约关系，保 持等价性2、注意消参的方法，及参数的几何性质。 例 2

22、如图，已知点 P 是圆 x 2 + y 2 = 16 上的一个动点，定点 A (12, 0 ，当点 P 在圆上运动时，线段 PA 的 中点 M 的轨迹是什么？ 解：设点 M ( x, y ，圆 x 2 + y 2 = 16 的参数方程为 x = 4 cos ， y = 4sin 4 cos + 12 x = 2 设点 P (4 cos , 4 sin ，由线段中点坐标公式得 ， y = 4sin 2 y x = 2 cos + 6 P 即点 M 轨迹的参数方程为 ， y = 2sin 点 M 的轨迹是以点 (6, 0 为圆心、 2 为半径的圆 【思考】 ：这个问题不用参数方程怎么解？（相关点法） 又解：设 M ( x, y ， P ( x0 , y0 ， O x x0 + 12 x = 2 x0 = 2 x 12 点 M 是线段 PA 的中点， ， ， y0 = 2 y y = y0 2 2 2 点 P ( x0 , y0 在圆上， x0 + y0 = 16 ， (2 x 12 2 + (2 y 2 = 16 ， 2 2 即点 M 的轨迹方程为 ( x 6 + y = 4 ， 点 M 的轨迹是以点 (6, 0 为圆心、 2 为半径的圆 6 变式：若 Q 分 PA 的比为 1：2，求 Q 点的轨迹方程。 x = 3 + r cos , 例 3：设圆 （ 为参数）上有且仅有