多分辨协整与误差

1、多分辨协整与误差校正模型基金项目 国家自然科学基金资助项目（70471050）；全国统计科研计划项目（2006B07）。作者简介 许启发(1975)，男，安徽和县人，博士，山东工商学院统计学院副教授，研究方向：数量经济方法、金融计量。蒋翠侠(1973)，女，安徽砀山人，天津大学管理学院博士生，山东工商学院统计学院讲师，研究方向：数量经济方法、金融计量。张世英(1936)，男，北京人，天津大学管理学院教授，博士生导师，研究方向：复杂系统控制与决策、数量经济等。许启发1，蒋翠侠2，3，张世英3（1.山东工商学院统计学院，山东烟台264005；2.山东工商学院数学与信息科学学院，山东烟台264005

2、；3.天津大学管理学院，天津300072）【摘要】为讨论经济及金融变量的多尺度行为，描述变量之间在不同时间尺度上的长期均衡关系，将小波多分辨分析引入协整建模理论，提出多分辨协整和多分辨误差校正模型两个概念，给出相应建模方法，克服了传统的协整建模理论无法揭示蕴含在变量内部的多时间尺度信息的缺陷。多分辨协整建模能够更加细致地捕获经济或金融变量在不同时间尺度上的关系，对两大股指的实证研究也支持了这一点。关键词：协整；误差校正模型；多分辨；小波分析Multiresolution Cointegration and Error Correction ModelXU Qi-fa1， JIANG Cuixi

3、a2，3， ZHANG Shi-ying3（1. School of Statistics， Shandong Institute of Business and Technology， Yantai 264005， China； 2. School of Mathmetics and Information Science， Shandong Institute of Business and Technology， Yantai 264005， China； 3.School of Management， Tianjin Unversity， Tianjin 300072， China）A

4、bstract：In order to discuss the multiresolution character of economic or financial variable and capture the long run equilibrium relationship in different time scale，multiresolution analysis of wavelet has been introduced into the theory of cointegration modeling.The new conception of multiresolutio

5、n cointegrtion and multiresolution error correction model is put forward in the paper. The method of multiresolution cointegration modeling， which overcomes the traditional cointegrtion theorys shortcomings in discovering the information of multi time scale contained in inside of variables，is dicuss

6、ed in detail. The new method can capture the relationship between variables in different time scales，which has been proved by our empirical research in the end.Key words：cointegration；error correction model；multiresolution；wavelet analysis引言在经济及金融研究中，行为主体往往面临着经济决策问题，其中一个重要的影响因素就是决策时期的长短。如果我们将经济或金融时间

7、序列视为经济系统或金融系统释放出来的一种信号，那么这些时间序列在不同的频段（时间尺度）就有不同的特征，经济变量之间的相互关系也不同。文12在不同时间尺度上讨论了经济变量 前者讨论了消费和收入之间的多分辨关系；后者讨论了金融变量和实际经济活动之间的多分辨关系。之间的关系，结果表明不同时间尺度上变量之间的关系存在显著差异。在金融市场中，金融资产价格或收益是由买卖双方的交易行为共同决定。而金融市场存在众多的交易者，他们都是按照自己的利益最大化原则从事金融资产的买卖交易。根据交易时期的长短，可以将其划分为：实时交易、短期交易、长期交易和超长期交易等，金融资产价格或收益是这些错综复杂交易信息的综合体现。

8、显然，如果直接讨论原始金融资产价格或收益之间相互关系，势必不能完整反映处于不同交易层次上交易者之间的交易信息。因此，有必要将原始的价格或收益分解到不同的时间尺度上，再讨论分解后的价格或收益之间的关系。小波分析能够同时在时域和频域描述时间序列的变化特征，其最大优势能够将时间序列分解到不同的时间尺度上，在各级时间尺度下同时讨论时间序列的特性。小波分析已广泛应用于信号处理、数字成像等领域，只是在最近才被成功地引入经济及金融分析37。为描述经济变量在不同时间尺度上的长期均衡关系，本文将小波分析引入协整建模理论，将文12的研究工作向前推进一步，提出多分辨协整及多分辨误差校正模型两个概念，克服了过去只能在

9、两个时间尺度上（“短期”和“长期”）讨论经济或金融变量之间的关系的缺陷。我们的方法使得在多个时间尺度上讨论相关问题成为可能，并且取得了比传统方法（协整建模）更为有效的结果。一、多分辨协整关系及其检验1.基于MODWT的小波多分辨分析Lindsay等（1996）提出了MODWT，该变换可以看作离散小波变换（DWT）的一个改进版89。以下小波变换均指MODWT，小波系数均指MODWT小波系数。设是一个包含了时间序列（不妨设，为正整数）个观察值的列向量。对实施MODWT小波滤波和尺度滤波，并且对所得结果不进行向下抽样（downsampling），就得到个向量小波系数和一个向量尺度系数分别为：（1）式

10、中，为滤波器长度，；，即和可由级尺度对应的DWT小波滤波器和尺度滤波器得到。而级变换系数是一个由个维向量构成的变换，即，向量包含与尺度上的变化相关的级小波系数，向量包含与尺度上的平滑相关的级尺度系数。在实际应用中，小波系数和尺度系数可由MODWT塔式算法实现。Percival等（1997）给出了基于MODWT的多分辨分析 （2）其中为由和生成的MODWT矩阵。由式（2）可以看出，通过级细节和级平滑给出了的多分辨分析（Multiresolution Analysis）。多分辨分析的实质就是将时间序列一次性分解到相互嵌套的顺序子空间中加以研究，从而能够较为细致地刻画时间序列在不同空间中的特性，便于

11、对时间序列本质特征的把握，可以利用图1所示描述小波多分辨分析。图1 多分辨分析图示图1中，其中为尺度空间，为小波空间。2.多分辨协整设有维向量时间序列，其中分量记为。在级时间尺度下，经过MODWT后得到，。为描述金融变量在不同时间区间上长期均衡关系，本文给出多分辨协整的定义。定义1（多分辨协整）：若存在某个级时间尺度下，对于维向量时间序列中的分量满足（1）是LMM序列（或者序列）；（2）存在非零的维函数，使得是一个均值为常数的SMM序列（或者序列）。则称向量时间序列存在多分辨协整关系。在定义1中，当维函数为线性函数时，则称存在线性协整关系；当为非线性函数时，则称存在非线性协整关系。因此，定义1

12、不仅给出了整数维时间序列及分数维时间的多分辨线性协整关系，而且给出了其多分辨的非线性协整关系，具有较强的包容性。3.多分辨协整关系检验图2给出了多分辨协整检验的一般步骤。输入小波序列是否为整数维序列？全部为整数维序列全部为分数维序列部分为分数维序列维数是否相等？EG两步法和Johansen法检验是否存在线性协整？小波神经网络方法检验是否存在非线性协整？存在多分辨协整YNNYNN不存在多分辨协整NY图2 多分辨协整检验流程多分辨协整关系的检验可以按照如下程序来进行：第一步，在级时间尺度下，利用单位根检验和短记忆性检验，确定向量小波序列各分量序列是整数维序列还是分数维序列；若均为分数维序列，直接进

13、入第五步；若部分为整数维序列，部分为分数维序列，则直接进入第八步。第二步，如果各分量序列均为整数维序列，进一步利用单位根检验判断其维数是否相等；第三步，若整数维数相等，则可根据EG两步法或Johansen判断它们之间是否存在线性协整关系；若存在线性协整关系，则直接得出结论；第四步，若不存在线性协整关系或整数维数不相等 文1011证明：当两个或金融时间序列的维数不相等时，不存在线性协整关系。，则需要检验是否存在非线性协整关系；第五步，如果各分量序列均为分数维序列，利用GPH估计分整阶数，进一步判断其维数是否相等；第六步，若整数维数相等，则可根据EG两步法或Johansen判断它们之间是否存在线性

14、协整关系；若存在线性协整关系，则直接得出结论；第七步，若不存在线性协整关系或分数维数不相等，则需要检验是否存在非线性协整关系；第八步，若部分为整数维序列，部分为分数维序列，则需要检验是否存在非线性协整关系；第九步，得出是否存在多分辨协整的结论。对于图2给出的多分辨协整检验程序，其关键在于如何检验非线性协整关系。这里对文12提出的非线性协整关系检验进行了扩展。在级时间尺度下，如果以向量小波序列的分量序列作为网络的输入变量，以短记忆序列为网络输出层的教师指导值，通过神经网络算法，得到非线性协整函数的估计，它描述了各分量序列之间的非线性关系。可以得到残差序列，记为 为小波神经网络中参数向量。如果所得

15、到的残差序列是短记忆序列，则表明当前所得的非线性函数关系是一种存在于向量小波序列之间的协整函数。因此，问题的关键在于残差序列是否为短记忆序列 这里，检验时间序列是否为SMM序列，可以使用修正R/S检验，也可以使用KPSS检验和LM检验等。，可以使用Lo（1991）给出的修正R/S检验13完成。修正R/S检验统计量如下：（3）其中这里的为样本均值；为样本的阶自协方差；是Bartlett窗权重：，对于。在是短记忆序列的零假设下，具有分布函数（4）式中：为分位数；。通过式（4）可以得到任意显著性水平下的临界值。二、多分辨误差校正模型1.多分辨误差校正模型在多分辨协整的基础上，这里进一步给出多分辨的误

16、差校正模型（ECM）。定义2（多分辨误差校正模型）：对于向量时间序列，若其各分量序列之间存在多分辨协整关系，则协整系统存在多分辨误差校正模型 （5）式中，为协整函数（可能是线性的，也可能是非线性的）；为随机误差序列；为的系数矩阵，为滞后阶数；为对角差分算子矩阵。而（6）为第个分量的误差校正模型。根据式（6），有（7）2.预测将参数估计出来，则有相应的误差校正模型第个分量的步预测模型为：，（8）式中，为第个分量误差校正模型的系数估计；为第个分量在级尺度下的小波序列在时刻前向步预测值；为展开的系数。对于，当即时，为预测值；反之，为实际值。当把在各级时间尺度下的小波收益序列都预测出来以后，可以通过小

17、波重构的办法，将其还原为原始收益，从而获得对原始收益的预测结果。可以将这种方式取得的预测效果与通过原始收益建立误差校正模型取得的预测效果进行比较，观察多分辨误差校正模型能否取得更好的预测效果。在误差校正模型中，如果是线性协整函数，则它就是线性协整系统中的误差校正项；如果是非线性协整函数，则其估计是系统在时刻的均衡误差，其作用是校正时刻的差分序列值，类似于线性协整系统中的误差校正项的作用。这里，协整函数的估计是建立多分辨误差校正模型的关键，尤其当为非线性函数时，误差校正模型的建立更为困难，原有的线性误差校正模型估计方法不再适用。实证中，使用小波神经网络方法建立多分辨的误差校正模型。三、数据的选取

18、及实证1.数据的选取及基本描述为考察中国两大证券市场之间的相互关系，选择上证综合指数（简称上证综指）和深证成分指数（简称深证成指）作为研究对象。样本区间为2003/01/02至2005/06/30，共有599个交易日的收盘数据，数据取自鑫网通达信证券分析交易系统。文中收益率由股票价格（或股指）自然对数的一阶差分来计算，。在级尺度下，DWT使用的带通滤波器频率范围为：。将频率范围反转并且乘以适当的时间间隔，便得到在级尺度下对应的时期：。由于使用了交易日的数据，所以小波分析中1级尺度与24天对应，2级尺度与48天对应，7级尺度与128256天对应（见表1，表1给出小波多分辨频率、尺度和时间区间之间

19、的关系）。文中采用长度为8的“最小非对称”（least asymmetric）小波滤波器（Daubechies，1992）14进行MODWT分解，LA（8）小波滤波器一方面具有较大的长度、另一方面具有非对称性，因而能够准确地逼近待分解的金融时间序列。表1 小波分解频率、尺度和时间区间之间关系对照表分解级别尺度频率时期周期111/41/2242221/81/4484341/161/88168481/321/161632165161/641/323264326321/1281/6464128647641/2561/128128256128表2给出了上证综指和深证成指原始收益及小波收益在各级尺度下的

20、均值、标准差和偏度统计结果。易见，无论是原始收益还是小波收益，它们的平均收益均为负值，表明在样本区间内，投资者不仅没有盈利反而有亏损，股市行情不好；与一般文献中出现的负偏度相同，这里无论是原始收益还是小波收益，它们的偏度系数均小于零，意味着投资收益看涨的可能性小于看跌的可能性。表2 原始收益及小波收益的描述统计原始收益尺度1尺度2尺度3尺度4尺度5上证综指均值-3.3491E-05-6.96E-07-4.46E-06-3.83E-06-1.73E-05-3.37E-05标准差0.0130070.00932790.00630770.00484370.00288210.0022927偏度-0.88

21、292-0.13065-0.16143-0.223-0.31114-0.15321深证成指均值-4.3416E-05-7.34E-07-7.69E-06-1.06E-05-1.95E-05-3.53E-05标准差0.013890.0100270.00652770.00519670.00313060.0025739偏度-0.60729-0.03978-0.069721-0.13982-0.22125-0.147562.收益序列的长记忆性检验在对序列的长记忆性进行检验时，使用了Lo（1991）提出的修正R/S检验，检验结果见表3。表3 原始收益及小波收益序列的长记忆性检验原始收益尺度1尺度2尺度3

22、尺度4尺度5上证综指14.567413.334415.125315.287713.853516.1909111111尾概率000000深证成指14.962416.189215.327315.174614.813315.7258111111尾概率000000表3结果显示，上证综指与深证成指的原始收益及在各级时间尺度下的小波收益序列均为LMM序列，现在需要进一步检验其分数维，利用GPH方法进行估计，估计结果见表4。表4 原始收益及小波收益序列的分数维估计原始收益尺度1尺度2尺度3尺度4尺度5上证综指0.046461-0.21882-0.294260.0532390.125180.38897深证成指

23、0.051272-0.21577-0.238360.0516060.118050.39335由表4的结果，上证综指与深证成指的原始收益序列及在各级时间尺度下的小波收益序列的分数维各不相同，不宜采用线性协整建模方法，而采用非线性协整建模方法。在对非线性函数进行逼近时，采用了小波神经网络手段15。3.多分辨协整关系的检验文中，建立了具有二个输入节点，八个隐层节点和一个输出节点的单隐层小波神经网络，小波基函数采用了Mallet小波，输入分别为上证综指和深证成指原始收益序列或小波收益序列，使用具有自适应学习速率的变尺度法对网络参数进行了训练，取学习步长0.1，动量系数0.3。网络训练时，采用了有导师学

24、习的方式，导师序列分别选择以原始收益序列或小波收益序列的平均收益为均值的的白噪声时间序列，网络训练过程中能量函数见图3a至图3f。图3a 原始收益网络训练过程图3b 尺度1收益网络训练过程图3c 尺度2收益网络训练过程图3d 尺度3收益网络训练过程图3e 尺度4收益网络训练过程图3f 尺度5收益网络训练过程图3a至图3f显示，上证综指与深证成指的原始收益及小波序列之间都进行了充分的拟合。现在需要检验拟合后的残差序列是否为短记忆序列，若是短记忆序列，则表明它们之间存在非线性协整关系；否则，不存在非线性协整关系。仍然采用Lo（1991）的修正R/S检验，检验结果见表5。表5的结果显示，无论对原始收

25、益还是在各级尺度下，拟合后序列的长记忆检验的尾概率均大于10%，即在10%的显著性水平下都不显著，故所得到的序列均为SMM序列。这样，可以得出结论，原始收益及各级尺度下的小波序列均存在非线性的协整关系，因而上证综指与深证成指之间存在多分辨协整关系。接下来对这种多分辨协整关系进行描述，建立多分辨的误差校正模型。表5 原始收益及小波收益拟合后序列的长记忆性检验原始收益尺度1尺度2尺度3尺度4尺度5上证综指0.69180.85801.25401.59371.44100.57110.0025 0.0480 0.5442 0.8861 0.7703 0.0000 尾概率0.9975 0.9520 0.4

26、558 0.1140 0.2297 1.0000 深证成指0.39990.69000.81560.71191.29020.66860.0000 0.0024 0.0274 0.0040 0.5946 0.0013 尾概率1.0000 0.9976 0.9726 0.9960 0.4054 0.9987 4.多分辨误差校正模型及预测假设，由式（4）得到（9）式（9）中，为级尺度下经小波神经网络拟合后的残差序列。对式（9）经普通最小二乘估计（OLS）得到多分辨的误差校正模型见表6。表6 原始收益序列的误差校正及小波序列的多分辨误差校正模型回归系数原始收益尺度1尺度2尺度3尺度4尺度5上证综指-0.

27、0793-0.60650.46940.03590.5354-0.20370.64011.45331.48910.87991.36671.67851.8312.64251.45151.20721.54131.4918-0.2676-1.2144-0.7410-0.9029-0.0544-0.0257深证成指1.5352-1.3474-0.9036-0.62750.5529-2.05432.6460.235582.71911.73040.539032.32441.92020.82390.53591.86680.42511.2576-0.4143-1.2598-1.1503-0.0878-0.625

28、4-0.7679将参数估计出来，代入模型（10）中，分取为1和2，就可以进行1步预测和2步预测，将预测结果进行MODWT小波重构，即可得到多分辨ECM预测的小波重预测，结果见表7。（10）表7 传统ECM及多分辨ECM的预测结果前向步预测预测对象实际值 这里的实际值是指2005/07/01和2005/07/04的上证综指和深证成指，在2005/07/01到2005/07/04之间没有交易日。传统ECM预测多分辨ECM预测的小波重构预测预测值预测相对误差预测值预测相对误差一步预测上证综指1055.591041.62-1.323431046.43-0.86776深证成指2728.722749.75

29、0.7706912714.75-0.51196二步预测上证综指1047.281028.49-1.794171035.62-1.11336深证成指2737.222763.010.9421972716.75-0.74784表7显示，无论是多分辨ECM预测的小波重构预测还是传统的ECM预测，二步预测相对误差高于一步预测相对误差；而多分辨ECM预测的小波重构预测相对误差小于传统ECM预测相对误差，基于多分辨ECM的预测效果优于传统的ECM预测效果，主要原因在于前者能够更加细致地捕获两大证券市场在不同时间区间上的相互关系。四、结论在协整建模的基础上，基于小波多分辨分析更进一步给出多分辨协整建模方法。我们

30、的方法使得在不同时间尺度下讨论多个变量之间的长期均衡关系成为可能，能够捕获蕴含在变量内部的多时间尺度信息，从而实现对经济关系的细致刻画。实证研究表明，中国股市存在多分辨协整现象，即在不同的时间尺度上存在非线性协整关系；而基于多分辨ECM预测的小波重构预测得到的结果优于传统的ECM预测。参考文献1 Ramsey J B， Lampart C. The decomposition of economic relationships by time scale using wavelets： expenditure and incomeJ. Studies in Nonlinear Dynamics

31、 & Econometrics， 1998， 3（1）：23-42.2 Kim S， Francis H I. The relationship between financial variables and real economic activity： evidence from spectral and wavelet analysisJ. Studies in Nonlinear Dynamics & Econometrics， 2003， 7（4）：1-16.3 Ramsey J B， Zhang Z. The analysis of foreign exchange

32、 data using waveform dictionariesJ. Journal of Empirical Finance， 1997， 4：341-372.4 Gençay R， Selçuk F， Whitcher B. Scaling properties of foreign exchange volatilityJ. Physica， 1998， 289：249-266.5 Gençay R， Selçuk F， Whitcher B. Systematic risk and time scalesJ. Quantitative Finance， 2003， 3：108-116.6 Xu Qifa， Zhang