第5讲：动态几何问题

1、 第5讲 动态几何问题第一部分 典例精讲【例1】如图，在梯形中，梯形的高为动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动设运动的时间为（秒）（1）当时，求的值；（2）试探究：为何值时，为等腰三角形【例2】在ABC中，ACB=45º点D（与点B、C不重合）为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF（1）如果AB=AC如图，且点D在线段BC上运动试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论（2）如果ABAC，如图，且点D在线段BC上运动（1）中结论是否成立，为什么？（3）若正方形ADEF的

2、边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC，CD=，求线段CP的长（用含的式子表示） 【例3】已知如图，在梯形中，点是的中点，是等边三角形（1）求证：梯形是等腰梯形；（2）动点、分别在线段和上运动，且保持不变设求与的函数关系式；ADCBPMQ60°（3）在（2）中，当取最小值时，判断的形状，并说明理由【例4】已知正方形中，为对角线上一点，过点作交于，连接，为中点，连接（1）直接写出线段与的数量关系；（2）将图1中绕点逆时针旋转，如图2所示，取中点，连接，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明 （3）将图1中绕点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问

3、（1）中的结论是否仍然成立？（不要求证明）第二部分 发散思考【思考1】已知：如图（1），射线射线，是它们的公垂线，点、分别在、上运动（点与点不重合、点与点不重合），是边上的动点（点与、不重合），在运动过程中始终保持，且（1）求证：；（2）如图（2），当点为边的中点时，求证：；（3）设，请探究：的周长是否与值有关？若有关，请用含有的代数式表示的周长；若无关，请说明理由 【思考2】 ABC是等边三角形，P为平面内的一个动点，BP=BA，若PBC180°，且PBC平分线上的一点D满足DB=DA，（1）当BP与BA重合时（如图1），BPD= °；（2）当BP在ABC的内部时（如图2

4、），求BPD的度数；（3）当BP在ABC的外部时，请你直接写出BPD的度数，并画出相应的图形 【思考3】如图：已知，四边形ABCD中，AD/BC， DCBC，已知AB=5，BC=6，cosB=点O为BC边上的一个动点，连结OD，以O为圆心，BO为半径的O分别交边AB于点P，交线段OD于点M，交射线BC于点N，连结MN（1）当BO=AD时，求BP的长；（2）点O运动的过程中，是否存在BP=MN的情况？若存在，请求出当BO为多长时BP=MN；若不存在，请说明理由；ABCDOPMNABCD（备用图）【思考4】在中，过点C作CECD交AD于点E,将线段EC绕点E逆时针旋转得到线段EF(如图1)（1）在

5、图1中画图探究：当P为射线CD上任意一点（P1不与C重合）时，连结EP1绕点E逆时针旋转 得到线段EC1.判断直线FC1与直线CD的位置关系，并加以证明；当P2为线段DC的延长线上任意一点时，连结EP2,将线段EP2绕点E 逆时针旋转得到线段EC2.判断直线C1C2与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论.（2）若AD=6,tanB=,AE=1,在的条件下，设CP1=，S=，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围.例1、【思路分析1】就本题而言，M，N是在动，意味着BM,MC以及DN,NC都是变化的。但是我们发现，和这些动态的条件密切相关的条件DC,BC长度都是给定的，而且动态条

6、件之间也是有关系的。所以当题中设定MN/AB时，就变成了一个静止问题。由此，从这些条件出发，列出方程，自然得出结果。 【思路分析2】第二问失分也是最严重的，很多同学看到等腰三角形，理所当然以为是MN=NC即可，于是就漏掉了MN=MC,MC=CN这两种情况。在中考中如果在动态问题当中碰见等腰三角形，一定不要忘记分类讨论的思想，两腰一底一个都不能少。具体分类以后，就成为了较为简单的解三角形问题，于是可以轻松求解例2、【思路分析1】本题并未给出那个“静止点”，所以需要我们去分析由D运动产生的变化图形当中，什么条件是不动的。由题我们发现，正方形中四条边的垂直关系是不动的，于是利用角度的互余关系进行传递

7、，就可以得解。【思路分析2】这一问是典型的从特殊到一般的问法，那么思路很简单，就是从一般中构筑一个特殊的条件就行，于是我们和上题一样找AC的垂线，就可以变成第一问的条件，然后一样求解。【思路分析3】这一问有点棘手，D在BC之间运动和它在BC延长线上运动时的位置是不一样的，所以已给的线段长度就需要分情况去考虑到底是4+X还是4-X。分类讨论之后利用相似三角形的比例关系即可求出CP.（3）过点A作AQBC交CB的延长线于点Q， 点D在线段BC上运动时，BCA=45º，可求出AQ= CQ=4 DQ=4-x，易证AQDDCP， ， ， 点D在线段BC延长线上运动时，BCA=45º，

8、可求出AQ= CQ=4， DQ=4+x 过A作交CB延长线于点G，则 CFBD，AQDDCP， ， ，3【思路分析1】本题有一点综合题的意味，但是对二次函数要求不算太高，重点还是在考察几何方面。第一问纯静态问题，自不必说，只要证两边的三角形全等就可以了。第二问和例1一样是双动点问题，所以就需要研究在P,Q运动过程中什么东西是不变的。题目给定MPQ=60°，这个度数的意义在哪里？其实就是将静态的那个等边三角形与动态条件联系了起来.因为最终求两条线段的关系,所以我们很自然想到要通过相似三角形找比例关系.怎么证相似三角形呢? 当然是利用角度咯.于是就有了思路.【解析】（1）证明：是等边三角

9、形 是中点 梯形是等腰梯形（2）解：在等边中， (这个角度传递非常重要,要仔细揣摩) (设元以后得出比例关系,轻松化成二次函数的样子)【思路分析2】第三问的条件又回归了当动点静止时的问题。由第二问所得的二次函数，很轻易就可以求出当X取对称轴的值时Y有最小值。接下来就变成了“给定PC=2，求PQC形状”的问题了。由已知的BC=4，自然看出P是中点，于是问题轻松求解。（3）解： 为直角三角形当取最小值时，是的中点，而4、【思路分析1】这一题是一道典型的从特殊到一般的图形旋转题。从旋转45°到旋转任意角度，要求考生讨论其中的不动关系。第一问自不必说，两个共斜边的直角三角形的斜边中线自然相等

10、。第二问将BEF旋转45°之后，很多考生就想不到思路了。事实上，本题的核心条件就是G是中点，中点往往意味着一大票的全等关系，如何构建一对我们想要的全等三角形就成为了分析的关键所在。连接AG之后，抛开其他条件，单看G点所在的四边形ADFE，我们会发现这是一个梯形，于是根据我们在第一讲专题中所讨论的方法，自然想到过G点做AD,EF的垂线。于是两个全等的三角形出现了。（1） （2）（1）中结论没有发生变化，即证明：连接，过点作于，与的延长线交于点在与中， 在与中， 在矩形中， 在与中， 【思路分析2】如果题目要求证明，应该如何思考：在BEF的旋转过程中，始终不变的依然是G点是FD的中点。可

11、以延长一倍EG到H，从而构造一个和EFG全等的三角形，利用BE=EF这一条件将全等过渡。要想办法证明三角形ECH是一个等腰直角三角形，就需要证明三角形EBC和三角形CGH全等，利用角度变换关系就可以得证了。第25题第三部分 思考题解析【思考1解析】（1）证明： ， 又 ， （2）证明：如图，过点作，交于点， 是的中点，容易证明在中， ， （3）解：的周长， 设，则 ， 即 由（1）知， 的周长的周长 的周长与值无关 图8【思考2答案】解：（1）BPD= 30 °； （2）如图8，连结CD 解一： 点D在PBC的平分线上， 1=2 ABC是等边三角形， BA=BC=AC，ACB= 60

12、° BP=BA BP=BC BD= BD， PBDCBD BPD=3- DB=DA，BC=AC，CD=CD， BCDACD BPD =30° 解二： ABC是等边三角形 BA =BC=AC DB=DA， CD垂直平分AB BP=BA， BP=BC 点D在PBC的平分线上， PBD与CBD关于BD所在直线对称 BPD=3 BPD =30° （3）BPD= 30°或 150° 图形见图9、图10 图9图10 【思考3解析】解：（1）过点A作AEBC,在RtABE中，由AB=5，cosB=得BE=3 CDBC，AD/BC，BC=6，AD=EC=BCBE=3 当BO=AD=3时， 在O中，过点O作OHAB,则BH=HP ,BH= BP= （2）不存在BP=MN的情况- 假设BP=MN成立，BP和MN为O的弦，则必有BOP=DOC 过P作PQBC，过点O作OHAB,CDBC，则有PQODOC- 设BO=x，则PO=x,由，得BH=, BP=2BH=. BQ=BP×cosB=，PQ=OQ=PQODOC，即，得 当时，BP=5=AB，与点P应在边AB上不符，不存在BP=MN的情况. 【思考4解析】M解：（1）直线与直线的位置关系为互相垂直证明：如图1，设直线与直线的交