用待定系数法求二次函数的解析式1

1、二次函数的图像与性质二次函数的图像与性质 说说 一一 说说y y3x3x2 2y yx x2 22x2x1 1说出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标说出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标: :y= -2x2+3y= - 4(x+3)2y= (x-2)2+121温温 故故 而而 知知 新新二次函数解析式有哪几种表达式？二次函数解析式有哪几种表达式？ 一般式：一般式：yax2+bx+c (a0) 顶点式：顶点式：ya(x-h)2+k (a0)特殊形式特殊形式 交点式：交点式：ya(x-x1)(x-x2) (a0)想一想想一想有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的

2、最大高度为的最大高度为16m16m，跨度为，跨度为40m40m施工前施工前要先制造建筑模板要先制造建筑模板, ,怎样画出模板的轮怎样画出模板的轮廓线呢廓线呢? ? 分析分析:通常要先建立适当的直角坐标系通常要先建立适当的直角坐标系,再再写出函数关系式写出函数关系式,然后再根据关系式进行计算然后再根据关系式进行计算,放样画图放样画图.思考：思考：如果要求二次函数解析式如果要求二次函数解析式y yaxax2 2bxbxc(a0)c(a0)中的中的a a、b b、c c，至少需要几个点的坐标？，至少需要几个点的坐标？ 猜一猜一 猜猜已知抛物线已知抛物线yax2bxc(a0)与与x轴交于轴交于A(-1

3、,0），），B(3，0)，并且过点，并且过点C(0,-3)，求抛物线的解析式？求抛物线的解析式？例题选讲例题选讲解：解： 设所求的二次函数为设所求的二次函数为 yax2bxc由条件得：由条件得：0=a-b+c0=9a+3b+c-3=c得：得： a1 b= -2 c= -3故所求的抛物线解析式为故所求的抛物线解析式为 y=x22x3一般式：一般式： y=ax2+bx+c交点式：交点式：y=a(x-x1)(x-x2)顶点式：顶点式：y=a(x-h)2+k例例1已知抛物线已知抛物线yax2bxc(a0)与与x轴交于轴交于A(-1,0），），B(3，0)，并且过点，并且过点C(0,-3)，求抛物线的解

4、析式？求抛物线的解析式？例题选讲例题选讲解：解： 设所求的二次函数为设所求的二次函数为y=a(x1)(x3）由条件得：由条件得：点点C( 0,-3)在抛物线上在抛物线上所以所以：a(01)(03)3得：得： a1故所求的抛物线解析式为故所求的抛物线解析式为 y= (x1)(x3)即：即：y=x22x3一般式：一般式： y=ax2+bx+c交点式：交点式：y=a(x-x1)(x-x2)顶点式：顶点式：y=a(x-h)2+k例例1一般式：一般式： y=ax2+bx+c交点式：交点式：y=a(x-x1)(x-x2)顶点式：顶点式：y=a(x-h)2+k例例2 已知抛物线的顶点在已知抛物线的顶点在(3

5、,-2),且与且与x轴两交点轴两交点的距离为的距离为4,求此二次函数的解析式求此二次函数的解析式.解：解：设函数关系式设函数关系式 y=a(x-3)2-2例题选讲例题选讲抛物线与抛物线与x轴两交点距离为轴两交点距离为4,对称轴为对称轴为x=3过点过点(5,0)或或(1,0)把把(1,0)代入得代入得, 4a=2a=21y= (x-3)2-2211、已知二次函数的图像过点、已知二次函数的图像过点(0, 0)，(1,3)，(2,-7)三点，则该二次函数关系式为三点，则该二次函数关系式为_。21522yxx 2、若二次函数的图像有最高点为、若二次函数的图像有最高点为(1,6)，且经过点，且经过点(2

6、，8），则此二次函数的关系式），则此二次函数的关系式_22(1)6yx 3、若二次函数的图像与、若二次函数的图像与x轴的交点坐标为轴的交点坐标为(1,0)、(2,0)且过点且过点(3,4)，则此二次函数的关系式为，则此二次函数的关系式为_2(1)(2)yxx练练 一一 练练知知 识识 应应 用用有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为的最大高度为16m16m，跨度为，跨度为40m40m施工前施工前要先制造建筑模板要先制造建筑模板, ,怎样画出模板的轮怎样画出模板的轮廓线呢廓线呢? ? 分析分析:通常要先建立适当的直角坐标系通常要先建立适当的直角坐标系,再

7、再写出函数关系式写出函数关系式,然后再根据关系式进行计算然后再根据关系式进行计算,放样画图放样画图.有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为的最大高度为16m16m，跨度为，跨度为40m40m现把它现把它的图形放在坐标系里的图形放在坐标系里( (如图所示如图所示) )，求抛，求抛物线的解析式物线的解析式 设抛物线的解析式为设抛物线的解析式为y=ax2bxc，解解法法一：一：根据题意可知根据题意可知:抛物线经过抛物线经过(0，0)，(20，16)和和(40，0)三点三点 可得方程组可得方程组 所求抛物线解析式为所求抛物线解析式为218255yxx 知知 识

8、识 应应 用用0,58,251cba解得有一个抛物线形的立交桥拱，这个有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为桥拱的最大高度为16m16m，跨度为，跨度为40m40m现把它的图形放在坐标系里现把它的图形放在坐标系里( (如图所示如图所示) )，求抛物线的解析式求抛物线的解析式 设抛物线为设抛物线为y=a(x-20)216 解解法法二二根据题意可知根据题意可知 点点(0，0)在抛物线上，在抛物线上， 所求抛物线解析式为所求抛物线解析式为 知知 识识 应应 用用设抛物线为设抛物线为y=ax(x-40 ）解：解：根据题意可知根据题意可知 点点(20，16)在抛物线上，在抛物线上， 有一个抛物线

9、形的立交桥拱，这个有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为桥拱的最大高度为16m16m，跨度为，跨度为40m40m现把它的图形放在坐标系里现把它的图形放在坐标系里( (如图所示如图所示) )，求抛物线的解析式求抛物线的解析式 知知 识识 应应 用用xy1620-20用待定系数法确定二次函数解析式的用待定系数法确定二次函数解析式的基本方法分四步完成：基本方法分四步完成：一设、二代、三解、四还原一设、二代、三解、四还原一设一设:指先设出二次函数的解析式指先设出二次函数的解析式二代二代:指根据题中所给条件，代入二次函数的指根据题中所给条件，代入二次函数的解析式，得到关于解析式，得到关于a、b、

10、c的方程组的方程组三解三解:指解此方程或方程组指解此方程或方程组四还原四还原:指将求出的指将求出的a、b、c还原回原解析式中还原回原解析式中方方 法法 小小 结结解：解： 根据题意得顶点为根据题意得顶点为(1,4)由条件得与由条件得与x轴交点坐标轴交点坐标(2,0)；(-4,0） 已知当已知当x1时，抛物线最高点的纵坐标为时，抛物线最高点的纵坐标为4，且与且与x轴两交点之间的距离为轴两交点之间的距离为6，求此函数解析式，求此函数解析式yox设二次函数解析式：设二次函数解析式：ya(x1)2+4有有0a(21)2+4，得，得a94故所求的抛物线解析式为故所求的抛物线解析式为 y= (x1)249

11、4 动动 手手 做做 一一 做做 回回 顾顾 与与 反反 思思已知图象上三点或三对的对应值，已知图象上三点或三对的对应值， 通常选择一般式通常选择一般式已知图象的顶点坐标（对称轴和最值）已知图象的顶点坐标（对称轴和最值） 通常选择顶点式通常选择顶点式已知图象与已知图象与x轴的两个交点的横坐标轴的两个交点的横坐标x1、x2， 通常选择交点式通常选择交点式yxo确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达式，恰当地选用一种函数表达式， 已知四点已知四点A(1,2)、B(0,6)、C(-2,20)、D(-1,12）试问是否存在一个二次函数，使它的图像同时试问是否存在一个二次函数，使它的图像同时经过经过 这四个点？如果存在，请求出关系式；这四个点？如果存在，请求出关系式；如果不存在，请说明理由如果不存在，请说明理由