垂直于弦的直径

1、24.1.2 垂直于弦的直径 1.1.理解圆的轴对称性及垂径定理及其它的推证过程；理解圆的轴对称性及垂径定理及其它的推证过程；能初步应用垂径定理进行计算和证明能初步应用垂径定理进行计算和证明. .2.2.进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力的能力. .3.3.通过圆的对称性，培养学生的数学审美观，并通过圆的对称性，培养学生的数学审美观，并激发学生对数学的热爱激发学生对数学的热爱学习目标学习目标 学习重点学习重点：理解圆的轴对称性，掌握垂径理解圆的轴对称性，掌握垂径定理及其推论，学会运用垂径定理等结论定理及其推论，学会运用垂径定理等结论解决一

2、些有关证明、计算和作图问题。解决一些有关证明、计算和作图问题。 学习难点学习难点：垂径定理及其推论。垂径定理及其推论。自学指导 认真看书认真看书81-83页，独立完成以下问题，看页，独立完成以下问题，看谁做得又对又快？谁做得又对又快？ 1、结合、结合81探究探究，同学们动手操作，你发现同学们动手操作，你发现了什么？你得到什么结论？你会证明你的了什么？你得到什么结论？你会证明你的结论结论吗？吗？ 2、什么什么是垂径定理是垂径定理？它的推论是什么？它的推论是什么？ 3、你知道解例你知道解例2的每步依据的每步依据吗？吗？问题问题 &探究探究1 1 用纸剪一个圆（课前布置学生准备好）用纸剪一个

3、圆（课前布置学生准备好） 圆是轴对称图形圆是轴对称图形 ，任何一条，任何一条直径直径所在直线所在直线都是它的对称轴都是它的对称轴2探究新知探究新知 不借助任何工具，你能找到圆形不借助任何工具，你能找到圆形纸片的圆心吗纸片的圆心吗? ?由此你能得到圆的什么特性？由此你能得到圆的什么特性？ 实践探究实践探究把一个圆沿着它的任意一条直径对折，把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？什么结论？可以发现：可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴它的对称轴如图，如图，AB

4、是是 O的一条弦，做直径的一条弦，做直径CD，使，使CDAB，垂足为，垂足为E（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？OABCDE活活 动动 二二（1）是轴对称图形直径）是轴对称图形直径CD所在的所在的直线是它的对称轴直线是它的对称轴（2） 线段：线段： AE=BE弧：，弧：，把圆沿着直径把圆沿着直径CD折叠时，折叠时，CD两侧的两个半圆重合，两侧的两个半圆重合，点点A与点与点B重合，重合，AE与与BE重合，重合，和和 重合，重合，和和

5、重合重合叠叠 合合 法法垂径定理垂径定理垂直于弦的直径垂直于弦的直径平分平分这条弦这条弦，并并且且平分弦所对的两条弧平分弦所对的两条弧。题设题设结论结论（1）过圆心）过圆心（2）垂直于弦）垂直于弦（3）平分弦）平分弦（4）平分弦所对的优弧）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧）平分弦所对的劣弧3获得新知获得新知垂径定理垂径定理垂直于弦垂直于弦的的直径直径平分弦平分弦, ,并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧CDABCDAB CD CD是直径，是直径， AE=BE, AE=BE, AC =BC, AC =BC,AD =BD.AD =BD.OABCDE 老师提示老师提示: : 垂径定理是

6、圆中一个重要的定理垂径定理是圆中一个重要的定理, ,三种语言要相互转化三种语言要相互转化, ,形成整体形成整体, ,才能运用自如才能运用自如. .3获得新知获得新知知二推三知二推三问题问题 &探究探究3 3 问题：把垂径定理中的题设问题：把垂径定理中的题设垂直于弦垂直于弦的的直径换为直径换为平分弦平分弦的直径。你会得到什么结论？的直径。你会得到什么结论？ 垂径定理推论垂径定理推论 平分弦平分弦（不是直径）（不是直径）的直径垂的直径垂直于弦直于弦, ,并且平分弦所对的两条弧。并且平分弦所对的两条弧。 CDAB,CDAB, CD CD是直径，是直径， AE=BE AE=BE AC =BC,

7、 AC =BC,AD =BD.AD =BD.OABCDE（2 2）“不是直径不是直径”这个条件能去掉吗？如这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例。果不能，请举出反例。 平分弦平分弦（不是直径）（不是直径）的直径垂直于的直径垂直于弦弦, ,并且平分弦所对的两条弧。并且平分弦所对的两条弧。OABCD CD CD是直径是直径, , CDAB, CDAB, AM=BM AM=BM AC=BC,AC=BC, AD=BD.AD=BD. 如果具备上面五个条件中的任何两个，那如果具备上面五个条件中的任何两个，那么一定可以得到其他三个结论吗？么一定可以得到其他三个结论吗？ 一条直线一条直线满足满足:(1):(1

8、)过圆心过圆心;(2);(2)垂直于弦垂直于弦;(3);(3)平分弦平分弦（不是直径）（不是直径）; (4); (4)平分弦所对优弧平分弦所对优弧;(5);(5)平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧. .OABCDM课堂讨论课堂讨论根据已知条件进行推导：根据已知条件进行推导：过圆心过圆心垂直于弦垂直于弦 平分弦平分弦 平分弦所对优弧平分弦所对优弧 平分弦所对劣弧平分弦所对劣弧（1 1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所 对的两条弧。对的两条弧。（3 3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所

9、对的两条弧。（2 2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分 弦所对的另一条弧。弦所对的另一条弧。只要具备上述五个条件中任两个只要具备上述五个条件中任两个,就可以推出其余三个就可以推出其余三个.(4)若若 ，CD是直径是直径,则则 、 、 .(1)若若CDAB, CD是直径是直径, 则则 、 、 .(2)若若AM=MB, CD是直径是直径, 则则 、 、 .(3)若若CDAB, AM=MB, 则则 、 、 .1.如图所示如图所示:练习练习OABCDMAM=BM AC=BC AD=BD CDAB AC=BC AD=BD CD是直径是直径 A

10、C=BC AD=BD AC=BC CDABAM=BM AD=BD EDCOAB下列图形是否具备垂径定理的条件？下列图形是否具备垂径定理的条件？ECOABDOABc是是不是不是是是不是不是OEDCABEDCOABOBCADDOBCAOBAC垂径定理的几个基本图形：垂径定理的几个基本图形：CDCD过圆心过圆心CDABCDAB于于E EAE=BEAC=BCAD=BD1 1、如图，、如图，ABAB是是O O的直径，的直径，CDCD为弦，为弦，CDABCDAB于于E E，则下列结论中则下列结论中不成立不成立的是（的是（ ）A、COE=DOEOE=DOEB、CE=DECE=DEC、OE=AEOE=AED、

11、BD=BCBD=BC OABECDC C2 2、如图，、如图，OEABOEAB于于E E，若，若O O的半径为的半径为10cm,OE=6cm,10cm,OE=6cm,则则AB=AB= cmcm。OABE解：解：连接连接OAOA， OEABOEABcmOEOAAE8=610= =2222 AB=2AE=16cm AB=2AE=16cm3 3、如图，在、如图，在O中，弦中，弦ABAB的长为的长为8cm8cm，圆，圆心心O到到AB的距离为的距离为3cm3cm，求，求O的半径。的半径。OABE解：解：过点过点O O作作OEABOEAB于于E E，连接，连接OAOAcmOEcmABAE3=4=21=cm

12、OEAEAE5=34= =2222即即O的半径为的半径为5 5cm.cm.4 4、如图，、如图，CDCD是是O的直径，弦的直径，弦ABCDABCD于于E E，CE=1CE=1，AB=10AB=10，求直径，求直径CDCD的长。的长。OABECD解：解：连接连接OAOA， CD CD是直径，是直径，OEABOEAB AE=1/2 AB=5 AE=1/2 AB=5设设OA=xOA=x，则，则OE=x-1OE=x-1，由勾股定理得，由勾股定理得x x2 2=5=52 2+(x-1)+(x-1)2 2解得：解得：x=13x=13 OA=13 OA=13 CD=2OA=26 CD=2OA=26即直径即直

13、径CDCD的长为的长为26.26.如图，如图，1 400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是 37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，你能求赵州桥，你能求赵州桥主桥拱的半径吗？主桥拱的半径吗？例例 2 237m7.23mABOCD关于弦的问题，常关于弦的问题，常常需要常需要过圆心作弦过圆心作弦的垂线段的垂线段，这是一，这是一条非常重要的条非常重要的辅助辅助线线。圆心到弦的距离、圆心到弦的距离、半径、弦半径、弦构成构成直角直角三角形三角形，便

14、将问题，便将问题转化为直角三角形转化为直角三角形的问题。的问题。ABOCD解：解：如图，用如图，用ABAB表示主桥拱，设表示主桥拱，设ABAB所在的圆的圆心为所在的圆的圆心为O O，半径为，半径为R R. .经过圆心经过圆心O O作弦作弦ABAB的垂线的垂线OCOC垂足为垂足为D D，与，与ABAB交于点交于点C C，则，则D D是是ABAB的中的中点，点，C C是是ABAB的中点，的中点，CDCD就是拱高就是拱高. . AB=37m AB=37m，CD=7.2CD=7.23 3m m AD=1/2 AB=18. AD=1/2 AB=18.5 5m m，OD=OC-CD=OD=OC-CD=R

15、R-7.2-7.23 3 222ADODOA解得解得R R27.27.3 3（m m）即即主桥拱半径约为主桥拱半径约为27.27.3 3m.m.22223. 75 .18RR2.2.（湖州（湖州中考）如图，已知中考）如图，已知O O的直径的直径ABAB弦弦CDCD于点于点E E，下列结论中一定正确的是（，下列结论中一定正确的是（ ）A AAEAEOE OE B BCECEDEDE12CECEC COEOED DAOCAOC6060B B1.1.（绍兴（绍兴中考）已知中考）已知O O的半径为的半径为5,5,弦弦ABAB的弦心的弦心距为距为3,3,则则ABAB的长是的长是( )( )A.3 B.4 C.6 D.8A.3 B.4 C.6 D.8D D四、当堂检测四、当堂检测 巩固新知巩固新知2 2、已知：如图，在以、已知：如图，在以O O为圆为圆心的两个同心圆中，大圆的弦心的两个同心圆中，大圆的弦ABAB交小圆于交小圆于C C，D D两点两点. .求证：求证：ACACBD.BD.证明：证明：过过O O作作OEABOEAB，垂足为，垂足为E E，则则AEAEBEBE，CECEDE.DE.AEAECECEBEBEDE.DE.所以，所以，ACACBDBDE E. .A AC CD DB BO O通过本课时的学