华东师大版九年级数学上册：2225《一元二次方程的根与系数的关系》课件

1、5. 一元二次方程根与系数的关系根与系数的关系 1.一元二次方程的一般形式是什么？一元二次方程的一般形式是什么？3.一元二次方程的根的情况怎样确定？一元二次方程的根的情况怎样确定？2.一元二次方程的求根公式是什么？一元二次方程的求根公式是什么？) 0( 02acbxaxacb42没有实数根两个相等的实数根两个不相等的实数根000) 04(2422acbaacbbx 解下列方程，将得到的解填入下面的解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，你发现表格中的表格中，你发现表格中的两个解两个解的的和和与与积积和和原来的方程的系数原来的方程的系数有什么联系？有什么联系？方方 程程x x1 1x x2 2x

2、 x1 1+x+x2 2x x1 1x x2 2x x2 2-2x=0-2x=0 x x2 2+3x-4=0+3x-4=0 x x2 2-5x+6=0-5x+6=0-402201-3-42356 探索探索1 一般地，对于关于一般地，对于关于x的方程的方程x2+p x+q=0 （p、q为已知常数，为已知常数，p2-4q0），试用求根），试用求根公式求出它的两个解公式求出它的两个解x1、x2， 算一算算一算x1+x2、x1、x2 的值，你能发现什么结论？与前面的值，你能发现什么结论？与前面的观察的结果是否一致？的观察的结果是否一致？ 242qpP 关于关于x的方程的方程x2+p x+q=0 （p、

3、q为已知为已知常数，常数，p2-4q0），用求根公式求得），用求根公式求得x1 = 、x2 = 则则x1+x2=-p，x1 x2=q，这说明一元二次，这说明一元二次方程的系数与方程的两个根之间总存在一定方程的系数与方程的两个根之间总存在一定的数量关系。用这种关系可以在已知一元二的数量关系。用这种关系可以在已知一元二次方程一个根的情况下求出另一个根及未知次方程一个根的情况下求出另一个根及未知系数，或求作一个一元二次方程。系数，或求作一个一元二次方程。242qpp结论：结论：填写下表：填写下表：方程方程两个根两个根两根两根之和之和两根两根之积之积a与与b之间之间关系关系a与与c之间之间关系关系1x

4、2x21xx 21xx abac猜想：猜想：如果一元二次方程如果一元二次方程 的两个根的两个根分别是分别是 、 ，那么，你可以发现什么结论？，那么，你可以发现什么结论？)0(02acbxax1x2x0432xx0652xx01322 xx23212123214656531213434探索探索2 依据探索依据探索1 1过程，自己探索关过程，自己探索关于于x x的方程的方程axax2 2+bx+c=0(a0+bx+c=0(a0）的两根）的两根x x1 1 x x2 2与系数与系数a a、b b、c c之间有何关系？之间有何关系？友情提示友情提示根与系数的关系存在的前提条根与系数的关系存在的前提条件

5、是：（件是：（1)a0(2)b1)a0(2)b2 2-4ac-4ac0 0 形如形如a ax x2 2+bx+c=0(a0+bx+c=0(a0）xx2 2+px+q=0+px+q=0形式，形式，转化转化 x x1 1+x+x2 2=-p x=-p x1 1x x2 2=q=qacxxabxx 2121,已知：已知：如果一元二次方程如果一元二次方程 的两个根分别是的两个根分别是 、 。abxx21acxx21)0(02acbxax1x2x求证：求证：推导推导:aacbbaacbbxx24242221aacbbacbb24422ab22abaacbbaacbbxx2424222122244aacb

6、b244aacac 如果一元二次方程如果一元二次方程 的两个根分别是的两个根分别是 、 ，那么：，那么：abxx21acxx21)0(02acbxax1x2x这就是一元二次方程这就是一元二次方程根与系数的关系根与系数的关系，也叫，也叫韦达定理韦达定理。0462 xx235 0 xx 522x22350 xx 0732xx1.3.2.4.5. 口答下列方程的两根之和与两根之积。口答下列方程的两根之和与两根之积。0122 xx21,xx_21xx_21xx632 xx21,xx0932mxx_21xx_21xx02 qpxx例例1 112,xx2241 0 xx 2212xx121212,2xxx

7、x 222121212()2xxxxx x2122 ()2 5例例2 利用根与系数的关系，求一元二次方程利用根与系数的关系，求一元二次方程 两个根的；（两个根的；（1）平方和；（）平方和；（2）倒数和）倒数和01322xx解：设方程的两个根是解：设方程的两个根是x1 x2，那么，那么 121222212121 2212121 231,221()23113222411312322xxx xxxxxx xxxxxx x 解：设方程的两根分别为解：设方程的两根分别为 和和 ， 则：则： 而方程的两根互为倒数而方程的两根互为倒数 即：即： 所以：所以： 得：得：例例3. 方程方程 的两根互的两根互为倒

8、数，求为倒数，求k的值。的值。01232kkxx1x2x1221xxk121xx112k1k1 1、如果、如果-1-1是方程是方程2X X2 2X+m=0X+m=0的一个根，则另的一个根，则另 一个根是一个根是_，m =_m =_。2 2、设、设 X1、X2是方程是方程X X2 24X+1=04X+1=0的两个根，则的两个根，则 X1+X2 = _ ,X1X2 = _， X12+X22 = ( = ( X1+X2)2 - - _ = _ ( ( X1-X2)2 = ( ( _ )2 - - 4X1X2 = _ 3、判断正误：、判断正误： 以以2和和-3为根的方程是为根的方程是X X2 2X-6

9、=0 X-6=0 （ ）4 4、已知两个数的和是、已知两个数的和是1 1，积是，积是-2-2，则这两个数是，则这两个数是 _ 。X1+X22X1X2-34114122和和-1基基础础练练习习（还有其他解法吗？）（还有其他解法吗？）23 5. 已知方程已知方程 的一个根的一个根是是2，求它的另一个根及，求它的另一个根及k的值的值. 解：设方程解：设方程 的两个根的两个根 分别是分别是 、 ，其中，其中 。 所以：所以： 即：即： 由于由于 得：得：k=-7 答：方程的另一个根是答：方程的另一个根是 ，k=-70652kxx0652kxx1x2x21x562221xxx532x5)53(221kx

10、x53补充规律补充规律：u两根均为负的条件：两根均为负的条件： X1+X2 且且 X1X2 。 u两根均为正的条件：两根均为正的条件： X1+X2 且且 X1X2 。 u两根一正一负的条件：两根一正一负的条件： X1+X2 且且 X1X2 。 u当然，以上还必须满足一元二次方程有根的当然，以上还必须满足一元二次方程有根的条件：条件：b2-4ac0 例例 方程方程x2 (m 1)x 2m 1 0求求m满足什么条满足什么条件时件时,方程的两根互为相反数？方程的两根方程的两根互为相反数？方程的两根互为倒数？方程的一根为零？互为倒数？方程的一根为零？解解: :(m 1)2 4(2m 1) m2 6m

11、5两根互为相反数两根互为相反数 两根之和两根之和m 1 0,m1,且且0 m1时时, ,方程的两根互为相反数方程的两根互为相反数. .两根互为倒数两根互为倒数 m2 6m 5, 两根之积两根之积2m 1 1 m 1且且0, m 1时时, ,方程的两根互为倒数方程的两根互为倒数. .方程一根为方程一根为0, 两根之积两根之积2m 1 0 且且0, 时时, ,方程有一根为零方程有一根为零. .21m21m引申引申:1:1、若、若ax2 bx c 0 (a 0 0)（1 1）若两根互为相反数）若两根互为相反数, ,则则b 0;（2 2）若两根互为倒数）若两根互为倒数, ,则则a c;（3 3）若一根为）若一根为0, ,则则c 0 ; ;（4 4）若一根为）若一根为1,1,则则a b c 0 ; ;（5 5）若一根为）若一根为 1, ,则则a b c 0;（6 6）若）若a、c