全等三角形的概念、表示方法及性质

1、第第1414章章 全等三角形全等三角形14.1 14.1 全等三角形全等三角形1课堂讲解课堂讲解u全等形全等形 u全等三角形及对应元素全等三角形及对应元素 u全等三角形的性质全等三角形的性质2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升全等三角形的判定和性质是初中平面几何中的重要内容全等三角形的判定和性质是初中平面几何中的重要内容. .ABC ABC（SAS）ABC EDC（ASA）ABC DEF（SSS）1知识点知识点全全 等等 形形 如图，按同一底版印制的两枚邮票，它们如图，按同一底版印制的两枚邮票，它们的形状相同、大小一样的形状相同、大小一样. .知知1 1导导知

2、知1 1导导 像如图那样，把像如图那样，把ABC叠到叠到DEF上，两个上，两个三角形能够完全重合，表明它们的形状和大小一样三角形能够完全重合，表明它们的形状和大小一样. 能够完全重合的两个图形，叫做能够完全重合的两个图形，叫做全等形全等形. 知知1 1讲讲 1.定义：定义：能够能够完全重合完全重合的两个图形叫做全等形的两个图形叫做全等形 要点精析：要点精析： (1)图形的全等与它们的位置无关，只要满足能够图形的全等与它们的位置无关，只要满足能够 完全重合即可完全重合即可完全重合包含完全重合包含两层含义：图形两层含义：图形 的的形状相同、大小相等形状相同、大小相等； (2)全等形的周长、面积分别

3、相等，但周长或面积全等形的周长、面积分别相等，但周长或面积 相等的两个图形不一定是全等形相等的两个图形不一定是全等形2.几种常用的全等变换方式：几种常用的全等变换方式：平移、翻折、旋转平移、翻折、旋转（来自（来自点拨点拨）知知1 1讲讲例例1 如图中是全等形的是如图中是全等形的是_ 导引：导引：上述图形中，上述图形中，和和形状相同，但大小不同，形状相同，但大小不同，和和 大小、形状都不同；大小、形状都不同；和和、和和、和和尽管方尽管方 向不同，但大小、形状完全相同，所以它们是全等形，向不同，但大小、形状完全相同，所以它们是全等形， 和和都是五角星，大小、形状都相同，是全等形都是五角星，大小、形

4、状都相同，是全等形（来自（来自点拨点拨）和和、和和、和和、和和 总总 结结知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）(1)此题运用定义识别全等形，确定两个图形全此题运用定义识别全等形，确定两个图形全 等要符合两个条件：等要符合两个条件： 形状相同，形状相同， 大小相等；是否是全等形与位置无关大小相等；是否是全等形与位置无关(2)判断两个全等形还可以通过平移、旋转、翻判断两个全等形还可以通过平移、旋转、翻 折等方法把两个图形叠合在一起，看它们能折等方法把两个图形叠合在一起，看它们能 否完全重合，即用否完全重合，即用叠合法叠合法判断判断 1 如图，有如图，有6个条形方格图，图中由实线围成的图形个条形方格

5、图，图中由实线围成的图形 中，全等形有：中，全等形有：(1)与与_；(2)与与_2 下列四组图形中，是全等形的一组是下列四组图形中，是全等形的一组是()知知1 1练练（来自（来自典中点典中点） 3 下列说法中正确的有下列说法中正确的有() 用一张底片冲洗出来的用一张底片冲洗出来的10张张1寸相片是全等形；寸相片是全等形； 我国国旗上的我国国旗上的4颗小五角星是全等形；颗小五角星是全等形； 所有的正方形是全等形；所有的正方形是全等形； 全等形的面积一定相等全等形的面积一定相等 A1个个 B2个个 C3个个 D4个个知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）4 下列命题：下列命题：两个图形全等，它们

6、的形状相同；两个图形全等，它们的形状相同； 两个图形全等，它们的大小相同；两个图形全等，它们的大小相同；面积相面积相 等的两个图形全等；等的两个图形全等；周长相等的两个图形全周长相等的两个图形全 等其中正确的个数为等其中正确的个数为() A1个个 B2个个 C3个个 D4个个知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）2知识点知识点全等三角形及对应元素全等三角形及对应元素知知2 2讲讲1.全等三角形的定义：全等三角形的定义： 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形2.全等三角形对应元素：全等三角形对应元素： 把两个全等的三角形重合到一起，把两个全等的三角形重合

7、到一起， (1)对应顶点：重合的顶点；对应顶点：重合的顶点； (2)对应边：重合的边；对应边：重合的边； (3)对应角：重合的角对应角：重合的角知知2 2讲讲3.全等三角形的表示法：全等三角形的表示法： 如图，如图，ABC和和DEF全等，记作全等，记作ABC DEF， 符号符号“ ”读作读作全等于全等于其中其中“”表示形状相同，表示形状相同， “”表示大小相等记两个三角形全等时，通常把表示大小相等记两个三角形全等时，通常把 表示对应顶点的字母写在对应的位置上，如点表示对应顶点的字母写在对应的位置上，如点A和点和点 D，点，点B 和点和点E ，点，点C和点和点F是对应顶点；是对应顶点；AB和和D

8、E， BC和和EF，AC和和DF是对应边；是对应边；A和和D，B和和 E，C和和F是对应角是对应角知知2 2讲讲4教你一招：教你一招：对应元素的确定方法：对应元素的确定方法： (1)字母顺序确定法：根据书写规范，按照对应顶点确字母顺序确定法：根据书写规范，按照对应顶点确 定对应边、对应角，如定对应边、对应角，如CAB FDE，则，则AB与与 DE、AC与与DF、BC与与EF是对应边，是对应边，A和和D、 B和和E、C和和F是对应角；是对应角； (2)图形位置确定法：图形位置确定法：公共边一定是对应边，公共边一定是对应边，公共公共 角一定是对应角；角一定是对应角；对顶角一定是对应角；对顶角一定是

9、对应角； (3)图形大小确定法：两个全等三角形的最大的边图形大小确定法：两个全等三角形的最大的边(角角) 是对应边是对应边(角角)，最小的边，最小的边(角角)是对应边是对应边(角角)知知2 2讲讲 (4)对应边对应边(或角或角)与对边与对边(或角或角)的区别：对应边、对应的区别：对应边、对应 角是对两个三角形而言的，指两条边、两个角的角是对两个三角形而言的，指两条边、两个角的 关系；而对边、对角是指一个三角形的边和角的关系；而对边、对角是指一个三角形的边和角的 位置关系对边是与角相对的边，对角是与边相位置关系对边是与角相对的边，对角是与边相 对的角对的角5.易错警示：易错警示：记两个三角形全等

10、时，通常把表示对应记两个三角形全等时，通常把表示对应 顶点的字母写在对应的位置上，字母顺序不能随意顶点的字母写在对应的位置上，字母顺序不能随意 书写书写（来自（来自点拨点拨）知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）解：解：AB与与ED，AC与与EC，BC与与DC是对应边；是对应边； A与与E，B与与D，ACB与与ECD 是对应角是对应角导引：导引：用用“ ”表示两个三角形全等时，对应顶点的字母表示两个三角形全等时，对应顶点的字母 写在对应的位置上，先把两个三角形顶点的字母写在对应的位置上，先把两个三角形顶点的字母 按照同样的顺序排成一排：按照同样的顺序排成一排：ABC，ED C，然后按照同样的顺序

11、写出对应元素，然后按照同样的顺序写出对应元素例例2 已知已知ABC EDC，指出其对应边和对应角，指出其对应边和对应角总总 结结知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨） 根据字母顺序找对应元素的前提条根据字母顺序找对应元素的前提条件是：用件是：用“ ”表示两个三角形全等时，表示两个三角形全等时，对应顶点的字母必须写在对应的位置上对应顶点的字母必须写在对应的位置上 知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）解：解：其他的对应边是其他的对应边是AB和和BA，对应角是，对应角是CBA和和 DAB，CAB和和DBA，ACB和和BDA.导引：导引：因为已经知道了两组对应边，所以剩下的一组边因为已经知道了两组对应边

12、，所以剩下的一组边 是对应边根据对应边所对的角是对应角，容易是对应边根据对应边所对的角是对应角，容易 发现对应角，所以比较容易发现发现对应角，所以比较容易发现AC的对角的对角CBA 和和BD的对角的对角DAB是对应角，是对应角，BC的对角的对角CAB 和和AD的对角的对角DBA是对应角，剩下的一组角是对应角，剩下的一组角 ACB和和BDA是对应角是对应角 例例3 如图，如图，ACB BDA，AC和和 BD对应，对应，BC和和AD对应，写出对应，写出 其他的对应边及对应角其他的对应边及对应角总总 结结知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨） 根据对应边根据对应边( (角角) )找对应角找对应角( (

13、边边) )的方法：对应边所对的角是对应角，的方法：对应边所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边对应角所对的边是对应边知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）解：解：由题意得由题意得ABC DBE， AB与与DB，AC与与DE，BC与与BE是对应边，是对应边， A与与BDE，ABC与与DBE，C与与E是对应角是对应角导引：导引：将将ABC绕其顶点绕其顶点B旋转得到旋转得到DBE，只改变了图形，只改变了图形 的位置，而没有改变形状和大小，故的位置，而没有改变形状和大小，故ABC与与 DBE全等，再写出对应边与对应角全等，再写出对应边与对应角 例例4 如图，将如图，将ABC绕其顶点绕其顶点B顺时针旋转

14、顺时针旋转 一定角度后得到一定角度后得到DBE，请说出图中，请说出图中 两个全等三角形的对应边和对应角两个全等三角形的对应边和对应角总总 结结知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨） 旋转变换前后位置的边是对应边，旋转变换前后位置的边是对应边，前后位置的角是对应角前后位置的角是对应角 1 已知：如图，已知：如图，ABC CED, B与与DEC是对应角，是对应角，BC与与 ED是对应边是对应边.说出另外两组对说出另外两组对 应角和对应边应角和对应边.2 如图，沿直线如图，沿直线AC对折，对折，ABC 与与ADC重合，则重合，则ABC _， AB的对应边是的对应边是 _，BCA的对应角是的对应角是_知

15、知2 2练练（来自（来自典中点典中点）（来自教材）（来自教材）3 如图，将如图，将ABC沿沿BC所在的直线平所在的直线平 移到移到ABC的位置，则的位置，则ABC _ABC，图中，图中A与与_， B与与_，ACB与与_是是 对应角对应角知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）3知识点知识点全等三角形的性质全等三角形的性质知知3 3讲讲1.性质：性质：全等三角形的对应边全等三角形的对应边相等相等，对应角，对应角相等相等 还具备：全等三角形对应边上的中线相等，对应还具备：全等三角形对应边上的中线相等，对应 边上的高相等，对应角平分线相等；全等三角形边上的高相等，对应角平分线相等；全等三角形 的周长

16、相等、面积也相等的周长相等、面积也相等 要点精析：要点精析： (1)全等三角形的对应元素相等其中，对应元素全等三角形的对应元素相等其中，对应元素 包括：对应边、对应角、对应中线、对应高、包括：对应边、对应角、对应中线、对应高、 对应角平分线、对应周长、对应面积等；对应角平分线、对应周长、对应面积等；知知3 3讲讲 (2)在应用全等三角形性质时，要先确定两在应用全等三角形性质时，要先确定两 个条件：个条件： 两个三角形全等；两个三角形全等；找对应元素；找对应元素； (3)全等三角形的性质是证明线段、角相等全等三角形的性质是证明线段、角相等 的常用方法的常用方法2.易错警示：易错警示：周长相等的两

17、个三角形不一定周长相等的两个三角形不一定 全等，面积相等的两个三角形也不一定全等全等，面积相等的两个三角形也不一定全等（来自（来自点拨点拨）知知3 3讲讲解：解：ABC FDE，ABFD. ABDBFDDB，即，即ADFB. AB8 cm，BD6 cm， ADABDB862(cm) FBAD2cm. 例例5 如图，已知点如图，已知点A，D，B，F在同一在同一 条直线上，条直线上，ABC FDE，AB 8 cm，BD6 cm.求求FB的长的长导引：导引：由全等三角形的性质知由全等三角形的性质知ABFD，由等式的性，由等式的性 质可得质可得ADFB，所以要求，所以要求FB的长，只需求的长，只需求

18、AD的长的长（来自（来自点拨点拨）总总 结结知知3 3讲讲（来自（来自点拨点拨）(1)全等三角形的性质在几何证明和计算中起全等三角形的性质在几何证明和计算中起 着重要作用，当所求线段不是全等三角形着重要作用，当所求线段不是全等三角形 的对应边时，可利用等式的性质进行转换，的对应边时，可利用等式的性质进行转换， 从而找到所求线段与已知线段的关系从而找到所求线段与已知线段的关系(2)本题运用本题运用转化思想转化思想，通过全等三角形的性，通过全等三角形的性 质，可把线段质，可把线段AB转化转化成线段成线段DF，再利用，再利用 等式的性质可把求线段等式的性质可把求线段FB的长的长转化转化成求线成求线

19、段段AD的长的长知知3 3讲讲 例例6 如图，如图，RtABC RtCDE， BD90，且，且B，C，D 三点在一条直线上，求三点在一条直线上，求ACE的的 度数度数导引：导引：要求要求ACE，求，求ACB、ECD或或ACB ECD即可由于即可由于ACB和和ECD无法求出，无法求出， 因此必须求因此必须求ACBECD.由由RtABC RtCDE，可知，可知BACDCE，结合直角，结合直角 三角形两锐角互余的性质，可求三角形两锐角互余的性质，可求ACB与与 ECD的度数和，再根据平角的定义可求的度数和，再根据平角的定义可求 ACE的度数的度数知知3 3讲讲解：解：RtABC RtCDE， BAC

20、DCE. 又又在在RtABC中，中，B90， ACBBAC90. ACBECD90. ACE180(ACBECD) 1809090.（来自（来自点拨点拨）总总 结结知知3 3讲讲（来自（来自点拨点拨）(1)利用全等三角形的性质求角的度数的方法：利用全等三角形的性质求角的度数的方法： 利用全等三角形的性质先确定两个三角形中角利用全等三角形的性质先确定两个三角形中角 的对应关系，由这种关系实现已知角和未知角的对应关系，由这种关系实现已知角和未知角 之间的转换，从而求出所要求的角的度数之间的转换，从而求出所要求的角的度数(2)本题主要利用了全等三角形对应角相等的性本题主要利用了全等三角形对应角相等的

21、性 质，通过全等三角形把属于两个三角形的质，通过全等三角形把属于两个三角形的 ACB、ECD联系在一起，并将它们作为联系在一起，并将它们作为 一个整体求出其度数的和一个整体求出其度数的和知知3 3讲讲 例例7 如图，将长方形如图，将长方形ABCD沿沿AE折叠，使点折叠，使点D落落 在在BC边上的点边上的点F处，若处，若BAF56，则，则 DAE_.导引：导引：因为因为AEF是由是由AED沿直线沿直线AE折叠而成的，折叠而成的， 所以所以ADE AFE，所以，所以DAEFAE. 因为因为BAF56，BAD90，所以，所以 DAF90BAF905634， 所以所以DAE DAF 3417.（来自（

22、来自点拨点拨）121217总总 结结知知3 3讲讲（来自（来自点拨点拨） 解决折叠问题的关键是弄清在折叠解决折叠问题的关键是弄清在折叠过程中发生的是全等变换，即折叠前后过程中发生的是全等变换，即折叠前后的两个图形的两个图形( (本例是三角形本例是三角形) )全等，其折全等，其折叠前后的对应边相等，对应角相等类叠前后的对应边相等，对应角相等类似地，还有平移和旋转问题在此过程似地，还有平移和旋转问题在此过程中，往往产生了全等三角形，然后根据中，往往产生了全等三角形，然后根据全等三角形的性质解题全等三角形的性质解题知知3 3讲讲解：解：方法一：相等方法一：相等 ADC ECD，SADCSECD. 又

23、又ABD与与ADC同底等高，同底等高， SABDSADC. SABDSECD. 例例8 如图，四边形如图，四边形ABCD是梯形，是梯形，AD BC，若，若DEAC交交BC的延长线的延长线 于点于点E，且，且ADC ECD.试问：试问： 梯形梯形ABCD的面积和的面积和BDE的面积相等吗？谈谈的面积相等吗？谈谈 你的看法你的看法知知3 3讲讲SABDSBCDSECDSBCD，即即S梯形梯形ABCDSBED.方法二：相等方法二：相等ADC ECD，ADEC.又又ADBE，SECDSABD(等底等高的两个三角形等底等高的两个三角形 面积相等面积相等)SABDSBCDSECDSBCD，即即S梯形梯形ABCDSBDE.（来自（来自点拨点拨）总总