线性代数笔记

1、线性代数（经管类）综合试题一（课程代码 4184）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.设D=M0，则D1= ( B)A.2M B.2M C.6M D.6M2.设 A、B、C为同阶方阵，若由AB = AC必能推出 B = C，则A应满足 ( D )A. A O B. A = O C.|A|= 0 D. |A|03.设A，B均为n阶方阵，则 ( A )A.|A+AB|=0，则|A|=0或|E+B|=0 B.(A+B)2=A2+2AB+B2C.当AB=O时，有A=O或B=

2、O D.(AB)-1=B-1A-14.二阶矩阵A，|A|=1，则A-1= ( B ) A. B. C. D.5.设两个向量组与，则下列说法正确的是( B )A.若两向量组等价，则s = t .B.若两向量组等价，则r()= r() C.若s = t，则两向量组等价.D.若r()= r()，则两向量组等价.6.向量组线性相关的充分必要条件是 ( C )A. 中至少有一个零向量B. 中至少有两个向量对应分量成比例C. 中至少有一个向量可由其余向量线性表示D. 可由线性表示7.设向量组有两个极大无关组与，则下列成立的是( C ) A. r与s未必相等 B. r + s = mC. r = s D.

3、r + s > m8.对方程组Ax = b与其导出组Ax = o，下列命题正确的是( D )A. Ax = o有解时，Ax = b必有解.B. Ax = o有无穷多解时，Ax = b有无穷多解.C. Ax = b无解时，Ax = o也无解.D. Ax = b有惟一解时，Ax = o只有零解.9.设方程组有非零解，则k = ( D )A. 2 B. 3 C. -1 D. 110.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是( D )A. |A|>0 B.存在n阶方阵C使A=CTCC.负惯性指标为零 D.各阶顺序主子式均为正数二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中

4、填上正确答案。错填、不填均无分。11.四阶行列式D中第3列元素依次为 -1，2，0，1，它们的余子式的值依次为5，3，-7，4，则D = -15 12.若方阵A满足A2 = A，且AE，则|A|= 0 .13.若A为3阶方阵，且 ，则|2A|= 4 14.设矩阵的秩为2，则t = -3 15.设向量(6，8，0)，=(4，3，5)，则(,)= 0 16.设n元齐次线性方程组Ax = o，r(A)= r < n，则基础解系含有解向量的个数为 n-r 个.17.设(1，1，0)，(0，1，1)，=(0，0，1)是R3的基，则=(1，2，3)在此基下的坐标为 (1,1,2) .18.设A为三阶

5、方阵，其特征值为1，-1，2，则A2的特征值为 1,1,4 .19.二次型的矩阵A=2 -2 0-2 3 1 0 1 -1 .20.若矩阵A与B=相似，则A的特征值为 1,2,3 .三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21.求行列式的值.1+x 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1+y 1 0 0 1 1 1+x 1 1 1 1+x 1 1 1 1 1-x 1 1 = -x -x 0 0 =xy 1 1 1+y 1 1 1 1+y 1 1 1 1 1-y 0 0 -y -yx 0 0 01 1 0 00 0 y 00 0 1 1=X2Y222. 解矩阵方程：.2361 1 -1

6、-2 1 11 1 1解：令A=B=因为（因为（AE）= 1 1 -1 1 0 0 -2 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 11 0 0 0 -1/3 1/30 1 0 1/2 1/3 1/60 0 1 -1/2 0 1/2 1 1 -1 1 0 0 0 3 -1 2 1 0 0 0 2 -1 0 1 0 -1/3 1/31/2 1/3 1/6-1/2 0 1/2所以A-1=1322360 -1/3 1/31/2 1/3 1/6-1/2 0 1/2=由AX=B,得X=A-1B= 1 -1 1 40 0 2 -60 3 1 -30 4 2 -6 23. 求向量组=( 1, 1, 2, 3

7、)，=(1,1, 1, 1 )，=(1, 3, 3, 5 )，=(4,2, 5, 6 )的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示.1 -1 1 40 0 2 -60 1 1 - 30 0 -2 6解：（a1t,a2t,a3t,a4t）= 1 -1 1 4 1 -1 3 -2 2 1 5 61 0 0 70 1 0 00 0 1 -30 0 0 01 -1 1 40 1 1 -30 0 1 -30 0 0 01 -1 1 40 0 2 -60 1 1 -30 0 0 0 所以,r(a1,a2 a3,a4)=3,极大线性无关组为a1,a2,a3,a4=7a1-3a3=424.a

8、取何值时，方程组有解？并求其通解（要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）.1 2 -1 4 2 2 -1 1 1 11 7 -4 11 a 2 -1 1 1 11 2 -1 4 21 7 -4 11 a 1 2 -1 4 20 -5 3 -7 -30 5 -3 7 a-2 A= 1 2 -1 4 20 -5 3 -7 -30 0 0 0 a-5 1 0 1/5 6/5 4/50 1 -3/5 7/5 3/50 0 0 0 0 若方程组有解，则r(A)=r(A),故a=5,若a=5时，继续施已初等行变化换得：A=X3,x4为自由未知向量，令x3=x4=0X1=4/5-1/5x3-6/5x4X

9、2=3/5+3/5x3-7/5x4原方程组的同解方程组为：4/53/500与导出组同解得的方程组为：x1=-1/5-6/5 X2=3/5-7/5 ,x3,x4为自由未知量 得原方程组的一个特解分别取1 0 0，1X3X4令所以，方程组的全部解为：-6/5-7/5 0 1-1/53/5 1 0得到导出组的基础解系：-1/53/5 1 0其中C1，C2为任意常数-6/5-7/5 0 1C2+C1+4/53/5 0 0V=25.已知,求A的特征值及特征向量，并判断A能否对角化，若能，求可逆矩阵P，使P 1AP =（对角形矩阵）(-2)2(-1)=-2 0 0-1 -2 1-1 0 -1= E-A 所

10、以，A的特征值为：12=2 ，3=1对于 12=2，求其次线性方程组（2E-A）x=0的基础解系0 11 00 -10-10得基础解系：，1 0 -10 0 00 0 00 0 0 -1 0 1-1 0 1 （2E-A）= 从而矩阵A的对应于特征值1=2=2的全部特征向量为：(C0)011得基础解系：C1 0 00 1 -10 0 0-1 0 0-1 -1 1-1 0 0C1,C2不全为零，对于3=1，求齐次线性方程组（E-A）X=0的基础解系E-A=011100010 因为三阶矩阵A有三个线性无关的特征向量2 0 00 2 00 1 0=0 1 01 0 10 1 1 所以，A相似于对角矩阵

11、，且P= 26.用配方法将下列二次型化为标准形：f(x1x2x3)=x12+2x22-x32+4x1x3-4x2x3=x12+4x1(x2-x3)+4(x2-x3)-4(x2-x3)+2x2-x32-4x2x3=(x1+2x2-2x3)-2x22+4x2x3-5x32=(x1+x2-x3)2-(x22-2x2x3+x32)-3x32=(x1+2x2-2x3)2-2(x2-x3)2-3x32X1=y1-2y2X2=y2+x3X3=y3即y1=x1-2x2+2x3Y2=x2-x3Y3=x3令 得二次型的标准型为y12-2y22-3y32 四、证明题（本大题共6分）27.设向量，证明向量组是R3空间

12、中的一个基. 首先a1,a2,a3的转置=a1T,a2T,a3T02=1 1 00 2 00 0 1=1 1 0-1 1 01 1 1 所以a1,a2,a3线性无关，所以a1,a2,a3是R3的空间的一个基 线性代数（经管类）综合试题二（课程代码 4184）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.若三阶行列式=0, 则k = ( C ).A1 B0 C-1 D-22.设A、B为n阶方阵,则成立的充要条件是 ( D ).AA可逆 BB可逆 C|A|=|B| DAB=BA3

13、.设A是n阶可逆矩阵, A*是A的伴随矩阵, 则 ( A ).A BC D4.矩阵的秩为2，则 = ( B ).A2 B1 C0 D5.设3×4矩阵A的秩r(A)=1，是齐次线性方程组Ax=o的三个线性无关的解向量，则方程组的基础解系为 (D ).A B C D6.向量线性相关,则( C ).Ak =-4 Bk = 4 Ck =-3 Dk = 3 7.设u1, u2是非齐次线性方程组Ax=b的两个解, 若是其导出组Ax=o的解, 则有 ( B ).Ac1+c2 =1 Bc1= c2 Cc1+ c2 = 0 Dc1= 2c2 8.设A为n(n2)阶方阵，且A2=E，则必有 ( B ).

14、AA的行列式等于1BA的秩等于nCA的逆矩阵等于EDA的特征值均为19.设三阶矩阵A的特征值为2, 1, 1， 则A-1的特征值为 ( D ).A1, 2 B2, 1, 1 C, 1 D, 1, 110.二次型是 ( A ).A正定的 B半正定的 C负定的 D不定的二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11.=_512.设A为三阶方阵,且|A|=4，则|2A|=32-2 -15 2-1 -1 01 1 00 4 1013.设A=, B =, 则ATB =_14.设A =,则A-1=_15.向量表示为向量组的线性组合式为-1+22+

15、5316.如果方程组有非零解, 则k =-117.设向量与正交，则a =_2_18.已知实对称矩阵A=,写出矩阵A对应的二次型x12+x22-x32+x1x2-3x1x319.已知矩阵A与对角矩阵=相似，则A2=E20.设实二次型的矩阵A是满秩矩阵，且二次型的正惯性指数为3，则其规范形为y12+y22+y32-y42三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）X+3y y y yX+3y x y yX+3y y x yX+3y y y x=21.计算行列式的值.1 y y y1 x y y1 y x y1 y y xX+3y= 解：原式= (X+3y)(x-y)3=1 y y y0 x-

16、y 0 00 0 x-y 00 0 0 x-y =(x+3y) 22.设矩阵A=，B=，求矩阵A-1B .1 -1 0 1 0 0-1 2 1 0 1 02 2 3 0 0 1 解：AE= 1 -1 0 1 0 00 1 1 1 1 00 4 3 -2 0 0 1 -1 0 1 0 00 1 1 1 1 00 0 1 6 4 -1 1 0 0 -4 -3 10 1 0 -5 -3 10 0 1 6 4 -1 -2 -9 -3 -10 4 13 1 10 22 14 -3 1-5 -3 16 4 -1-4 -3 1-5 -3 16 4 -1 =所以A-1B= 得A-1=23.设矩阵，求k的值，使

17、A的秩r(A)分别等于1，2，3.1 -2 3k0 k-1 k-10 0 (k+2)(k-1)1 -2 3k0 2k-2 3k-30 2k-2 3-3k21 -2 3k-1 2k -3K -2 3 解：对矩阵A实行初等变换：1 -2 3k0 2k-2 3k-30 0 6-3k-3k2A=1 -2 30 0 00 0 0 矩阵A的秩r(a)=1 当K=1时，A1 -2 -60 -3 -30 0 0 矩阵A的秩r(a)=2 当k=-2时。A1 -2 3k0 1 10 0 1 矩阵A的秩r(a)=3当k1且k2时，A 24.求向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示.1

18、 1 1 20 1 2 2 0 2 6 80 3 12 181 1 1 21 2 3 41 3 7 101 4 13 20解：将所给列向量构成矩阵A，然后实行初等行变化1 1 1 20 1 2 20 0 2 40 0 6 12(a1,a2,a3,a4)= 1 0 0 20 1 0 -20 0 1 20 0 0 01 1 1 20 1 2 20 0 1 2 0 0 0 01 1 1 20 1 2 20 0 2 40 0 1 2 所以，向量组的秩r(a1,a2,a3,a4)=3,向量组的一个极大线性无关组为：a1,a2,a3,且有a4=2a1-2a2+2a3 1 2 -2 30 -1 3 -40

19、1 -3 41 2 -2 32 3 -1 21 3 -5 725.求线性方程组的基础解系，并用基础解系表示其通解. 解：对方程组的系数矩阵做初等行变化：A=与原方程组同解得方程组为：x1=-4x3+5x4 X2=3x3-4x4 其中x3,x4为自由变量1 2 -2 30 1 -3 40 0 0 0 5-401-4310X3X4 C1,c2为任意常数=V2=V11得基础解系：0110分别取 令 -43105-401 方程组的通解为c1v1+c2v2=c1+C2-1 -1 -1-1 -1 -1-1 -1 -126.已知矩阵，求正交矩阵P和对角矩阵，使P-1AP=. 解：矩阵A的特征多项式为：E-A

20、 = =2(-3)得矩阵A的所有特征值为：1=2=0，3=3-101对于12=0,求方程组（0E-A）x=0的基础解系=a2-110=a1得基础解系为1 1 10 0 00 0 0-1 -1 -1-1 -1 -1-1 -1 -1 -1/2-1/21 将此线性无关的特征向量正交变换，得再标准化得：=2-110 1= 对于3解方程组3E-Ax=0-1/6-1/62/6-1/21/20 =r2 r1=1111 0 -10 1 -10 0 02 -1 -1-1 2 -1-1 -1 2a3=方程组的基础解系为：1/31/31/3令将其单位化，得r3=0 0 00 0 00 0 3-1/2 -1/6 1/

21、31/2 -1/6 1/3 0 2/6 1/3=P=r1,r2,r3则P是正交矩阵，且P-1AP=四、证明题（本大题共6分）27.设向量组线性无关，证明：向量组也线性无关.解：令 k1a1+k2(a1+a2)+k3(a1+a2+a3)+k3(a1a2+a3)=0因为a1,a2as线性无关，所以K1=0K2=0Ks-1=0Ks=0K1+k2+ks-1+ks=0K2+k3+ks Ks-1+ks=0 Ks=0解得： 故a1,a1+a2,a1+a2+a3a1+a2+as 线性无关 线性代数（经管类）综合试题三（课程代码 4184）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四

22、个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.当( D )成立时，阶行列式的值为零.A.行列式主对角线上的元素全为零B.行列式中有个元素等于零C.行列式至少有一个阶子式为零D.行列式所有阶子式全为零2.已知均为n阶矩阵，E为单位矩阵，且满足ABC=E，则下列结论必然成立的是 ( B ).A. ACB=E B. BCA=E C. CBA=E D. BAC=E 3.设A，B均为n阶可逆矩阵，则下列等式成立的是 ( D ).A. (AB)-1=A-1B-1 B. (A+B)-1=A-1+B-1 C. (AB)T=ATBT D. 4.下列矩阵不是初等矩阵

23、的是 ( B ). A. B. C. D.5.设是4维向量组，则 ( D ). A.线性无关B.至少有两个向量成比例C.只有一个向量能由其余向量线性表示D.至少有两个向量可由其余向量线性表示6.设A为m×n矩阵，且m<n，则齐次线性方程组Ax = o必 ( C ). A.无解 B.只有唯一零解 C.有非零解 D.不能确定7.已知4元线性方程组Ax=b的系数矩阵A的秩为3，又是Ax=b的两个解,则Ax=b的通解是( D ). A. B.C. D.8.如果矩阵A与B满足( D )，则矩阵A与B相似. A.有相同的行列式B.有相同的特征多项式C.有相同的秩D.有相同的特征值,且这些特

24、征值各不相同9.设A是n阶实对称矩阵，则A是正定矩阵的充要条件是 ( D ).A. |A|>0 B. A的每一个元素都大于零C. D. A的正惯性指数为n10.设A，B为同阶方阵，且r(A) = r(B)，则 ( C ). A. A与B相似 B. A与B合同C. A与B等价 D.|A|=|B|二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11.行列式 24 .12.设A为三阶矩阵，|A|=-2，将矩阵A按列分块为，其中是A的第j列，,则|B|= 6 .1 -1-1 213.已知矩阵方程AX=B，其中A=，B=，则X= .14.已知向

25、量组的秩为2，则k = -2 .15.向量的长度= 15 .16.向量在基下的坐标为 (3，-4，3) .17.设是4元齐次线性方程组Ax=o的基础解系，则矩阵A的秩r(A)= 1 .18.设是三阶矩阵A的特征值，则a = 1 .19.若是正定二次型，则满足 >5 . 20.设三阶矩阵A的特征值为1,2,3，矩阵B=A2+2A,则|B|= 360 .三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21.设三阶矩阵A=，E为三阶单位矩阵.求：(1)矩阵A-2E及|A-2E|；(2).A-2E=-11 0 01 -1 0-1 2 1=2 0 00 2 00 0 2-3 0 01 1 0-1

26、 2 3 解：A-2E=1 0 0 1 0 00 -1 0 -1 1 00 2 1 1 0 1 1 0 0 1 0 01 -1 0 0 1 0-1 2 1 0 0 1 (2)1 0 01 - 1 0-1 2 11 0 0 1 0 00 1 0 1 -1 00 0 1 -1 2 1=(A-2E)-1 22.已知向量组求：(1)向量组的秩；(2)向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示. 1 2 -2 2 20 1 -1 -1 11 1 -1 3 a1 -1 1 5 -123.讨论a为何值时，线性方程组有解？当方程组有解时，求出方程组的通解.1 2 -2 2 20 1 -

27、1 -1 10 -1 1 1 a-20 -3 3 3 -3 对方程组的增广矩阵实施初等行变化A=1 0 0 4 00 1 -1 -1 10 0 0 0 a-10 0 0 0 01 2 -2 2 20 1 -1 -1 10 0 0 0 a-10 0 0 0 0 若方程组有解r(A)=r(A)=2 X1= -4x4X2=1+x3+x4 从而a=1，当a=1时原方程组的通解方程为 X3,x4为自由向量，令x3,x4=0,得原方程组的一个特解（0,1,0,0）T，(-4，1,0，1)T，所以，方程组的通解为：（0,1,0,0）T+c1（0,1,1,0）T+c2（-4,1，0,1）T，其中，c1,c2为

28、任意常数24.已知向量组，讨论该向量组的线性相关性.(a1-a2)(a+6)=1 -2 -10 a+2 20 8 a+2=1 -2 -11 a 12 4 a解：因为 当a=2或a=-6，向量组线性相关，a2,且a-6时，向量组线性无关 25.已知矩阵A=，(1)求矩阵A的特征值与特征向量；(2)判断A可否与对角矩阵相似，若可以，求一可逆矩阵P及相应的对角形矩阵. +1 -1 0 4 -3 0 -1 0 -2 解：矩阵A的特征多项式为：（-2）（-1）2=（E-A）=-1-211 0 10 1 20 0 02 -1 04 -2 0-1 0 -1 所以A的特征值：1，2=1，3=2，对于1，2=1

29、，求其次线性方程组（E-A）x=0的基础解系E-A= 得基础解系 -1-21 从而矩阵A的对应特征值1=2的全部特征向量为：c=3 -1 04 -1 0-1 0 0对于3=2，求齐次线性方程组（2E-A）x=0的基础解系从而矩阵A的对应于特征值3=2的全部特征向量为：001得基础解系：1 0 00 1 00 0 02E-A=(c0)001 C=因为三阶矩阵A只有两个线性无关的特征向量，所以，A不能相似于对角矩阵26.设二次型(1)将二次型化为标准形；(2)求二次型的秩和正惯性指数. f（x1,x2,x3）=x1+2x1x2-2x1x3+2x22-4x2x3 =x12+2x2(x2-x3)+(x

30、2-x3)2-(x2-x3)2+2x22-4x2x3-3x32 =(x1+x2+x3)2+x22-2x2x3-4x32 =(x1+x2+x3)2+(x22-2x2x3+x32)-5x32 =(x1+x2+x3)2+(x2-x3)2-5x32X1=y1-y2X2=y2+y3X3=y3即Y1=x1+x2-x3Y2=x2-x3Y3=x3令得二次型的标准型为：y12+y22-5y32(2)有上述标准性知：二次型的秩为3，正惯性指数为2 四、证明题（本大题共6分）27.已知A是n阶方阵，且，证明矩阵A可逆，并求 证：由（A+E）2=0，得：A2+2A=-E，从而A（A+2E）=-E，A（-A-2E）=E

31、，所以A可逆，且A-1=-A-2E 线性代数（经管类）综合试题四（课程代码 4184）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.三阶行列式，则a = ( ).A. 2 B. 3 C. D. -3 2.设A，B均为n阶非零方阵，下列选项正确的是 ( ).A. (A+B)(A-B) = A2-B2 B. (AB)-1 = B-1A-1 C. 若AB= O, 则A=O或B=O D. |AB| = |A| |B| 3.设A，B，AB-BA= ( ).A. B. C. D. 4.设

32、矩阵的秩为2，则 ( ).A. B.t = -4 C. t是任意实数 D.以上都不对5.设向量，则 ( ).A.(1, 0, 5, 4 ) B.(1, 0, -5, 4) C.(-1, 0, 5, 4) D.(1, 0, 5, -6)6.向量组线性相关,则( ).A. k =-4 B. k = 4 C. k = 3 D. k = 27.设u1, u2是非齐次线性方程组Ax = b的两个解，若c1u1+c2u2也是方程组Ax = b的解，则 ( ).A. c1+c2 =1 B. c1= c2 C. c1+ c2 = 0 D. c1= 2c2 8.设m×n矩阵A的秩r(A) = n-3(

33、n>3)，是齐次线性方程组Ax=o的三个线性无关的解向量，则方程组Ax=o的基础解系为( ).A. B. C. D. 9.设三阶矩阵A的特征值为1，1，2，则2A+E的特征值为( ). A. 3，5 B. 1，2 C.1，1，2 D. 3，3，5 10.n阶对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是 ( ). A. B.存在n阶矩阵P，使得A=PTP C.负惯性指数为 D.各阶顺序主子式均为正数二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11. . 12.设A为三阶方阵，且|A|=2，A*是其伴随矩阵，则|2A*| = .13.设矩阵A

34、，则= .14.设，则内积= .15.若向量不能由线性表示，且r()=2，则r(,)= .16.设线性方程组有解，则t = .17.方程组的基础解系含有解向量的个数是 .18.设二阶矩阵A与B相似，A的特征值为-1，2，则|B|= .19.设二次型的矩阵,则二次型 . 20.用正交变换将二次型化为标准形为，则矩阵A的最小特征值为 .三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21.计算n阶行列式. 22.解矩阵方程：. 23.验证是R3的一个基，并求向量在此基下的坐标. 24.设向量组线性无关，令，试确定向量组的线性相关性. 25.求线性方程组的基础解系，并表示其通解. 26.求矩阵的特征值和全部特征向量. 四、证明题（本大题共6分）27.设是三维向量组，证明：线性无关的充分必要条件是任一三维向量都可由它线性表示. 线性代数（经管类）综合试题五（课程代码 4184）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.行列式,则k = ( ).A. 1 B. 4 C. -1或4 D. -1 2.设A，B，C均为n阶非零方阵，下列选项正确的是 ( ).A.若AB=AC，则B