离散数学15欧拉图与哈密顿图

1、第15章 欧拉图与哈密顿图离离 散散 数数 学学中国地质大学本科生课程中国地质大学本科生课程整理ppt数学家欧拉数学家欧拉欧拉，瑞士数学家，欧拉是科学欧拉，瑞士数学家，欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家，他从史上最多产的一位杰出的数学家，他从19岁开始发表论文，直到岁开始发表论文，直到76岁，他一生岁，他一生共写下了共写下了886本书籍和论文，其中在世本书籍和论文，其中在世时发表了时发表了700多篇论文。彼得堡科学院多篇论文。彼得堡科学院为了整理他的著作，整整用了为了整理他的著作，整整用了47年。在年。在他双目失明后的他双目失明后的17年间，也没有停止对年间，也没有停止对数学的研究，口述了

2、好几本书和数学的研究，口述了好几本书和400余余篇的论文。篇的论文。欧拉对物理力学、天文学、弹道学、航海学、建筑学、音欧拉对物理力学、天文学、弹道学、航海学、建筑学、音乐都有研究！有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等乐都有研究！有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等是以欧拉名字命名的。欧拉写的数学教材在当时一直被当作标是以欧拉名字命名的。欧拉写的数学教材在当时一直被当作标准教程。准教程。19世纪伟大的数学家高斯曾说过世纪伟大的数学家高斯曾说过“研究欧拉的著作永研究欧拉的著作永远是了解数学的好方法远是了解数学的好方法”。欧拉还是数学符号发明者，他创设。欧拉还是数学符号发明者，他创设的许

3、多数学符号，例如的许多数学符号，例如，i，e，sin，cos，tg，f (x)等等，等等，至今沿用。至今沿用。整理ppt哈密顿哈密顿 1805 1805年年8 8月月4 4日生于爱尔兰都柏林；日生于爱尔兰都柏林；18651865年年9 9月月2 2日卒于都日卒于都柏林力学、数学、光学哈密顿的父亲阿其巴德柏林力学、数学、光学哈密顿的父亲阿其巴德(Archibald Rowan Hamilton)(Archibald Rowan Hamilton)为都柏林市的一个初级律师为都柏林市的一个初级律师哈密顿自幼聪明，被称为神童他三岁能读英语，会算术；哈密顿自幼聪明，被称为神童他三岁能读英语，会算术；五岁

4、能译拉丁语、希腊语和希伯来语，并能背诵荷马史诗；五岁能译拉丁语、希腊语和希伯来语，并能背诵荷马史诗；九岁便熟悉了波斯语，阿拉伯语和印地语九岁便熟悉了波斯语，阿拉伯语和印地语1414岁时，因在都岁时，因在都柏林欢迎波斯大使宴会上用波斯语与大使交谈而出尽风头柏林欢迎波斯大使宴会上用波斯语与大使交谈而出尽风头 哈密顿工作勤奋，思想活跃发表的论文一般都很简洁，别人不易读懂，哈密顿工作勤奋，思想活跃发表的论文一般都很简洁，别人不易读懂，但手稿却很详细，因而很多成果都由后人整理而得仅在三一学院图书馆中但手稿却很详细，因而很多成果都由后人整理而得仅在三一学院图书馆中的哈密顿手稿，就有的哈密顿手稿，就有250

5、250本笔记及大量学术通信和未发表论文爱尔兰国家图本笔记及大量学术通信和未发表论文爱尔兰国家图书馆还有一部分手稿书馆还有一部分手稿 他的研究工作涉及不少领域，成果最大的是光学、力学和四元数他研究的他的研究工作涉及不少领域，成果最大的是光学、力学和四元数他研究的光学是几何光学，具有数学性质；力学则是列出动力学方程及求解；因此哈光学是几何光学，具有数学性质；力学则是列出动力学方程及求解；因此哈密顿主要是数学家但在科学史中影响最大的却是他对力学的贡献密顿主要是数学家但在科学史中影响最大的却是他对力学的贡献哈密顿哈密顿量量是现代物理最重要的量，当我们得到哈密顿量，就意味着得到了全部。是现代物理最重要的

6、量，当我们得到哈密顿量，就意味着得到了全部。 整理ppt匈牙利数学家厄多斯匈牙利数学家厄多斯保罗保罗 厄多斯厄多斯(1913-1996)(1913-1996)是一位匈牙利的数学家。是一位匈牙利的数学家。其父母都是匈牙利的高中数学教师。其父母都是匈牙利的高中数学教师。19831983年年以色列以色列政府颁给十万美元政府颁给十万美元“沃尔夫奖金沃尔夫奖金”（WolfPrizeWolfPrize）就是由他和华裔美籍的陈省身教授平分。）就是由他和华裔美籍的陈省身教授平分。厄多斯是当代发表最多数学论文的数学家，也是全世界和各种厄多斯是当代发表最多数学论文的数学家，也是全世界和各种各样不同国籍的数学家合作

7、发表论文最多的人。他发表了各样不同国籍的数学家合作发表论文最多的人。他发表了近近10001000多篇的论文，平均一年要写和回答多篇的论文，平均一年要写和回答15001500多封有关于多封有关于数学问题的信。他可以和任何大学的数学家合作研究，他数学问题的信。他可以和任何大学的数学家合作研究，他每到一处演讲就能和该处的一两个数学家合作写论文，据每到一处演讲就能和该处的一两个数学家合作写论文，据说多数的情形是人们把一些本身长期解决不了的问题和他说多数的情形是人们把一些本身长期解决不了的问题和他讨论，他可以很快就给出了问题的解决方法或答案，于是讨论，他可以很快就给出了问题的解决方法或答案，于是人们赶快

8、把结果写下来，然后发表的时候放上他的名字，人们赶快把结果写下来，然后发表的时候放上他的名字，厄多斯的新的一篇论文就这样诞生了。厄多斯的新的一篇论文就这样诞生了。 整理ppt本章内容本章内容15.1 15.1 欧拉图欧拉图15.2 15.2 哈密顿图哈密顿图15.3 15.3 带权图与货郎担问题带权图与货郎担问题基本要求基本要求作业作业整理ppt15.1 15.1 欧拉图欧拉图q 历史背景哥尼斯堡七桥问题历史背景哥尼斯堡七桥问题q 欧拉图是一笔画出的边不重复的回路欧拉图是一笔画出的边不重复的回路。整理ppt欧拉图欧拉图 通过图（无向图或有向图）中通过图（无向图或有向图）中所有边一次且仅一次所有边

9、一次且仅一次行遍图中行遍图中所有顶点的通路称为所有顶点的通路称为欧拉通路欧拉通路，通过图中所有边一次并且，通过图中所有边一次并且仅一次行遍所有顶点的仅一次行遍所有顶点的回路回路称为称为欧拉回路欧拉回路。具有欧拉回路。具有欧拉回路的图称为的图称为欧拉图欧拉图，具有欧拉通路而无欧拉回路的图称为，具有欧拉通路而无欧拉回路的图称为半半欧拉图欧拉图。 说明说明欧拉通路是图中经过所有边的简单的生成通路欧拉通路是图中经过所有边的简单的生成通路( (经过所经过所有顶点的通路称为生成通路有顶点的通路称为生成通路) )。欧拉回路是经过所有边的简单的生成回路。欧拉回路是经过所有边的简单的生成回路。 整理ppt举例举

10、例欧拉图欧拉图半欧拉图半欧拉图无欧拉通路无欧拉通路欧拉图欧拉图无欧拉通路无欧拉通路无欧拉通路无欧拉通路整理ppt无向欧拉图的判定定理无向欧拉图的判定定理 无向图无向图G是欧拉图当且仅当是欧拉图当且仅当G是连通图，且是连通图，且G中没有奇度顶点。中没有奇度顶点。证明证明 若若G是平凡图，结论显然成立。是平凡图，结论显然成立。下面设下面设G为非平凡图，设为非平凡图，设G是是m条边的条边的n n阶无向图，阶无向图，并设并设G的顶点集的顶点集V v1 1, ,v2 2,vn 。必要性必要性。因为。因为G为欧拉图，所以为欧拉图，所以G中存在欧拉回路，中存在欧拉回路，设设C为为G中任意一条欧拉回路，中任意

11、一条欧拉回路， vi, ,vjV，vi, ,vj都在都在C上，上，因而因而vi, ,vj连通，所以连通，所以G为连通图。为连通图。又又 viV，vi在在C上每出现一次获得上每出现一次获得2 2度，度，若出现若出现k次就获得次就获得2 2k度，即度，即d( (vi) )2 2k，所以所以G中无奇度顶点。中无奇度顶点。整理ppt充分性充分性。由于。由于G为非平凡的连通图可知，为非平凡的连通图可知，G中边数中边数m11。对对m作归纳法。作归纳法。 (1)(1)m1 1时，由时，由G的连通性及无奇度顶点可知，的连通性及无奇度顶点可知，G只能是一个环，因而只能是一个环，因而G G为欧拉图。为欧拉图。 (

12、2)(2)设设mk( (k1)1)时结论成立，要证明时结论成立，要证明mk+1+1时，结论也成立。时，结论也成立。由由G的连通性及无奇度顶点可知，的连通性及无奇度顶点可知，(G)2)2。无论无论G是否为简单图，都可以用扩大路径法证明是否为简单图，都可以用扩大路径法证明G中必含圈。中必含圈。整理ppt设设C为为G中一个圈，删除中一个圈，删除C上的全部边，得上的全部边，得G的生成子图的生成子图G ，设设G 有有s个连通分支个连通分支G 1 1, ,G 2 2,G s，每个连通分支至多有每个连通分支至多有k条边，且无奇度顶点，条边，且无奇度顶点，并且设并且设G i与与C的公共顶点为的公共顶点为v*

13、*ji，i1,2,1,2,s，由归纳假设可知，由归纳假设可知，G 1 1, ,G 2 2,G s都是欧拉图，都是欧拉图，因而都存在欧拉回路因而都存在欧拉回路C i，i1,2,1,2,s。最后将最后将C还原（还原（即将删除的边重新加上即将删除的边重新加上），），并从并从C上的某顶点上的某顶点vr开始行遍，每遇到开始行遍，每遇到v* *ji，就行遍就行遍G i中的欧拉中的欧拉回路回路C i，i1,2,1,2,s，最后回到最后回到vr，得回路得回路vrv* *j1 1v* *j1 1v* *j2 2v* *j2 2v* *jsv* *jsvr，此回路经过此回路经过G中每条边一次且仅一次并行遍中每条边

14、一次且仅一次并行遍G中所有顶点，中所有顶点，因而它是因而它是G中的欧拉回路（演示这条欧拉回路），中的欧拉回路（演示这条欧拉回路），故故G为欧拉图。为欧拉图。整理ppt 无向图无向图G是半欧拉图当且仅当是半欧拉图当且仅当G是连通的，且是连通的，且G中恰有两个奇度顶中恰有两个奇度顶点。点。证明证明 必要性必要性。设。设G是是m条边的条边的n阶无向图，因为阶无向图，因为G为半欧拉图，为半欧拉图，因而因而G中存在欧拉通路中存在欧拉通路( (但不存在欧拉回路但不存在欧拉回路) )，设设vi0 0ej1 1vi1 1vim-1-1ejmvim为为G中一条欧拉通路，中一条欧拉通路，vi0 0vim。 vV(

15、 (G) )，若若v不在不在的端点出现，显然的端点出现，显然d( (v) )为偶数，为偶数，若若v在端点出现过，则在端点出现过，则d( (v) )为奇数，为奇数，因为因为只有两个端点且不同，因而只有两个端点且不同，因而G中只有两个奇数顶点。中只有两个奇数顶点。另外，另外，G的连通性是显然的。的连通性是显然的。半欧拉图的判定定理半欧拉图的判定定理整理ppt 无向图无向图G是半欧拉图当且仅当是半欧拉图当且仅当G是连通的，且是连通的，且G中恰有两个奇度顶中恰有两个奇度顶点。点。证明证明 充分性充分性。设。设G的两个奇度顶点分别为的两个奇度顶点分别为u0 0和和v0 0，对对G加新边（加新边（u0 0

16、, ,v0 0），），得得G G(u0 0, ,v0 0) )，则则G 是连通且无奇度顶点的图，是连通且无奇度顶点的图，由定理由定理15.115.1可知，可知，G 为欧拉图，为欧拉图，因而存在欧拉回路因而存在欧拉回路C ，而而CC -(-(u0 0, ,v0 0) )为为G中一条欧拉通路，中一条欧拉通路，所以所以G为半欧拉图。为半欧拉图。 半欧拉图的判定定理半欧拉图的判定定理整理ppt有向欧拉图的判定定理有向欧拉图的判定定理 有向图有向图D是欧拉图当且仅当是欧拉图当且仅当D是强连通的且每个顶点的入度都等是强连通的且每个顶点的入度都等于出度。于出度。 有向图有向图D是半欧拉图当且仅当是半欧拉图当

17、且仅当D是单向连通的，且是单向连通的，且D中恰有两个中恰有两个奇度顶点，其中一个的入度比出度大奇度顶点，其中一个的入度比出度大1 1，另一个的出度比入度，另一个的出度比入度大大1 1，而其余顶点的入度都等于出度。，而其余顶点的入度都等于出度。( (举例举例) ) G是非平凡的欧拉图当且仅当是非平凡的欧拉图当且仅当G是连通的且为若干个边不重的圈是连通的且为若干个边不重的圈的并。的并。整理ppt例例15.1 15.1 设设G是非平凡的且非环的欧拉图，证明：是非平凡的且非环的欧拉图，证明：(1)(1)(G)2)2。(2)(2)对于对于G中任意两个不同顶点中任意两个不同顶点u, ,v，都存在简单回路都

18、存在简单回路C含含u和和v。证明证明 (1) (1)由定理由定理15.515.5可知，可知， eE( (G) )，存在圈存在圈C，e在在C中，中，因而因而p( (G- -e) )p( (G) )，故故e不是桥。不是桥。由由e的任意性的任意性(G)2)2，即即G是是2 2边边- -连通图。连通图。(2)(2) u, ,vV( (G) )，uv，由由G的连通性可知，的连通性可知，u, ,v之间必存在路径之间必存在路径1 1，设设G G- -E(1 1) )，则在则在G 中中u与与v还必连通，还必连通，否则，否则，u与与v必处于必处于G 的不同的连通分支中，的不同的连通分支中，这说明在这说明在1 1

19、上存在上存在G中的桥，这与中的桥，这与(1)(1)矛盾。矛盾。于是在于是在G 中存在中存在u到到v的路径的路径2 2，显然显然1 1与与2 2边不重，边不重，这说明这说明u, ,v处于处于1 12 2形成的简单回路上。形成的简单回路上。整理ppt求欧拉图中欧拉回路的算法求欧拉图中欧拉回路的算法Fleury算法算法，能不走桥就不走桥能不走桥就不走桥 (1) (1) 任取任取v0 0V( (G) )，令令P0 0v0 0。(2) (2) 设设Piv0 0e1 1v1 1e2 2eivi已经行遍，按下面方法来从已经行遍，按下面方法来从 E( (G)-)-e1 1, ,e2 2,ei 中选取中选取ei

20、+1+1： (a) (a) ei+1+1与与vi相关联；相关联； ( (b) b) 除非无别的边可供行遍，否则除非无别的边可供行遍，否则ei+1+1不应该为不应该为 GiG-e1 1, ,e2 2,ei 中的桥。中的桥。(3)(3)当当(2)(2)不能再进行时，算法停止。不能再进行时，算法停止。 说明说明可以证明，当算法停止时所得简单回路可以证明，当算法停止时所得简单回路Pmv0 0e1 1v1 1e2 2emvm( (vmv0 0) )为为G中一条欧拉回路。中一条欧拉回路。整理pptFleuryFleury算法示例算法示例整理ppt下图是给定的欧拉图下图是给定的欧拉图G。某人用某人用Fleu

21、ry算法求算法求G中的欧拉回路时中的欧拉回路时，走了简单回路，走了简单回路v2 2e2 2v3 3e3 3v4 4e1414v9 9e1010v2 2e1 1v1 1e8 8v8 8e9 9v2 2之后之后( (观看他的观看他的错误走法错误走法) )，无法行遍了，试分析在哪步他犯了错误，无法行遍了，试分析在哪步他犯了错误? ? 解答解答 此人行遍此人行遍v8 8时犯了能不走桥就不走桥时犯了能不走桥就不走桥的错误，因而他没行遍出欧拉回路。的错误，因而他没行遍出欧拉回路。当他走到当他走到v8 8时，时，G-e2 2, ,e3 3, ,e1414, ,e1010, ,e1 1, ,e8 8 为下图所

22、示。为下图所示。此时此时e9 9为该图中的桥，而为该图中的桥，而e7 7, ,e1111均不是桥，均不是桥，他不应该走他不应该走e9 9，而应该走而应该走e7 7或或e1111，他没他没有走，所以犯了错误。注意，此人在行有走，所以犯了错误。注意，此人在行遍中，在遍中，在v3 3遇到过桥遇到过桥e3 3，v1 1处遇到过桥处遇到过桥e8 8，但当时除桥外他无别的边可走，所但当时除桥外他无别的边可走，所以当时均走了桥，这是不会犯错误的。以当时均走了桥，这是不会犯错误的。整理ppt15.2 15.2 哈密顿图哈密顿图q 历史背景：哈密顿周游世界问题与哈密顿图历史背景：哈密顿周游世界问题与哈密顿图整理

23、ppt哈密顿图哈密顿图 经过图（有向图或无向图）中经过图（有向图或无向图）中所有顶点一次且仅一次的通路所有顶点一次且仅一次的通路称为称为哈密顿通路哈密顿通路。经过图中。经过图中所有顶点一次且仅一次的回路所有顶点一次且仅一次的回路称为称为哈密顿回路哈密顿回路。具有哈密顿回路的图称为。具有哈密顿回路的图称为哈密顿图哈密顿图，具，具有哈密顿通路但不具有哈密顿回路的图称为有哈密顿通路但不具有哈密顿回路的图称为半哈密顿图半哈密顿图。平凡图是哈密顿图。平凡图是哈密顿图。说明说明哈密顿通路是图中生成的初级通路，哈密顿通路是图中生成的初级通路，哈密顿回路是生成的初级回路。哈密顿回路是生成的初级回路。判断一个图

24、是否为哈密顿图，就是判断能否将图中所有顶判断一个图是否为哈密顿图，就是判断能否将图中所有顶点都放置在一个初级回路点都放置在一个初级回路( (圈圈) )上，但这不是一件易事。上，但这不是一件易事。与判断一个图是否为欧拉图不一样，到目前为止，人们还与判断一个图是否为欧拉图不一样，到目前为止，人们还没有找到哈密顿图简单的充分必要条件。没有找到哈密顿图简单的充分必要条件。整理ppt例题例题(1)(2)(1)(2)是哈密顿图。是哈密顿图。(3)(3)是半哈密顿图。是半哈密顿图。(4)(4)既不是哈密顿图，也不是半哈密顿图。既不是哈密顿图，也不是半哈密顿图。整理ppt定理定理15.6 15.6 设无向图设

25、无向图G 是哈密顿图，对于任意是哈密顿图，对于任意V1 1 V，且且V1 1，均均有有p( (G- -V1 1)|)|V1 1| | 其中，其中，p( (G- -V1 1) )为为G- -V1 1的连通分支数。的连通分支数。 证明证明 设设C为为G中任意一条哈密顿回路，中任意一条哈密顿回路，易知，当易知，当V1 1中顶点在中顶点在C上均不相邻时，上均不相邻时，p( (C- -V1 1) )达到最大值达到最大值| |V1 1| |，而当而当V1 1中顶点在中顶点在C上有彼此相邻的情况时，上有彼此相邻的情况时，均有均有p( (C- -V1 1) )| |V1 1| |，所以有所以有 p( (C-

26、-V1 1)|)|V1 1| |。而而C是是G的生成子图，所以，有的生成子图，所以，有p( (G- -V1 1)p( (C- -V1 1)|)|V1 1| |。说明说明本定理的条件是哈密顿图的必要条件，但不是充分条件。本定理的条件是哈密顿图的必要条件，但不是充分条件。可以验证彼得松图满足定理中的条件，但不是哈密顿图。可以验证彼得松图满足定理中的条件，但不是哈密顿图。若一个图不满足定理中的条件，它一定不是哈密顿图。若一个图不满足定理中的条件，它一定不是哈密顿图。整理ppt推论推论 推论推论 设无向图设无向图G 是半哈密顿图，对于任意的是半哈密顿图，对于任意的V1 1 V且且V1 1，均有均有 p

27、( (G- -V1 1)|)|V1 1|+1 |+1 证明证明 设设P是是G中起于中起于u终于终于v的哈密顿通路，的哈密顿通路，令令G G(u, ,v)()(在在G的顶点的顶点u, ,v之间加新边之间加新边) )，易知易知G 为哈密顿图，为哈密顿图，由定理由定理15.615.6可知，可知，p( (G - -V1 1)|)|V1 1| |。因此，因此，p( (G- -V1 1) ) p( (G - -V1 1-(-(u, ,v) p( (G - -V1 1)+1)+1 | |V1 1|+1 |+1 整理ppt 在下图中给出的三个图都是二部图。它们中的哪些是哈密顿在下图中给出的三个图都是二部图。它

28、们中的哪些是哈密顿图？哪些是半哈密顿图？为什么？图？哪些是半哈密顿图？为什么？易知互补顶点子集易知互补顶点子集V1 1 a, ,f V2 2 b, ,c, ,d, ,e 设此二部图为设此二部图为G1 1，则则G1 1 。p( (G1 1- -V1 1) )4|4|V1 1| |2 2，由定理由定理15.615.6及其推论可知，及其推论可知，G1 1不是哈密不是哈密顿图，也不是半哈密顿图。顿图，也不是半哈密顿图。 整理ppt设图为设图为G2 2，则则G2 2 ，其中其中V1 1 a, ,g, ,h, ,i, ,c ，V2 2 b, ,e, ,f, ,j, ,k, ,d ，易知，易知，p( (G2

29、 2- -V1 1) )| |V2 2| |6|6|V1 1| |5 5，由定理由定理15.615.6可知，可知，G2 2不是哈密顿图，不是哈密顿图，但但G2 2是半哈密顿图。是半哈密顿图。baegjckhfid为为G2 2中一条哈密顿通路。中一条哈密顿通路。设图为设图为G3 3。G3 3 ，其中其中V1 1 a, ,c, ,g, ,h, ,e ，V2 2 b, ,d, ,i, ,j, ,f ，G3 3中存在哈密顿回路。中存在哈密顿回路。如如 abcdgihjefa，所以所以G3 3是哈密顿图。是哈密顿图。 整理pptq 哈密顿通路是经过图中所有顶点的一条初级通路。哈密顿通路是经过图中所有顶点

30、的一条初级通路。q 哈密顿回路是经过图中所有顶点的初级回路。哈密顿回路是经过图中所有顶点的初级回路。 q 对于二部图还能得出下面结论：对于二部图还能得出下面结论： 一般情况下，设二部图一般情况下，设二部图G ，| |V1 1|V2 2| |，且且| |V1 1|2|2，| |V2 2|2|2，由定理由定理15.615.6及其推论可以得出下面结论：及其推论可以得出下面结论：(1) (1) 若若G是哈密顿图，则是哈密顿图，则| |V1 1| | |V2 2| |。(2) (2) 若若G是半哈密顿图，则是半哈密顿图，则| |V2 2| | |V1 1|+1|+1。(3) (3) 若若| |V2 2|

31、V1 1|+2|+2，则则G G不是哈密顿图，也不是半哈密顿图。不是哈密顿图，也不是半哈密顿图。 设设G是是n阶无向连通图。证明：阶无向连通图。证明：若若G中有割点或桥，则中有割点或桥，则G不是哈密顿不是哈密顿图。图。证明证明 可用定理可用定理15.615.6证明。证明。整理ppt 设设G是是n阶无向简单图，若对于阶无向简单图，若对于G中任意不相邻的顶点中任意不相邻的顶点vi, ,vj，均均有有d( (vi)+)+d( (vj)n-1-1(15.1)(15.1)则则G中存在哈密顿通路。中存在哈密顿通路。 证明证明 首先证明首先证明G是连通图。是连通图。否则否则G至少有两个连通分支，至少有两个连

32、通分支，设设G1 1, ,G2 2是阶数为是阶数为n1 1, ,n2 2的两个连通分支，的两个连通分支，设设v1 1V( (G1 1) )，v2 2V( (G2 2) )，因为因为G是简单图，所以是简单图，所以dG( (v1 1)+)+dG( (v2 2) )dG1 1( (v1 1)+)+dG2 2( (v2 2)n1 1-1+-1+n2 2-1-1n-2-2这与这与(15.1)(15.1)矛盾，所以矛盾，所以G必为连通图。必为连通图。整理ppt下面证下面证G中存在哈密顿通路。中存在哈密顿通路。设设v1 1v2 2vl为为G中用中用“扩大路径法扩大路径法”得到的得到的“极大路径极大路径”，即

33、即的始点的始点v1 1与终点与终点vl不与不与外的顶点相邻。显然有外的顶点相邻。显然有ln。 (1)(1)若若ln，则则为为G中哈密顿通路。中哈密顿通路。(2)(2)若若ln，这说明这说明不是哈密顿通路，不是哈密顿通路，即即G中还存在着中还存在着外的顶点。外的顶点。但可以证明但可以证明G中存在经过中存在经过上所有顶点的圈上所有顶点的圈。( (a)a) 若若v1 1与与vl相邻，即相邻，即( (v1 1, ,vl)E( (G) )，则则(v1 1, ,vl) )为满足要求的圈。为满足要求的圈。 整理ppt( (b)b)若若v1 1与与vl不相邻，设不相邻，设v1 1与与上的上的vi1 1v2 2

34、, ,vi2 2,vik相邻相邻( (k2)2)( (否则否则 d( (v1 1)+)+d( (vl)1+)1+l-2=-2=l-1-1n-1-1，这与这与(15.1)(15.1)矛盾矛盾) )此时，此时，vl至少与至少与vi2 2,vik相邻的顶点相邻的顶点vi2-12-1,vik-1-1之一相邻之一相邻( (否则否则 d( (v1 1)+)+d( (vl)k+ +l-2-(-2-(k-1)-1)l-1-1n-1-1) )设设vl与与vir -1-1相邻（相邻（22rk），），见下图所示。见下图所示。于是，回路于是，回路Cv1 1v2 2vir -1-1vlvlr -1-1vivirv1 1

35、过过上的所有顶点。上的所有顶点。整理ppt( (c)c)下面证明存在比下面证明存在比更长的路径。更长的路径。因为因为l n，所以所以C外还有顶点，由外还有顶点，由G的连通性可知，的连通性可知，存在存在vl+1+1V( (G)-)-V( (C) )与与C上某顶点上某顶点vt相邻，见下图所示。相邻，见下图所示。删除边删除边( (vt-1-1, ,vt) )得路径得路径 vt-1-1v1 1virvlvir-1-1vtvl+1+1比比长度大长度大1 1，对对 上的顶点重新排序，使其成为上的顶点重新排序，使其成为 v1 1v2 2vlvl+1 1，对对 重复重复( (a)a)(c)(c)，在有限步内一

36、定得到在有限步内一定得到G的哈密顿通路。的哈密顿通路。整理ppt推论推论 设设G为为n( (n3)3)阶无向简单图，若对于阶无向简单图，若对于G中任意两个不相邻的中任意两个不相邻的顶点顶点vi, ,vj，均有均有 d( (vi)+)+d( (vj)n(15.2)(15.2)则则G中存在哈密顿回路，从而中存在哈密顿回路，从而G为哈密顿图。为哈密顿图。 证明证明 由定理由定理15.715.7可知，可知，G中存在哈密顿通路，中存在哈密顿通路，设设v1 1v2 2vn为为G中一条哈密顿通路，中一条哈密顿通路，若若v1 1与与vn相邻，设边相邻，设边e( (v1 1, ,vn) )，则则e 为为G中哈密

37、顿回路。中哈密顿回路。若若v1 1与与vn不相邻，应用不相邻，应用(15.2)(15.2)，同定理，同定理15.715.7证明中的证明中的(2)(2)类似，可类似，可证明存在过证明存在过上各顶点的圈，上各顶点的圈，此圈即为此圈即为G中的哈密顿回路。中的哈密顿回路。整理ppt 设设u, ,v为为n阶无向图阶无向图G中两个不相邻的顶点，且中两个不相邻的顶点，且d( (u)+)+d( (v)n，则则G为哈密顿图当且仅当为哈密顿图当且仅当G(u, ,v) )为哈密顿图为哈密顿图( ( (u, ,v) )是加是加的新边的新边) )。 证明证明( (略略) )。 整理ppt 在某次国际会议的预备会议中，共

38、有在某次国际会议的预备会议中，共有8 8人参加，他们来自不同的国人参加，他们来自不同的国家。已知他们中任何两个无共同语言的人中的每一个，与其余有家。已知他们中任何两个无共同语言的人中的每一个，与其余有共同语言的人数之和大于或等于共同语言的人数之和大于或等于8 8，问能否将这，问能否将这8 8个人排在圆桌旁个人排在圆桌旁，使其任何人都能与两边的人交谈。，使其任何人都能与两边的人交谈。 解答解答 设设8 8个人分别为个人分别为v1 1, ,v2 2,v8 8，作无向简单图作无向简单图G ，其中其中V v1 1, ,v2 2,v8 8 ， vi, ,vjV，且且ij，若若vi与与vj有共同语言，就在

39、有共同语言，就在vi, ,vj之间连无向边之间连无向边( (vi, ,vj) )，由此组成边集合由此组成边集合E，则则G为为8 8阶无向简单图，阶无向简单图， viV，d( (vi) )为与为与vi有共同语言的人数。有共同语言的人数。由已知条件可知，由已知条件可知， vi, ,vjV且且ij，均有均有d( (vi)+)+d( (vj)8)8。由定理由定理15.715.7的推论可知，的推论可知，G中存在哈密顿回路，中存在哈密顿回路，设设Cvi1 1vi2 2vi8 8为为G中一条哈密顿回路，中一条哈密顿回路，按这条回路的顺序安排座次即可。按这条回路的顺序安排座次即可。哈密顿图是能将图中所有顶哈密

40、顿图是能将图中所有顶点都能安排在某个初级回路点都能安排在某个初级回路上的图。上的图。 整理ppt 若若D为为n( (n2)2)阶竞赛图，则阶竞赛图，则D中具有哈密顿通路。中具有哈密顿通路。 证明证明 对对n作归纳法。作归纳法。n2 2时，时，D的基图为的基图为K2 2，结论成立。结论成立。设设nk时结论成立。现在设时结论成立。现在设nk+1+1。设设V( (D) ) v1 1, ,v2 2,vk, ,vk+1+1 。令令D1 1D- -vk+1+1，易知易知D1 1为为k阶竞赛图，阶竞赛图，由归纳假设可知，由归纳假设可知，D1 1存在哈密顿通路，存在哈密顿通路，设设1 1v 1 1v 2 2v k为其中一条。为其中一条。整理ppt下面证明下面证明vk+1+1可扩到可扩到1 1中去。中去。若存在若存在v r(1(1rk) )，有有 E( (D) )，i1,2,1,2,r -1-1，而而 E( (D)