上下极限的等价性定义及应用

1、上、下极限的等价性定义及其应用摘 要数列上、下极限的概念，是数学分析中的两个重要概念在不同版本的数学分析教材中，往往以不同形式给出其定义关于数列上、下极限的概念，常用的表示方法有三种（文中的定义1、2、3）除此之外，本文又给出了两种定义方式（文中的定义4、5）接着利用实数完备性和极限理论知识，如：聚点定理，闭区间套定理，数列极限的定义以及收敛数列的性质等，严格论证了这五种定义的等价性在此基础上又探讨了数列上、下极限的一些性质，并给出了其证明过程其次，借助上、下极限的定义及性质，给出了有关上、下极限的若干命题最后，举例说明了上、下极限在极限运算及数列与级数论中的应用关键词：上极限，下极限，聚点，

2、上确界About the Equivalence of the Definitions of Superior Limit and Inferior Limit and Its applicationsYu Li(School of Mathematical Science, Huaibei Normal University, Huaibei, 235000AbstractThe concept of the superior and inferior limit on sequence is two important concepts in mathematical analysisIn

3、 different versions of textbooks of mathematical analysis，often give different forms of its definitionOn the sequence of the superior and inferior limit of the concept，there are three commonly used methods (the definition of paper 1、2、3 In addition，this article gives two definitions (the definition

4、of article 4、5By using of knowledge of completeness of real and limit theory，such as：theorem of the point of accumulation，theorem of nested interval，definitions of sequence limit and the properties of convergence sequence，this article strictly proofs the equivalence of the five definitionsOn these b

5、ases，we discuss some properties of the superior and inferior limit，and give the proofSecondly，using the definitions and properties of the superior and inferior limit，we give some propositions about the superior and inferior limitFinally，this paper gives examples to illustrate the application of the

6、operation of limit and the theory of series of the superior and inferior limitKeywords: superior limit，inferior limit，accumulation，least upper bound目 录引言 1一、上、下极限的定义 1（一）上、下极限的5种定义1（二）上、下极限定义的等价性证明2二、上、下极限的相关应用 5（一）上、下极限的性质5（二）有关上、下极限的若干命题8（三）上、下极限在极限教学中的作用 121上、下极限在极限运算中的作用122上、下极限在数列与级数论中的作用13结论14

7、参考文献14致谢15引言一个有界数列不一定有极限，但它却有上极限和下极限.数列的上、下极限是极限概念的自然推广，它是本科教学和学生学习的难点问题.由于目前普遍受教学计划总时数的限制，现行一般本科教材中关于数列上、下极限部分的教学内容大多是不做具体要求，有的即使写进数分教材里也是作为选学内容，况且，大多数教材对上、下极限也讨论的不细致、不深入，这样无疑更加淡化了上、下极限的教学.事实上，上、下极限的概念在许多后继数学课程和研究领域里都有重要的应用，例如：实变函数论，概率论，测度论等学科都从不同角度应用到了上、下极限的概念，所以对上、下极限有个清楚的认识是必要的.本文将从上、下极限的定义、性质、定

8、理、应用四个方面作深入细致的探讨，期望对数学分析的教学有所帮助.关于上、下极限的概念，我们常常在不同的教材看到其定义各不相同，为了深刻认识其内涵，本文给出了上、下极限的五种定义方式，并证明了五种定义的等价性.一、上、下极限的定义（一）上、下极限的5种定义定义1（用“数列的聚点”来定义） 若表示数列的最大（小）聚点， 则=(.定义2（用“数列的收敛子列”来定义） 设是有界数列，若表示数列的所有收敛子列的极限值中的最大（小）者，则=（=）.定义3（用“数列的确界”来定义） =称为数列的上极限，=称为数列的下极限.定义4 称为数列的上极限，称为数列的下极限.定义5 （1）若对>0,有无穷多个使

9、得>,同时至多有有限个使得>,数称为数列的上极限，记作=.（2）若对>0,有无穷多个使得，同时至多有有限个使得，数称为数列的下极限，记作=.（二）上、下极限定义的等价性证明为了方便起见，仅就上极限的情形予以证明，下极限的情形依此即可.证明 12 因为是数列的聚点的充要条件是：存在子列收敛于，由此可见的最大聚点，便是的收敛子列极限的最大值.23 令=，由2必存在子列收敛于.因为，于是有=，我们说后面的不等式只能取等号.如若不然，设=，那么由，必使.依的定义，必,使 .由，又必,使.依的定义，必,使.如此类推，一般地由，必,使.依的定义，必,使.令可见也是的收敛子列的极限，这就与

10、已知是最大的子列极限矛盾，于是只有=.又因为递减且有下界，必收敛，从而必与其子列同极限，所以=.34 因为非空且有下界，从而也非空且有下界.因而的下确界存在，记为=.于是有且>0，必使.又因为递减，故当时，必有，从而.可见，但由3已知，故，既是=，亦即=.45 已知=，由此先证>0,必有无穷多个,使得 >，如若不然，则>0,必，对有 ，取，则便是从第项起以后的项的上界，于是有=，及.再由已知得矛盾.今再证至多有有限个,使得>.因为已知=，由下确界定义并注意到递减，>0,必，对有.而，于是当时，对一切自然数都有 ，这意味着大于的就至多有有限项.51 由5可知，

11、>0,必有无穷多个,使，这意味着便是的聚点.今证再无大于的聚点，否则，设是大于,即 ，由所设是聚点，必有无穷多个,使得>,这与已知至多有有限个使得>矛盾.至此已证完了一个圈，因此本文所给出的数列上下极限的5种定义是等价的.既然等价，任取其一作为上极限的定义（记作=）也就未尝不可，而由于其优点各异（1、2容易想象，3、4便于运用，5介乎其间），不同的教材侧重于不同的优点，自然就会出现不同形式的定义了.这里只证了一个圈，我们还可证其它的圈，还可写出并证明相应的下极限的等价命题.同时我们还可以尝试用其它的方法来描述上、下极限的概念.这样做，不仅可以加深对上、下极限概念的理解，而且对

12、训练自己的发散思维和创造思维能力等都有一定的帮助.对于一般的数列，在此约定1、 如果是无上界数列，其上极限为.记为=2、 如果是无下界数列，其下极限为.记为=于是，任一数列的上下极限都存在.今用部分极限证明如下：1）先证任一数列都有子列极限，因为若无上界，则必有子列以为极限，若有上界但无下界，则必有子列以为极限，若上下都有界，并且有无穷多项取同一数值，则便是一个常数列的子列极限，若上下有界，但至多只有有限项相同，则由致密性定理知必有收敛的子列存在.2）再证任一数列的子列极限必有一个是最大的，一个是最小的，因为若是的子列极限，当然它就是最大的，若不是子列极限，则无有限的子列极限，则由1），必以为

13、唯一的子列极限，所以也就是的最大的子列极限（当然也是最小的子列极限）.若有有限的子列极限，那么这些子列极限的集合必有上界，从而有上确界，记为.今证，若，即非子列极限，则，在的领域中，必只含的有限项.但因，对上述，必，使，而，表明是的子列极限，于是必存在子列收敛于，从而必存在充分大的， 使得的一切项有，这就产生矛盾，故只有，这样，便是最大的子列极限.同理可证有最小的子列极限.3）将2用于2），便得任一数列的上、下极限都存在.二、上、下极限的相关应用（一）上、下极限的性质性质1 ，当且仅当存在时取等号.证明 因为 ,从而 .此即 .下证取等号的条件：当=时，因为 ,由迫敛性便知存在.当存在时，设=

14、. 若，则有 ,从而 .可见 .此即 .若，则有，从而 .于是 .也得 .若，同理可证.总之，当且仅当收敛时，.性质2 若，则，.证明 设，.假设，取，则中大于的项有无限多个，由于，故中大于的项有无限多个，这与矛盾.同理可证.性质3（1）若，则，.（2）若，则，.证明 仅证， 令即可得证.性质4 .式中只要不出现就成立，并且当与之一收敛时取等号.证明 仅证明 .设，.用反证法，假设，则根据下极限的定义知，对，中有无穷多项小于.另一方面，由于，故中至多只有有限项小于，中至多只有有限项小于，从而中至多只有有限项小于，这与前面所述矛盾.所以，即.证毕.性质5 若，则.证明 设.则>0,至多只有

15、有限项小于，而有无穷多项小于.因此至多只有有限项满足：，而有无穷多项满足：，其中，且由于可以任意小，因而也可以任意小.故有.证毕.性质6 若，则.式中只要不出现就成立，并且当与之一收敛时取等号.证明 先证明（1） 若，则因存在，故，使得 .当，及，因此，有无穷多个，使得 .从而对于这样的无穷多个，有，故.（2） 若，则化归为（1）.（3） 若，用反证法，假设.则根据下极限的定义知，对于，有无穷多个,使得 .又因至多只有有限个,使得以及，从而至多只有有限个,使得 .（4） 取如此之小使它同时满足，则至多只有有限个,使得，由此得到矛盾，故，即.性质7若为递增数列，则.证明 若有界，则由单调有界定理

16、，极限存在，从而有.若无界，则，从而对任给正数，中大于的项有无限多个，设，由的递增性，当时，有，所以.（二）有关上、下极限的若干命题 定理 若，则.证明 仅证明后一部分.假设.只须证明.因，所以，使当有.任取，令将所得的个不等式相乘得 .此即 ，其中.从而 .令取上极限得 .由的任意性得 .定理2 若，且，则收敛.证明 根据性质5知：，又因，所以.故收敛.定理3 若，则.证明 用反证法.假设此结论不成立，则，使当时，有.这个不等式等价于.依次取为, 并把所得结果相加，得 .这与调和级数的发散相矛盾.为证1不能以更大的数代替，设，则，此式对于大的可任意靠近1，或者若设，则有.定理 若，则.证明

17、不妨设.用反证法.假设此结论不成立，则，使当时，有，即.依次取为, 得：,.因此有 .注意到为任意正整数，这与是有限数相矛盾.证毕.定理5 设满足条件：，证明存在.证明 因为，可见，即有界，从而其上、下极限必都是有限数.下证它们相等即可.为此固定，并定义，当充分大时，由已知有 ,即 .从而 .令，这时，于是得.再让并对右端取下极限得.所以存在.定理 若数列有界且.则此数列的聚点之集合是区间，其中，.证明 因为数列有界，故由聚点定理知，此数列至少有一个聚点.设为最小聚点，为最大聚点.若，则此命题不证自明，故设，.由于，故，使当时，有，即当充分大时，数列之相邻两项的距离小于.由于，故必存在，使落在

18、的邻域内.又因，故必存在，使落在的邻域内.不妨设，且.所要证明的就是存在，使.今若无一落在的邻域内，则因，而，不妨设中第一个大于的为，即 .从而 ，由此得出矛盾.故落在的邻域内，此即为的聚点.证毕.注 若数列无下界，则；若数列无上界，则.定理7 证明柯西收敛准则（充分性）证明 由已知，有.固定得 .从而有 .因而 .令得 .为进一步理解上极限的含意，特作如下对比：，即是>0,，有.，即是>0,，有,使.可见后者不同之处是：不必满足的双侧邻域，它从第项起可以而且只可以溢出的左端，但又不能全部溢出左端，在中仍需含有无穷项，这样就必是的最大聚点，从而必有子列收敛于，使为最大子列极限.类似

19、地可以对比函数极限与函数的上极限，从而发现它们的不同之处.还可将函数的上极限与函数的右极限对比，从而可见所谓“右”不过是对自变量而言，所谓“上”不过是对因变量即函数值而言.（三）上下极限在极限教学中的作用1.上下极限在极限运算中的作用例1 已知，求证.这个题被用作加深学生对极限概念的理解,常见学生犯以下错误：由于对任一，存在常数，当时，有，所以 (1令，得到 .再由的任意性得到 .错误是预先认定了极限的存在.这里如应用上、下极限，就可绕开极限是否存在这个问题.正确的做法是：由（1），令，得到 .再由的任意性得到.于是推得 .类似上述过程，不少书中直接写为：“令，（1）式的左右两边分别趋于和.”

20、由于的任意性可得.学生如无上、下极限的知识，就可能误解为前面指出过的错误过程.2.上、下极限在数列与级数论中的作用一个数列收敛，说明数列中的项，当充分大时有大致相差不多的大小.一个发散数列是没有这个性质的.上下极限正好用来补充说明一个发散数列，当充分大时，数列中的项大致的变化幅度.这一点在不少问题中很有用处.例如，一般分析教科书中均提到当极限 （8）存在时，幂级数 （9）的收敛半径就是.这反映了幂级数的收敛半径是由其系数的绝对值大小来决定的.而实际上，幂级数的收敛半径只由其绝对值最大的那一部分系数决定，即幂级数（9）式的收敛半径等于 (10事实上，设（9）式收敛，则当充分大时可有.亦即 .令，就得到，所以收敛半径不超过.另一方面，由