3、圆周运动的案例分析

1、第五章第五章 曲线运动曲线运动竖直面内圆周运动习题课竖直面内圆周运动习题课【学习目标学习目标】1 1会分析轻绳和轻杆模型在最高点和最低点时会分析轻绳和轻杆模型在最高点和最低点时的向心力来源的向心力来源2 2、会利用牛顿第二定律和向心力公式解决竖直、会利用牛顿第二定律和向心力公式解决竖直面内的圆周运动问题面内的圆周运动问题【复习旧知【复习旧知】1 1向心力公式向心力公式2 2、对公式的理解、对公式的理解(1)(1)向心力公式既适用于向心力公式既适用于 运动，也适运动，也适用于用于 运动运动(2)(2)向心力公式具有向心力公式具有 性性，即利用公式求圆，即利用公式求圆周上周上某一点某一点的向心力和

2、向心加速度的大小时，的向心力和向心加速度的大小时，必须用必须用该点的该点的 速度值速度值匀速圆周匀速圆周非匀速圆周非匀速圆周瞬时瞬时瞬时瞬时应用（一）绳模型和内轨应用（一）绳模型和内轨竖直面内的圆周运动竖直面内的圆周运动2 2、小球通过最高点时的、小球通过最高点时的临界条件：临界条件：【应用【应用】1 1、通常只讨论、通常只讨论 点和点和 点的情况点的情况最高最高最低最低3 3、小球通过最高点时的、小球通过最高点时的受力情况：受力情况：温馨提示：温馨提示： 绳对物体只能产生拉力，不会产生支持力绳对物体只能产生拉力，不会产生支持力 内轨对物体只能产生压力，不会产生拉力内轨对物体只能产生压力，不会

3、产生拉力物体物体 过最高点，过最高点，F=F= ，绳、轨，绳、轨道对小球道对小球 作用力作用力物体能过最高点，物体能过最高点，F0F0，绳对小球有，绳对小球有 力，轨道对小球有力，轨道对小球有 力力 物体物体 到达最高点就脱离了轨道到达最高点就脱离了轨道恰能恰能0无无拉拉压压没有没有 例例1 1、长为、长为L L的轻绳，其一端固定于的轻绳，其一端固定于O O点，另一端连点，另一端连有质量为有质量为m m的小球，它绕的小球，它绕O O点在竖直平面内做圆周运点在竖直平面内做圆周运动求：动求：(1)(1)小球刚好到达最高点时的速度；小球刚好到达最高点时的速度；(2)(2)小球到达最高点速度为小球到达

4、最高点速度为2 2 时绳受到的拉力时绳受到的拉力【典例分析【典例分析】应用（二）应用（二）杆模型和圆管模型杆模型和圆管模型1 1、小球通过最高点时的、小球通过最高点时的临界条件：临界条件：v=0温馨提示：杆温馨提示：杆对物体既能产生拉力，也能产生对物体既能产生拉力，也能产生支持力支持力圆管圆管的内外壁对物体均可产生压力的内外壁对物体均可产生压力(1)(1)v0 0时，时，F FN Nmgmg，为，为 力力(2)(2)v 时，时，F FN N0 0，杆对物体，杆对物体 力力(3)0(3)0v 时，杆对物体产生时，杆对物体产生 力，力，v增大时增大时, , FN (4)(4)v 时，杆对物体产生时

5、，杆对物体产生 力，力， v增大时增大时, FN 2 2、小球通过最高点时的、小球通过最高点时的受力情况：受力情况：支持支持无作用无作用支持支持减小减小拉拉增大增大【例【例2 2】如图所示，小球如图所示，小球A A质量为质量为m m，固，固定在轻细直杆定在轻细直杆L L的一端，并随杆一起绕的一端，并随杆一起绕杆的另一端点杆的另一端点O O在竖直平面内做圆周运在竖直平面内做圆周运动，如果小球经过最高位置时，杆对小动，如果小球经过最高位置时，杆对小球的作用力大小等于小球的重力球的作用力大小等于小球的重力. .求：求：(1)(1)小球的速度大小；小球的速度大小；(2)(2)当小球经过最低点时速度为当

6、小球经过最低点时速度为 此时，求杆对此时，求杆对球的作用力的大小和球的向心加速度的大小球的作用力的大小和球的向心加速度的大小. .6gL,【典例分析【典例分析】 【解题指导【解题指导】确定小球在最高点、最低点的向心力，确定小球在最高点、最低点的向心力，小球经过最高点时，杆对小球的作用力可以是支持力小球经过最高点时，杆对小球的作用力可以是支持力也可以是拉力也可以是拉力. .【标准解答【标准解答】(1)(1)小球小球A A在最高点时，对球受力分析：在最高点时，对球受力分析：重力重力mgmg，拉力，拉力F=mgF=mg或支持力或支持力F=mgF=mg根据小球做圆周运动的条件，合外力等于向心力，得根据

7、小球做圆周运动的条件，合外力等于向心力，得 F=mgF=mg 解解两式，可得两式，可得 或或v=0v=02vmgFmLv2gL(2)(2)小球小球A A在最低点时，对球受力分析：重力在最低点时，对球受力分析：重力mgmg、拉力、拉力F F，设向上为正方向设向上为正方向根据小球做圆周运动的条件，合外力等于向心力，根据小球做圆周运动的条件，合外力等于向心力，解得解得故球的向心加速度故球的向心加速度答案：答案：(1) (1) 或或0 (2)7mg 6g0 (2)7mg 6g2vFmgmL2vFmgm7mgL2va6gL.2gL方法总结方法总结：竖直平面内圆周运动的分析方法：竖直平面内圆周运动的分析方

8、法：(1)(1)明确运动类型，是轻绳、内轨模型还是轻明确运动类型，是轻绳、内轨模型还是轻杆、外轨、圆管模型杆、外轨、圆管模型(2)(2)明确物体的临界状态，即在最高点时物体明确物体的临界状态，即在最高点时物体具有最小速度时的受力特点具有最小速度时的受力特点(3)(3)分析物体在最高点及最低点时的受力情况，分析物体在最高点及最低点时的受力情况，根据牛顿第二定律和向心力公式列式求解根据牛顿第二定律和向心力公式列式求解应用（三）圆周运动与平抛运动的综合应用（三）圆周运动与平抛运动的综合 例例3 3、如图，在光滑水平面上竖直固定一半径为、如图，在光滑水平面上竖直固定一半径为R R的的光滑半圆槽轨道，其

9、底端恰与水平面相切质量为光滑半圆槽轨道，其底端恰与水平面相切质量为m m的小球以大小为的小球以大小为v v0 0的初速度经半圆槽轨道最低点的初速度经半圆槽轨道最低点B B滚滚上半圆槽，小球恰能通过最高点上半圆槽，小球恰能通过最高点C C后落回到水平面上后落回到水平面上的的A A点点( (不计空气阻力，重力加速度为不计空气阻力，重力加速度为g g) )求：求： (1)(1)小球通过小球通过B B点时对半圆槽的压力大小；点时对半圆槽的压力大小； (2)(2)ABAB两点间的距离；两点间的距离；1 1、( (多选多选) )如图所示，小球如图所示，小球m m在竖直放置在竖直放置的光滑的圆形管道内做圆周

10、运动，下的光滑的圆形管道内做圆周运动，下列说法正确的是列说法正确的是( )( )A.A.小球通过最高点时的最小速度是小球通过最高点时的最小速度是B.B.小球通过最高点时的最小速度为零小球通过最高点时的最小速度为零C.C.小球通过最低点时对管壁压力一定大于重力小球通过最低点时对管壁压力一定大于重力D.D.小球在水平线小球在水平线abab以上的管道中运动时外侧管壁对以上的管道中运动时外侧管壁对小球一定有作用力小球一定有作用力【变式训练【变式训练】gRBC【解析】选【解析】选B B、C C. .小球在光滑的圆形管道内运小球在光滑的圆形管道内运动到最高点时的最小速度为零，动到最高点时的最小速度为零，A

11、 A错误、错误、B B正确；正确；小球通过最低点时小球通过最低点时得得 故小球通过最低点时对管故小球通过最低点时对管壁压力一定大于重力，壁压力一定大于重力，C C正确；小球在水平线正确；小球在水平线abab以上的管道中运动时外侧管壁对小球不一定以上的管道中运动时外侧管壁对小球不一定有作用力，有作用力，D D错误错误. .2vNmgmR,2vNmgmR,2 2、如图所示，质量为、如图所示，质量为m m0.2kg0.2kg的小球固定在长为的小球固定在长为L L0.9m0.9m的轻杆的一端，杆可绕的轻杆的一端，杆可绕O O点的水平转轴在竖直平点的水平转轴在竖直平面内转动。面内转动。g g10m10m

12、s s2 2，求：，求：(1)(1)当小球在最高点的速度为多大时，当小球在最高点的速度为多大时，球对杆的作用力为零球对杆的作用力为零? ?(2)(2)当小球在最高点的速度分别当小球在最高点的速度分别为为6m6ms s和和1.5m1.5ms s时，球对杆的作用力的大小与方向时，球对杆的作用力的大小与方向? ?【变式训练【变式训练】(1)v=3m/s (2)v=6m/s(1)v=3m/s (2)v=6m/s时，球对杆有向上时，球对杆有向上的拉力；的拉力；v=1.5m/sv=1.5m/s时，球对杆有向下的压力时，球对杆有向下的压力 v va ab bo oa ab bo o圆周运动周期性问题圆周运动

13、周期性问题训练训练：如图，半径为：如图，半径为R R的水平圆板正在以中心的水平圆板正在以中心O O为轴匀为轴匀速转动，从圆板中心速转动，从圆板中心O O点正上方高为点正上方高为h h处水平抛出一处水平抛出一小球，此时小球，此时OBOB恰好与初速度方向一致，要使球正好恰好与初速度方向一致，要使球正好落在落在B B点，则小球的初速度为多少？圆板的角速度点，则小球的初速度为多少？圆板的角速度为多少？为多少？v=?v=?h hoB BR R【典例【典例】如图所示，水平转盘上放有质量为如图所示，水平转盘上放有质量为m m的物体的物体( (可可视为质点视为质点) )，连接物体和转轴的绳子长为，连接物体和转

14、轴的绳子长为r r ，物体与转，物体与转盘间的最大静摩擦力是其压力的盘间的最大静摩擦力是其压力的倍，转盘的角速度由倍，转盘的角速度由零逐渐增大，试通过计算求：零逐渐增大，试通过计算求：(1)(1)绳子对物体拉力为零绳子对物体拉力为零时的最大角速度时的最大角速度.(2).(2)当角速度为当角速度为 和和 时，绳时，绳子对物体拉力的大小子对物体拉力的大小. .圆周运动的临界问题圆周运动的临界问题【标准解答【标准解答】(1)(1)当恰由最大静摩擦力提供向心力时，当恰由最大静摩擦力提供向心力时，绳子拉力为零且转速达最大，设转盘转动的角速度为绳子拉力为零且转速达最大，设转盘转动的角速度为0 0，则，则

15、mg=mr02 得得0 0 = =(2)(2)当当= = 时，时，0 0，物体所需向心物体所需向心力仅由静摩擦力提供，此时绳子对物体拉力为零。力仅由静摩擦力提供，此时绳子对物体拉力为零。当当= = 时，时，0 0，所以绳子的拉力所以绳子的拉力F F和 最 大 静 摩 擦 力 共 同 提 供 向 心 力 ， 此 时 ，和 最 大 静 摩 擦 力 共 同 提 供 向 心 力 ， 此 时 ，F+mgF+mg=m=m2 22 2r,r,即得即得F=F=测评测评P8P8：1616、如图所示，在倾角为、如图所示，在倾角为=37=370 0的长斜面顶的长斜面顶端端A A点以初速度点以初速度v v0 0=20

16、m/s=20m/s的水平速度抛出一个小球，的水平速度抛出一个小球，最后落在斜面上的最后落在斜面上的B B点，求点，求小球在空中运动的时间小球在空中运动的时间以及以及A A、B B间的距离。间的距离。小球抛出多长时间后离开斜小球抛出多长时间后离开斜面的距离最大？最大距离是多少？面的距离最大？最大距离是多少？（1）t=3s AB=75m（2） t=1.5s H=9m例例2 2、如图所示，质量为、如图所示，质量为m m的汽车在圆拱桥上以速度的汽车在圆拱桥上以速度v v前前进，桥面的圆弧半径为进，桥面的圆弧半径为R R，为了汽车安全过拱桥顶时的，为了汽车安全过拱桥顶时的最大速度不得大于多少？如果桥能够

17、承受的最大压力最大速度不得大于多少？如果桥能够承受的最大压力为车重的为车重的3/4 3/4 ，求汽车安全过桥时，在桥的最高点时，求汽车安全过桥时，在桥的最高点时的速度范围的速度范围【典例分析【典例分析】解析：解析：选汽车为研究对象，汽车受选汽车为研究对象，汽车受力如图所示由牛顿第二定律可得力如图所示由牛顿第二定律可得由此式可知：车的速度越大，汽车对桥的压力越由此式可知：车的速度越大，汽车对桥的压力越小当速度增大到一定值小当速度增大到一定值v v时，汽车对桥面的时，汽车对桥面的压力减小压力减小为零，汽车会脱离地面飞出桥面，做平抛运动为零，汽车会脱离地面飞出桥面，做平抛运动 令令F FN N0 0可得汽车过桥顶时的最大速度不得超过可得汽车过桥顶时的最大速度不得超过思维总结：思维总结：本题关键是弄清楚汽车在最高点本题关键是弄清楚汽车在最高点时重力和支持力的合力提供向心力，且方向必时重力和支持力的合力提供向心力，且方向必须竖直向下须竖直向下训练训练2、如图，、如图，A A、B B两物体开始位于同一水平高度，其两物体开始位于同一水平高度，其质量分别为质量分别为m m和和M M，A