第四讲行列式计算及克莱姆法则

1、作业：作业：P22 1（1） 7 （1）第一周作业点评第一周作业点评复习复习1、 n阶行列式的展开定理阶行列式的展开定理2、行列式的计算方法（三类）、行列式的计算方法（三类），当当jijiDAankjkik,0,1 jijiDAankkjki当当,0,1) 1(11111221221221222abcdddddccccbbbbaaaaD设01D根据行列式性质根据行列式性质1129633211D 计算行列式计算行列式 11111221221221222ddddccccbbbbaaaaD111111111212121212121212dddcccbbbaaadddcccbbbaaa11111111

2、)(1212121212121212,4321dddcccbbbaaadddcccbbbaaaabcddrcrbrar11111111)1(12121212121212123,432132dddcccbbbaaadddcccbbbaaacccccc0nnnaaaaaaaaaD 111212121行和相同行和相同nininiaaaaaaaaaD 11111222 计算行列式计算行列式 nnniaaaaaaa 11111)1 (222101011001)1 (), 2 , 1(1 iiianicacia1根据行列式展开定理，可作变换根据行列式展开定理，可作变换镶边法镶边法aaaD111111aaa

3、D1101101101111aaairir0010010011111)4,3,2, 1(1 计算行列式计算行列式 001101011101001011101011001) 1(3aaaaaaa行展开按第一2223) 1() 1() 1() 1(aaaa) 2() 1(2aacbaD111111镶边法适用于相同元素较多的行列式镶边法适用于相同元素较多的行列式 计算行列式计算行列式 根据行列式性质根据行列式性质化零降阶法化零降阶法1331110112122113D12321000131123154341ccccD232311315) 1(43)4526(6910) 1(43742100000121

4、0000000121000001210000012 nD21000001210000000121000001210000012 nC 求证求证Cn=Dn Cn=Dn 当当n=1,2时，时，D1=2=C1,21123211222CD假设当假设当kn-1时，等式成立，即时，等式成立，即Dk=Ck当当k=n时，把时，把Dn，Cn，按第一行展开有按第一行展开有：2121122100012000002100012000011)1(2 nnnnDDDD212nnnCCC由归纳假设由归纳假设Dn-1=Cn-1， Dn-2=Cn-2，故故Dn=Cn归纳假设归纳假设归纳法归纳法把把Dn，Cn，按第一行展开有按第

5、一行展开有：212nnnDDD212nnnCCC即：即：Dn=Cn1231232211 DDDDDDDDnnnnnn12312211 CCCCCCnnnn故故12) 1() 1(111121 nnDnDDDnnn12) 1() 1(111121 nnCnCCCnnn注：注：归纳法和递推法适用于原行列式能转化为归纳法和递推法适用于原行列式能转化为结构相同的低阶行列式的情况。结构相同的低阶行列式的情况。分析行列式结构和规律分析行列式结构和规律112112222121111 nnnnnnaaaaaaaaaD我们把这个行列式称作我们把这个行列式称作n阶范德蒙行列式阶范德蒙行列式 计算行列式计算行列式

6、P18 P18 )()(223aaaan )()(11312aaaaaaDnn )(1nnaa即：即：j=1j=2j=n-1)(1jinijaaD该行列式的值为：该行列式的值为：当当k=2时，有：时，有：1221211aaaaD公式成立公式成立.假设当假设当k=n-1时，公式成立，即时，公式成立，即)(111jinijnaaD下证下证k=n时，公式成立时，公式成立从最后一行开始，每一行减去它相邻的前从最后一行开始，每一行减去它相邻的前一行乘以一行乘以a1,即作线性运算即作线性运算)2(11nirarii112112222121111 nnnnnnnnnaaaaaaaaaD21111nnaaa2

7、2112nnaaa)(1222aaan0)()(0)()(00111111212121222112)2(11aaaaaaaaaaaaaaaaDnnnnnnnniirair 按第一列展开，有：按第一列展开，有：)()()()(1212221122112aaaaaaaaaaaaaaaaDnnnnnnn 每一列均可提取公因子，则：每一列均可提取公因子，则：22221131211)()( nnnnnaaaaaaaaaaDn-1阶范德蒙行列式阶范德蒙行列式故有：故有：1113122222)()(11 nnnnnnDaaaaaaaaaa)(1jinijaaD即：即：)()()(211312jinijnaa

8、aaaaaa 8216276443691626341111D由范德蒙行列式的计算公式有：由范德蒙行列式的计算公式有：)()()()()(342423141312aaaaaaaaaaaaD)62()32()36()42()46()43(1440)8()5(3)6(21 计算行列式计算行列式8271256449251623541111D由范德蒙行列式的计算公式有：由范德蒙行列式的计算公式有：)32()52()53()42()43()45(D)5()7()2()6() 1(1420 计算行列式计算行列式 4208271256449251623541111?8421279311252551641641

9、4208421279311252551641641?1111235449251682712564?1248139271525125141664420关于范德蒙行列式主要掌握两点：关于范德蒙行列式主要掌握两点：1、能识别范德蒙行列式、能识别范德蒙行列式2、会利用范德蒙行列式的公式进行计算、会利用范德蒙行列式的公式进行计算)(1jinijaaD在行列式在行列式Dn=(aij)中，若中，若aij=aji,称为称为对称行列对称行列式式；若；若aij=-aji，称为，称为反对称行列式反对称行列式：奇数阶反对称行列式等于零：奇数阶反对称行列式等于零及行列式性质，有：及行列式性质，有：由由jiijaa问题问

10、题：反对称行列式主对角线上的元素有什么特点？：反对称行列式主对角线上的元素有什么特点？333231232221131211aaaaaaaaaD 0002122321112 nnnnaaaaaaaD0002123212121 nnnnaaaaaaaTnD) 1(Dn) 1(n为奇数，故为奇数，故D=-D有有D=00032301210001111011110111100035030805801061D1.4 1.4 行列式的应用行列式的应用克莱姆法则克莱姆法则1 1、n n元线性方程组元线性方程组 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa2211222221211121211

11、1（1.17）若若b bi i(i(i=1,2,=1,2,，n)n)不全为不全为0 0，则称，则称（1.171.17）式为式为非齐次线性方程组非齐次线性方程组，,212222111211nnnnnnaaaaaaaaaD称为方程组（称为方程组（1.171.17）的）的系数行列式系数行列式. .若若b bi i=0(i=1,2,=0(i=1,2,，n) n) ，则称（，则称（1.171.17）式为）式为齐次线性方程组齐次线性方程组其系数其系数a aijij(i,j(i,j=1,2,=1,2,，n)n)构成如下行列式构成如下行列式对于齐次线性方程组对于齐次线性方程组x1 = x2 = = xn =

12、0 一定是它的解一定是它的解, ,这个解叫做这个解叫做. .如果一组不全为零的数是如果一组不全为零的数是. . 齐次线性方程组齐次线性方程组一定有零解一定有零解, ,但不一定有非零解但不一定有非零解. .方程组的解方程组的解, ,则它叫做则它叫做.2221121122111122aaaababaDDx,2221121122212111aaaaababDDx.22221211212111bxaxabxaxa，当系数行列式当系数行列式022211211aaaa有唯一解有唯一解克莱姆法则的二阶形式克莱姆法则的二阶形式若方程组（若方程组（1.171.17）的系数行列式）的系数行列式, 02122221

13、11211nnnnnnaaaaaaaaaD则方程组（则方程组（1.171.17）有唯一解）有唯一解), 2 , 1(niDDxii 其中其中nninninnniiiaabaaaabaaD1,1,111, 111, 111解的表达式解的表达式), 2 , 1(niDDxii nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111对原方程组对原方程组作如下变换：任取作如下变换：任取1jn1jn，用代数余子式，用代数余子式A A1j1j，A A2j2j，A Anjnj分别乘以方程组的第分别乘以方程组的第1,21,2，n n个方程，个方程，再相加有：再相

14、加有：njnjjAbAbAb2211右边证法一：证法一：A1jA2jAnj11221111)(xAaAaAanjnjj左边jnjnjjjjjxAaAaAa)(2211nnjnnjnjnxAaAaAa)(2211jjnjnjjjjjDxxAaAaAa)(2211而而njnjjAbAbAb2211右边可看作如下行列式按第可看作如下行列式按第j j列的展开列的展开右边nninninnniiiaabaaaabaaD1,1,111, 111, 111故故), 2 , 1(niDDxii 右边左边由由D0,D0,有：有：), 2 , 1(niDDxii 即上式满足方程组（即上式满足方程组（1.171.17

15、），为原方程组的），为原方程组的唯一解唯一解证法二：证法二：先证先证), 2 , 1(niDDxii nninninnniiiaabaaaabaaD1,1,111, 111, 111nninininnniiiaaaaaaaaaaD1,1,111, 1, 11, 111nniniininnniiiiiaaxaaaaaxaaaDx1,1,111, 1, 11, 111nbb1nninnnniiniinninnninniiiiiiaaxaxaxaxaaaaaxaxaxaxaaaDx1,11,111,111, 11, 111, 11111, 111作线性变换：作线性变换：r ri i+x+xj jr

16、rj j(ji(ji),),得：得：由原方程组有：由原方程组有：inninninnniiDaabaaaabaa1,1,111, 111, 111即当即当D0D0时，有时，有), 2 , 1(niDDxii 故方程组（故方程组（1.171.17）的有解且解唯一）的有解且解唯一. .求解方程求解方程组组若若n n元线性方程组的系数行列式元线性方程组的系数行列式, 0D则该方程组有唯一解，表示为：则该方程组有唯一解，表示为：), 2 , 1(niDDxii .1343022132321321321xxxxxxxxx，由由02343122321D23411203211D23131023112D0143

17、0221213D故故111DDx122DDx033DDx要使此方程组有唯一解，求要使此方程组有唯一解，求k k的取值范围的取值范围3221kzyxzkyxzykx系数行列式为：系数行列式为：11211113kkkkD由克莱姆法则，要使由克莱姆法则，要使D0,D0,即即k1k1故故k k的取值范围为：的取值范围为：R|k1R|k1克莱姆法可以用于判断方程组解的唯一性克莱姆法可以用于判断方程组解的唯一性对齐次线性方程组对齐次线性方程组 000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa若系数行列式若系数行列式D0D0，则方程组只有零解，则方程组只有零解

18、你能证明吗？你能证明吗？对于齐次线性方程组，克莱姆法则有什么变化？对于齐次线性方程组，克莱姆法则有什么变化？由定理由定理2 2可得逆否命题：可得逆否命题：若齐次线性方程组有非零解，则若齐次线性方程组有非零解，则D=0D=0v行列式的计算行列式的计算v范德蒙行列式、对称行列式范德蒙行列式、对称行列式v克莱姆法则克莱姆法则一、一、n阶行列式的定义阶行列式的定义 nnnmmmmmmNaaaD212121)() 1(1）、对角线法则）、对角线法则2）、排列和逆序数）、排列和逆序数3）、一般项的另一表示方式）、一般项的另一表示方式二、行列式的性质二、行列式的性质1）、七个性质（转置相等，数乘运算，拆）、七个性质（转置相等