线性代数全公式_线性代数公式定理总结

1、线性代数全公式基本运算 A B = B A A B C=A B C c A B = cA cB c d A = cA dA c dA = cd A cA = 0：= c=0 或 A=0。(cA j = c(AtAB T =BTATD 二 a?i A21a22 A22' a2n A2n转置值不变AT = A逆值变AcA = cn A；i2,二A 二1,2,3 , 3 阶矩阵B = ：1, ：2 , ：3a + b| m|a +|bA B 八 112233A + B| =帆碑1企+駡,。3碑3A * A 0=Ab* BEi,jc =1有关乘法的基本运算Cij - ai 1b1 j '

2、; ai2b2j' ain bnj线性性质Ai A2AiB A2B ,A B1 B2 = AB1 AB2cA B 二 c AB 二 A cB结合律 AB C = A BCAB T = BTATAB =|AB"kJ A k lA A=A（Ak = AklAB k二AkBk不一定成立！AE = A , EA = AAkE =kA , kE A 二 kAAB = E = BA 二 E与数的乘法的不同之处AB k 二 AkBk 不一定成立！无交换律因式分解障碍是交换性一个矩阵A的每个多项式可以因式分解，例如2reA -2A -3E 二 A -3E A E无消去律（矩阵和矩阵相乘）当

3、AB = 0 时=A = 0 或 B = 0由 A = 0 和 AB=O= B=0由A = 0时AB二AC = B二C （无左消去律）特别的设A可逆，则A有消去律。左消去律：AB二AC= B = C。右消去律：BA二CA= B = C。如果A列满秩，则 A有左消去律，即 AB =0= B = 0 AB 二 AC = B 二 C可逆矩阵的性质i )当A可逆时，Tt -11 TA也可逆，且 A 二A 。Ak 也可逆，且(Ak t = Aa )。, JL 1数c = 0, cA也可逆，cLl lii) A , B是两个n阶可逆矩阵二 AB也可逆，且 AB -BAJ。推论：设A , B是两个n阶矩阵，

4、则AB二E= BA = E命题：初等矩阵都可逆，且_L仙Ei,j 二Ei,jEi c=E“ “ 1Ei,j c 二Ei,j -c命题：准对角矩阵ALL0000A2200A =+可逆二 每个 A'ii都可逆，记00-0000AkkAl；000_L0A2；00A =+00a0000A：伴随矩阵的基本性质AA* =A* A= AE当A可逆时,（求逆矩阵的伴随矩阵法）i A 二、 A* J"伴随矩阵的其他性质 |A*=|An AT * = A* 二A* = AAan 1（cA * = c A* AB * = B * A*, Ak * = A* k，aA* =（一 c-b'd丿

5、关于矩阵右上肩记号：T，k，-1，*i）任何两个的次序可交换，如（At * =（A* $，A*PA*等ii）AB T =BtAt, AB，AB * = B* A*但（AB）k =BkAk不一定成立!线性表示0：i - °12,s-，s= Xi - XXs：'二-有解1,2，s X = > 有解 X =：Xi，,Xs 丁Ax二-有解，即一：可用A的列向量组表示AB =C 二厲，D,， , A Cm , >2,，： n ,则 mo ,rs ，2,，n。-1,打，时 r1,2,，：s ,则存在矩阵C,使得 '2, J =宀，2,Cs C线性表示关系有传递性当 5

6、 2-一；1,2厂，亠一；12,一，匚,贝y -1, -2' , X 一； ri, D,rp。等价关系：如果：-i/-2' /' s与'I, -2/' , 互相可表示 >1, >2,，亠二'1, -2/' , 记作-1/-2/' , ： s 二-1, -2/' , ：t。线性相关s=1,单个向量 _：, x> =0 二相关=:-=0s = 2 ,1，爲2相关:二对应分量成比例- 1,2相关二a1:b1=a2: b2二=an: bn 向量个数s=维数n，则,',线性相（无）关 = %叫=（=0A二1

7、,2,in , Ax = 0有非零解=A=0如果sn，则：i,/ s一定相关Ax = 0的方程个数n :未知数个数s 如果12,，s无关，则它的每一个部分组都无关 如果12,s无关，而1,2厂，亠相关，则工一,s证明：设G,，Cs,C不全为0，使得c！亠亠Cs> s C ： = 0则其中c = 0,否则S，,Cs不全为0,1亠亠Cs> s = 0 ,与条件： 1,，: s无关矛盾。于是：二一勺：“- -仝二s。CC 当：一-，亠时，表示方式唯一二无关（表示方式不唯一二>1S相关） 若匚't1,，s，并且t s，则'-1/' , '-t 一定线性

8、相关。证明：记A二>1,/s，B二F， 则存在s t矩阵C，使得 B = AC。Cx=0有s个方程，t个未知数，s：t,有非零解，C =0。则B二AC =0，即也是Bx=0的非零解，从而"，=线性相关。各性质的逆否形式如果1,2,：>无关，则s岂n。 如果1,2,，s有相关的部分组，则它自己一定也相关。 如果1s无关，而一：-：'1/' rs，则1厂，：7 无关。 如果厂厂s，打S无关，则t< s。推论：若两个无关向量组 1亠与等价，则S二t。极大无关组一个线性无关部分组I ,若# I等于秩仆2,4,6，：，I就一定是极大无关 组 目1,2,匸s无关

9、二1,2，s二S ：一，亠二 1,2,，sr二 s另一种说法：取：62,，s的一个极大无关组II也是1,2,，s的极大无关组 =I /相关。证明：1> ：-i/'，:飞=1' I 二 I /'相关。Ir、卩0s)Bt ««sY他“a P =丿( s,)"srs)+i,U “宀 阴可用1,匸S唯一表示U 1,i,s=>1,，s = s 呂1, > -1/'，: s= 1,，：si,t 二：d，：s=Y (01，t(%,«s ) >1,，亠三-1/' ,二 >1 ,s 二 >1s,订

10、t 二-1/' , -t矩阵的秩的简单性质0 込 r A i；玄 mi nm,n 匚r A =0 :二 A = 0A行满秩：r A = mA列满秩：r A = nn阶矩阵A满秩：r A = nA满秩二 A的行(列)向量组线性无关二 A = 0二A可逆Ax =0只有零解，Ax二：唯一解。矩阵在运算中秩的变化初等变换保持矩阵的秩 r At 二 r A c = 0 时，r cA 二 r A r AB < minA可逆时，r AB二r B弱化条件：如果 A列满秩，则AB二B证：下面证ABx = 0与Bx = 0同解。是 ABx 二 0 的解二 AB =0=B = 0 = 是Bx = 0的

11、解B可逆时，rAB=rA 若AB =0 ,则r A r B乞n （ A的列数，B的行数） A列满秩时r AB =r BB行满秩时r AB二r A r AB n _ r A r B解的性质1. Ax = 0的解的性质。女口果 !, 2,e是一组解，则它们的任意线性组合5 C22 ce e 一定也是解。包,A i = 0 = A 0 ! C2 2Ce e = 02. Ax ： l'.0如果1, 2/' , e是AX二-的一组解，则Ci 1 c2 2亠 亠Ce e也是Ax =:的解=" C2亠.亠Ce = 1s ! C2 2 亠亠 Ce e是 Ax = 0 的解二 C1 C

12、亠 Ce = 0A i - 一 -iA C '-.i ' C2 =2 "八-Ce'：e = Ci A 冷'C2A、：2，八-' Ce A：. e二Cl . C2卷卷Ce :特别的：当'i, 2是Ax二'的两个解时，1豁2是Ax=O的解如果 0是AxJ?的解，贝U n维向量也是Ax 的解=-o是Ax=O的解。解的情况判别方程：Ax -,即 XiX22 Xn> n -有解：=：' >1, >2,，n A|I：'A 二 i,2,i,n,-In无画二 Y(A|0):>Y(A) I唯一解 g Y(A

13、| B )=Y(A)= n|无 穷多解=Ay.A : n方程个数m :Am, A <m当 A = m时， A ： = m，有解当m ： n时， A : n，不会是唯一解 对于齐次线性方程组 Ax = 0，只有零解二A =n (即A列满秩)(有非零解二 A : n)特征值特征向量入是A的特征值u入是A的特征多项式|xE - A的根。两种特殊情形：(1)A是上(下)三角矩阵，对角矩阵时，特征值即对角线上的元素。* *A =0九2*<00丸3X _人r_ * _ *xE -A=0x一丸 2-*=（X 扎 1 x 扎 2【X _ 丸 3 ）00x 人 3（2）r A =1 时：A的特征值为

14、0,0，,0,tr A特征值的性质命题：n阶矩阵A的特征值的重数_ n - r E - A命题：设A的特征值为 1, 2,，n ,则丸1丸2丸n=A& i + h 2 +扎 n = tr (A 命题：设是A的特征向量，特征值为，即A = ' ，则 对于A的每个多项式f A , f A = f x 当A可逆时，A=-，A*二匕1命题：设A的特征值为仆2，n，则f A的特征值为f 1 , f ' 2 ,，f ' nA可逆时,A的特征值为A*的特征值为凶，凶,，LAJ'1' 2' nAT的特征值也是1, ' 2特征值的应用 求行列式I

15、A |=，仆 2，n 判别可逆性包是A的特征值：二，E-A=O=A-，E不可逆A - E可逆='不是A的特征值。当f A =0时，如果f c =0 ,则A-cE可逆 若'是A的特征值，则f '是f A的特征值=f ' = 0。f c 0 c不是A的特征值=AcE可逆。n阶矩阵的相似关系当 AU =UA 时，B = A，而 AU - UA 时，B = A。相似关系有i）对称性：A B二B AU JAU = B，则 A =UBU Jii）有传递性：A B , B C，贝U A CU JAU -B , V aBV =C，贝VUV J AUV 二VAUV =V，BV =

16、C命题当A B时，A和B有许多相同的性质 A = B A，B的特征多项式相同，从而特征值完全一致。A与B的特征向量的关系：n是A的属于入的特征向量u U是B的属于几的特征 向量。A 二' 二 B U 二二 U«5u A 二 U ' = UAUU A = UA正定二次型与正定矩阵性质与判别可逆线性变换替换保持正定性f XX2, ,xn变为g yi, y2, ,yn，则它们同时正定或同时不正定AB，贝U A，B同时正定，同时不正定。例如B =CT AC。如果A正定，则对每个 x = 0xT Bx 二 xTCT ACx 二 Cx T ACx 0（C 可逆，x = 0 , C

17、x = 0 !）我们给出关于正定的以下性质A正定二AE二 存在实可逆矩阵 C , a=ctc。二A的正惯性指数=n。二A的特征值全大于0。二A的每个顺序主子式全大于 0。判断A正定的三种方法：顺序主子式法。特征值法。定义法。基本概念对称矩阵A = A。反对称矩阵A - -A。简单阶梯形矩阵：台角位置的元素都为 1，台角正上方的元素都为0。如果A是一个n阶矩阵，A是阶梯形矩阵二.A是上三角矩阵，反之不一定 矩阵消元法：（解的情况） 写出增广矩阵 A 1 ,用初等行变换化为阶梯形矩阵 B 。 用B 判别解的情况。i） 如果B 最下面的非零行为 0,0d，则无解，否则有解。ii） 如果有解，记是B

18、的非零行数，则=n时唯一解。:n时无穷多解。iii）唯一解求解的方法（初等变换法）去掉B 的零行，得 B00，它是n n c矩阵，B。是n阶梯形矩阵，从而是上三角矩阵。则bnn =0= bnin=0=山都不为0。A、行，Br行，E就是解。ai1ai2ai n一个n阶行列式a21a22a2n的值:an1an2a nn是n!项的代数和每一项是n个元素的乘积,它们共有n!项a“a2j2an其中jjjn是1,2,，n的一个全排列。jlj jn的逆序数a1j' anjn前面乘的应为：:-.-1 'J1J2 J、-1anjn-j1 j2 jn2 n n -1.n n 121 £2

19、代数余子式M j为aij的余子式。A =（-lFMj定理：一个行列式的值 D等于它的某一行（列），各元素与各自代数余子式乘积之和。D = a2lA21 a22A22 ： a2n A2n一行（列）的元素乘上另一行（列）的相应元素代数余子式之和为0。范德蒙行列式11 1a1 a1 an _= （aj -ai）Cn 个i<j乘法相关AB的i, j位元素是A的第i行和B的第j列对应元素乘积之和。Cj 二玄/“ ai2b2j 乘积矩阵的列向量与行向量（1）设m汉n矩阵人=（%,。2,«n ）, n维列向量B = （Qb，,bn f，则A =b1： 1 b2： 2 亠 亠 bn： n矩阵乘

20、法应用于方程组方程组的矩阵形式Ax = -，= bi, b2, bm方程组的向量形式Xv' 1 x22 亠亠 Xn> n 八（2）设 AB 二 C，AB 二 ASA：2, AsA =6% +b2®2 +5%AB的第i个列向量是 A的列向量组的线性组合，组合系数是B的第i个列向量 的各分量。AB的第i个行向量是B的行向量组的线性组合，组合系数是A的第i个行向量 的各分量。矩阵分解当矩阵C的每个列向量都是 A的列向量的线性组合时，可把 C分解为A与一 个矩阵B的乘积特别的在有关对角矩阵的乘法中的若干问题000 '入2 000匕 0° 0对角矩阵从右侧乘一矩

21、阵 A，即用对角线上的元素依次乘 A的各列向量对角矩阵从左侧乘一矩阵 A，即用对角线上的元素依次乘 A的各行向量于是 AE = A，EA = AA kE = kA， kE A = kA两个对角矩阵相乘只须把对角线上对应元素相乘对角矩阵的k次方幕只须把每个对角线上元素作k次方幕对一个n阶矩阵A，规定tr A为A的对角线上元素之和称为A的迹数。于是 |衆卩丁 * =： I i - 丁 = tr i：川T I -TT- trT其他形式方阵的高次幕也有规律101例如：A =020001初等矩阵及其在乘法中的作用(1) E i, j :交换E的第i, j两行或交换E的第i, j两列(2) E i(c):

22、用数c = 0乘E的第i行或第i列(3)E i, j(c):把E的第j行的c倍加到第i行上，或把E的第i列的c倍加到第j列 上。初等矩阵从左(右)侧乘一个矩阵A等同于对A作一次相当的初等行(列)变换乘法的分块法则一般法则：在计算两个矩阵 A和B的乘积时，可以先把 A和B用纵横线分割成若干小 矩阵来进行，要求 A的纵向分割与 B的横向分割一致。1 一 1 1- 一 1 STA-A一AA两种常用的情况(1)代B都分成4块A”AJlA21A22 jBJB22 j其中Aii的列数和Bi j的行数相等,A2的列数和B2j的行数相关。AB 二A11B11A21A11'AI2 B21A22 B21A

23、11 B12A21 B12+ A12B22+ A22B22 丿(2)准对角矩阵0I0A22A110 0、色110 0、广A、1 B110 0 '03AA22+00B2200A22 B22'八+0<00 Akk<00 Bkk J00AkkBkk JAkk矩阵方程与可逆矩阵两类基本的矩阵方程(都需求A是方阵，且 A = 0)I Ax 二 BII xA 二 B(I) 的解法：(AB(Ex)(II) 的解法，先化为 ATxT =BT。(at|bt 匚(ExT )。通过逆求解：Ax = B， x=A“B可逆矩阵及其逆矩阵定义：设A是n阶矩阵，如果存在n阶矩阵H，使得AH =

24、E，且HA = E，则称A是 可逆矩阵，称H是A的逆矩阵，证作 AJ 。定理：n阶矩阵A可逆=A = 0求AJ的方程（初等变换法）（AEt （E A，）伴随矩阵A* 二AiA21Ai2A22A2n线性表示1可以用1厂2,，s线性表示，即可以表示为：-i/'2/' s的线性组合,也就是存在 Ci,C2/ ,Cs 使得 Ci * C22Css 二： 记号：一：> ：'i/'2/' /'s线性相关性线性相关：存在向量:-i可用其它向量：i/'匸，二i,，s线性表示。线性无关：每个向量:i都不能用其它向量线性表示定义：如果存在不全为0的Ci

25、,C2/ ,Cs，使得 Xi C2-Css =0则称1,2=»线性相关，否则称 i2,s线性无关。即：i2,s线性相（无）关二XiiXs> s = 0有（无）非零解二i2，s X =0有（无）非零解极大无关组和秩定义：的一个部分组I称为它的一个极大无关组，如果满足:i) I线性无关。ii) I再扩大就相关。I ；二,2,，s II =山=I定义：规定:1C2,，：s的秩 :1, ： 2,，：s i# I。如果1,2,，s每个元素都是零向量，则规定其秩为0。0 _：勺，：s - min、n, s?有相同线性关系的向量组定义：两个向量若有相同个数的向量：1,2,，s, '1

26、 , ：2,，：s ,并且向量方程为，* x22丁xss =0与Xj X2 ：2xs ：s =0同解，则称它们有相同的 线性关系。 对应的部分组有一致的相关性。1,2,4的对应部分组-1, ：2, ：4，若1,2 ,4相关，有不全为0的Ci,C2, C4使得Cl： 1 C22 C4： 4=0，即 G,C2,0,C4,0，0 是 x1 X22 Xss = 0 的解，从而也是x1x2xs - 0的解，则有C1 ：1 C2 ：2 ' C4= 0，：1, ：2, ：3 也相关。 极大无关组相对应，从而秩相等。有一致的内在线表示关系。设：A二r,2,/ s，B二匚匕,-s ，则xr1 - x2：

27、 2 亠 亠 xs： s =0 即 Ax = 0，X1 ： 1 X2 ： 2 Xs ： s = 0 即 Bx = 0。:2,Js与-1, '2/' , -s有相同的线性关系即 Ax=0与Bx = 0同解。反之，当lAx二0与Bx = 0同解时，A和B的列向量组有相同的线性关系。矩阵的秩定理：矩阵A的行向量组的秩=列向量组的秩规定r A二行（列）向量组的秩。r A的计算：用初等变换化 A为阶梯形矩阵B，贝U B的非零行数即r A 。命题：r A =A的非零子式阶数的最大值。方程组的表达形式1.3iiXi +ai2X2 + +ainXna2lXi +a?2X2 十八 +a2nXn

28、=b2amiXi am2X2 amnXn2. Ax 二： 是解二 A = .3. « 1 X2： 2n 二-有解二基础解系和通解1. Ax二0有非零解时的基础解系i, 2，e是AX=O的基础解系的条件：每个i都是Ax = 0的解i, 2 ,，e线性无关 Ax = 0的每个解，2, e / I 二 n- A通解 如果i, 2,，e是Ax=O的一个基础解系，贝y Ax=O的通解为Ci i C2 2 Ce e，5 任意 如果；是Ax："0的一个解，i, 2,，e是Ax=O的基础解系，则Ax -:的通解为0 c1 1 c2亠 Ce e， Ci 任意特征向量与特征值定义：如果=0,并

29、且A 与 线性相关，则称是A的一个特征向量。此时，有数，使得A =、，称为的特征值。设A是数量矩阵E，则对每个n维列向量，A = ，于是，任何非零列向量都是E的特征向量，特征值都是。特征值有限特征向量无穷多若 A =、，Ac 二 cA 2cA C| 1 c2 2 二 C|Ac2A 2 - ' G jc2 2 每个特征向量有唯一特征值，而有许多特征向量有相同的特征值。 计算时先求特征值，后求特征向量。特征向量与特征值计算A =， ,-0：二 * - A =0,- 0二 是，E-Ax=0的非零解 命题：九是A的特征值二九E - A = 0是属于的特征向量二 是 E - Ax=0的非零解 称

30、多项式xE-A为A的特征多项式。九是A的特征值二 九是A的特征多项式 xE-A的根。九的重数：几作为xE - A的根的重数。n阶矩阵A的特征值有n个： 1, ' 2,， n，可能其中有的不是实数， 有的是多重的。计算步骤:求出特征多项式xE - A求xE - A的根，得特征值。 对每个特征值-i，求，jE-Ax=O的非零解，得属于 i的特征向量。n阶矩阵的相似关系设A，B是两个n阶矩阵。如果存在n阶可逆矩阵U，使得U AU二B，则称A与B 相似，记作A B 。n阶矩阵的对角化基本定理 A可对角化二 A有n个线性无关的特征向量。%000000二Af,珥)=u00+0<000丿A3

31、:i i，i判别法则A可对角化=对于A的每个特征值人,计算：对每个特征值九i，求出仏E-A二-11,'22,n= 1,2, ,n田的重数=n- E - A。x = 0的一个基础解系，把它们合在一起，得到n个线性无关的特征向量,n 1,，叫。令U =巴，几），则000 ”_10几200U AU =+，其中Zi为耳i的特征值。000<000力n J二次型（实二次型）二次型及其矩阵一个n元二次型的一般形式为f Xi,X2,Xnn!a” Xj 2.一 a” Xj Xji =1i<|只有平方项的二次型称为标准二次型。形如：Xi2 - X； X： -X： 1 -2-Xp.q的n元二次型称为规范二次型。设可逆矩阵U=巴，巳，叫，则%000、0九200U AU=+00-01。00'-n对每个n阶实矩阵A，记x = (xX2,xn 丫，则xtAx是一个二次型。f Xi, X2, ,Xn =XT Ax称a的秩 a为这个二次型的秩。标准二次型的矩阵是对角矩阵。规范二次型的矩阵是规范对角矩阵。可逆线性变量替换设有一个n元二次型f Xi,X2，,Xn，引进新的一组变量 yi,y2,Yn，并把Xi,X2，,Xn用它们表示。X =CiiYi 十©2丫2 十+CinY