第二章 需求分析

1、第二章 需求分析第一节第一节 需求函数需求函数第二节第二节 支出函数与对偶性原理支出函数与对偶性原理第三节第三节 需求弹性需求弹性第四节第四节 替代效应与收入效应替代效应与收入效应第五节第五节 将上述讨论推广到将上述讨论推广到n n个变个变量量2本章思路本章思路 本章介绍的是建立在消费者行为描述框架上的消费者需求本章介绍的是建立在消费者行为描述框架上的消费者需求分析理论。给出了基于效用最大化和支出最小化的两种分析思分析理论。给出了基于效用最大化和支出最小化的两种分析思路：路： 交叉效应收入效应替代效应基方程斯拉茨效应分析需求的收入弹性需求的价格弹性弹性分析数函求希克斯需理定谢伯特函数支出用函数

2、间接效等式罗伊需求函数瓦尔拉斯3一、瓦尔拉斯需求函数一、瓦尔拉斯需求函数 1.1.基本概念。基本概念。我们称效用最大消费束我们称效用最大消费束*x 与价格与价格),(1nppp和财富水平和财富水平w的关系为瓦尔拉斯需求函数。的关系为瓦尔拉斯需求函数。 2.2.瓦尔拉斯需求函数的推导。瓦尔拉斯需求函数的推导。由其定义知，可用效用函数的最由其定义知，可用效用函数的最优解直接推导出瓦尔拉斯需求函数。优解直接推导出瓦尔拉斯需求函数。 第一节第一节 需求函数需求函数43.3.瓦尔拉斯需求函数的性质。瓦尔拉斯需求函数的性质。 瓦尔拉斯需求函数瓦尔拉斯需求函数),(*wpx具有以具有以下三个性质：下三个性质

3、： （1 1）在价格和收入上，需求函数是零次齐次的。即对于任给在价格和收入上，需求函数是零次齐次的。即对于任给p，w和满足和满足0a, ,有有),(),(wpxawapx （2 2）瓦尔拉斯定律：任给）瓦尔拉斯定律：任给),(wpxx有有wxp，即由瓦尔拉，即由瓦尔拉斯需求函数决定的消费束都是位于预算集上界最优的解。斯需求函数决定的消费束都是位于预算集上界最优的解。 （3 3）凸性和唯一性。如果）凸性和唯一性。如果)(u是拟凹的，则是拟凹的，则),(wpx是一个凸集，是一个凸集，若若)(u是严格拟凹的， 则是严格拟凹的， 则),(wpx只包含单一的元素， 即需求是价格和只包含单一的元素， 即需

4、求是价格和收入的单值函数。收入的单值函数。 56二、间接效用函数二、间接效用函数 （一）概念（一）概念 )(ixuu 表明效用是消费量的函数，我们称表明效用是消费量的函数，我们称u为直接效用函数。为直接效用函数。若若),(),(*wpxuwpv，我们则称，我们则称),(wpv为间接效用函数。此时的效用为间接效用函数。此时的效用是由价格和收入间接表示的商品量决定的，故称为间接效用函数。间是由价格和收入间接表示的商品量决定的，故称为间接效用函数。间接效用函数以价格和收入两个变量描述消费最优状态，使得直接效用接效用函数以价格和收入两个变量描述消费最优状态，使得直接效用函数独立于市场的情况得到改进，这

5、样一来可以通过控制价格和收入函数独立于市场的情况得到改进，这样一来可以通过控制价格和收入来分析消费者行为。来分析消费者行为。 7（二）间接效用函数的性质（二）间接效用函数的性质 假定假定)(u是连续效用函数，代表定义在消费集是连续效用函数，代表定义在消费集nX R上局部非饱上局部非饱和偏好关系和偏好关系, ,则间接效用函数则间接效用函数),(wpv是：是： 1 1、零齐次的，价格和财富同比例变动不影响效用；零齐次的，价格和财富同比例变动不影响效用； 2 2、在在w上是严格递增的，并且对于任意上是严格递增的，并且对于任意 n, ,它在它在nP上都是非递上都是非递增的，即价格上升降低效用，财富上升

6、增加效用；增的，即价格上升降低效用，财富上升增加效用； 3 3、拟凸的，就是说对于任意拟凸的，就是说对于任意 v, ,集合集合w)(p,:w)(p,是是凸集；凸集； 4 4、在在p和和w上是连续的。上是连续的。 89 （三）间接效用函数的应用（三）间接效用函数的应用 若效用函数为若效用函数为 ，求当，求当p p1 1=0.25=0.25元元,p,p2 2=1=1元元,w=2,w=2元时元时的间接效用函数。并分析当政府征收的间接效用函数。并分析当政府征收0.50.5元所得税（直接税）时以元所得税（直接税）时以及征收及征收0.250.25元消费税（间接税）时的消费者效应变化情况。元消费税（间接税）

7、时的消费者效应变化情况。 解：该问题的最大化问题为：解：该问题的最大化问题为：2121),(xxxxuwxpxptsxx22115.025.01.max其拉格朗日函数为：其拉格朗日函数为：求关于求关于x1x1、x2x2和和的偏导，可得：的偏导，可得：)(22115 . 025 . 01xpxpwxxL005.005.0221125.025.01215.025.011xpxpwLpxxxLpxxxL10可以解得：可以解得：则则：221122pwxpwx21)25. 0(222)2()2(),(5 . 05 . 025 . 015 . 025 . 0121ppwpwpwwpp 当政府征收当政府征收

8、0.50.5元所得税时，消费者收入元所得税时，消费者收入w w会从会从2 2元下降到元下降到1.51.5元，元，消费者的间接效用也会从消费者的间接效用也会从2 2下降到下降到1.51.5。 如果政府对商品如果政府对商品1 1开征开征0.250.25元的消费税，则商品元的消费税，则商品1 1的价格会从的价格会从0.250.25元上涨到元上涨到0.50.5元。从而消费者的间接效用为：元。从而消费者的间接效用为：5.141.11)5.0(22),(5.021wpp 上述结果表明：开征消费税对于消费者的间接效用的负面作用上述结果表明：开征消费税对于消费者的间接效用的负面作用大于开征所得税的负面作用。这

9、是因为开征消费税既降低了消费者大于开征所得税的负面作用。这是因为开征消费税既降低了消费者的实际购买能力，又提高了商品的价格；而开征所得税只会降低消的实际购买能力，又提高了商品的价格；而开征所得税只会降低消费者的实际购买能力，所以他的负面影响较小。费者的实际购买能力，所以他的负面影响较小。11三三、罗罗伊伊等等式式： 罗罗伊伊等等式式是是用用于于反反映映瓦瓦尔尔拉拉斯斯需需求求函函数数与与间间接接效效用用函函数数之之间间关关系系的的恒恒等等式式： wwpvpwpvwpxjj),(/),(),( nj, 2 , 1 这这个个结结论论可可由由包包络络定定理理证证明明。由由于于 ),(wpv定定为为

10、)(maxxu，wpxts. .问问题题最最优优解解，所所以以),(wpv关关于于 p和和 w的的偏偏导导数数，按按包包络络定定理理只只要要对对其其极极大大化化的的 )(maxxu求求关关于于 p和和 w的的导导数数即即可可。 表表达达为为： )()(),(xpwxuxL ),(*),(),(wpxxwxLwwpv （2 2. .1 13 3） xpxLpwpvwpxx*),(*),(),( （2 2. .1 14 4） 两两式式相相除除即即可可得得到到罗罗伊伊等等式式。罗罗伊伊恒恒等等式式说说如如果果间间接接效效用用函函数数已已知知，且且连连续续可可导导，那那么么就就可可求求解解出出马马歇歇

11、尔尔需需求求曲曲线线。 12第二节第二节 支出函数与对偶性原理支出函数与对偶性原理 一一、支支出出函函数数 1 1. .所所谓谓支支出出最最小小化化问问题题（E EM MP P） ，可可表表示示成成： xpmin uxut s)(. . 由由拉拉格格朗朗日日函函数数和和极极值值一一阶阶条条件件得得到到： jijixxuxxupp/ )(/ )(* （2 2. .1 19 9） 这这与与效效用用最最大大化化选选择择的的结结果果是是一一致致的的。 我我们们称称支支出出最最小小化化与与效效用用最最大大化化为为对对偶偶问问题题。定定义义支支出出函函数数为为支支出出最最小小化化问问题题xpupemin)

12、,(，0)(. .uxutS的的解解。 13效用最大化问题可以从另一个角度考虑：消费者为达到一个效用最大化问题可以从另一个角度考虑：消费者为达到一个效用水平效用水平u，如何选择商品，如何选择商品x，使之所需要的财富支出最小，就，使之所需要的财富支出最小，就是所谓支出最小化问题（是所谓支出最小化问题（EMPEMP） 。图） 。图 2 23 3 可表示可表示2n时时 EMPEMP 问题，问题，*x为价格向量为价格向量p对应的预算线中位置最低点。对应的预算线中位置最低点。 图图2 23 3 最小支出化问题最小支出化问题 142.2.支出函数示例。支出函数示例。 3.3.支出函数的性质。支出函数支出函

13、数的性质。支出函数),(upe具有以下四个性质，其都与具有以下四个性质，其都与商品价格的变化有关。商品价格的变化有关。 （1 1）对）对p是一次齐次的；是一次齐次的； （2 2）对）对p是非递减的；是非递减的； （3 3）是关于）是关于p的凹函数；的凹函数； （4 4）当）当0p时，为连续函数。时，为连续函数。 性质证明见教材。性质证明见教材。 15二二、希希克克斯斯需需求求函函数数 1 1. .将将最最小小支支出出问问题题的的解解*x定定义义为为希希克克斯斯需需求求函函数数，记记为为),(uph，其其表表示示消消费费者者在在最最小小支支出出条条件件下下选选择择的的最最优优消消费费束束。 用用

14、于于反反映映其其与与为为达达到到效效用用u的的最最小小支支出出函函数数),(upe之之间间关关系系的的公公理理，称称为为谢谢伯伯特特定定理理。 iiipupeuphx),(),(* ni, 2 , 1 （2 2. .2 20 0） 由由包包络络定定理理得得：),(),(),(*uphxpxLpupeiii 162 2. .另另一一种种定定义义希希克克斯斯需需求求函函数数的的方方式式是是从从财财富富补补偿偿思思路路出出发发的的。将将购购买买的的商商品品数数量量作作为为这这些些条条件件下下的的价价格格的的函函数数，称称为为补补偿偿需需求求函函数数。其其利利用用固固定定消消费费者者效效用用水水平平约

15、约束束下下，消消费费者者支支出出最最小小化化而而得得到到。这这种种定定义义意意味味着着其其满满足足补补偿偿需需求求法法则则。即即对对于于那那些些伴伴随随希希克克斯斯财财富富补补偿偿的的价价格格变变化化，需需求求和和价价格格将将成成相相反反方方向向的的变变化化，即即存存在在0),(),()(0101uphuphpp的的关关系系。显显然然对对于于任任意意0p，消消费费束束),(uph在在最最小小支支出出问问题题中中是是最最优优解解。希希克克斯斯需需求求函函数数具具有有对对价价格格p的的零零齐齐次次的的性性质质。 17三三、对对偶偶原原理理 对对偶偶性性是是指指一一些些成成对对问问题题或或概概念念,

16、 ,是是目目标标和和约约束束条条件件的的表表达达正正好好相相反反。 需需求求分分析析中中还还存存在在下下列列四四个个重重要要的的恒恒等等关关系系， 被被称称之之为为对对偶偶性性。 1 1. .),(,),(wpvphwpx （2 2. .2 21 1） 2 2. .),(,),(upepxuph （2 2. .2 22 2） 3 3. .wwpvpe),(, （2 2. .2 23 3） 4 4. .uupepv),(, （2 2. .2 24 4） 上上述述四四个个关关系系式式中中，),(,),(upepxuph最最重重要要。上上述述四四个个关关系系，可可由由图图2 25 5 说说明明。 1

17、819一一、需需求求价价格格弹弹性性 1 1. .定定义义：对对消消费费束束x的的需需求求弹弹性性定定义义为为 （2 2. .2 25 5） 2 2、 需需求求价价格格弹弹性性的的经经济济内内涵涵： 需需求求对对价价格格变变动动的的反反应应。 E E 1 1 或或 E E - -1 1为为奢奢侈侈品品；E E - -1 1 为为必必需需品品。 3 3、由由弹弹性性定定义义的的收收入入与与价价格格变变动动的的关关系系： （2 2. .2 26 6） 内内涵涵： 当当价价格格上上升升时时， 若若 E E - -1 1 则则支支出出增增加加； 若若 E E= =- -1 1 则则支支出出不不变变；若

18、若 E E - -1 1 则则支支出出下下降降。 xpdpdxpdpxdxpdxdElnln)1 ()1 (Exdpdxxpxdpdxpxdpdpxdpdw第三节第三节 需求弹性需求弹性204 4、 需求交叉价格弹性。 需求交叉价格弹性定义为商、 需求交叉价格弹性。 需求交叉价格弹性定义为商品品 2 2 的需求量变动比率与商品的需求量变动比率与商品 1 1 的价格变动比率之比，的价格变动比率之比，即：即： （2.272.27） 211211221221lnlnxpdpdxpdpxdxpdxdE21二、古诺合并条件二、古诺合并条件 需求弹性与需求交叉弹性的关系需求弹性与需求交叉弹性的关系 （2.

19、28） 被称被称为古诺合并条件。为古诺合并条件。其中：其中： 意义是若已知自身的需求价格弹性，则可以由此条件来确定需求意义是若已知自身的需求价格弹性，则可以由此条件来确定需求交叉价格弹性。交叉价格弹性。 1212111aEaEa支出的比重。为第二种商品支出占总支出的比重，为第一种商品支出占总02220111)()(wxpawxpa22三、希克斯需求函数的价格弹性和交叉价格弹性三、希克斯需求函数的价格弹性和交叉价格弹性 0212111aa （2.29） 其中，其中，111111dpdxxp，122121dpdxxp为补偿需求函数的为补偿需求函数的需求价格弹性和需求交叉价格弹性。需求价格弹性和需求

20、交叉价格弹性。 23四、需求的收入弹性四、需求的收入弹性 需求的收入弹性是指在价格不变的条件下，财富变动对需需求的收入弹性是指在价格不变的条件下，财富变动对需求量的变动率的影响。其表达式为：求量的变动率的影响。其表达式为： wwppxxwwx),(lnln21111 （2.30） 若若01，则商品为正常品，若，则商品为正常品，若01，则商品为吉芬商，则商品为吉芬商品。品。 24五五、恩恩格格尔尔合合并并条条件件 12211aa （2.31） 表表明明收收入入弹弹性性以以商商品品支支出出比比率率加加权权之之和和等等于于 1 1。对对于于希希克克斯斯需需求求函函数数，因因为为收收入入不不是是这这些

21、些函函数数的的自自变变量量，所所以以不不存存在在收收入入弹弹性性。 25 市场价格变化既会对消费需求量产生影响，又会对消费者的市场价格变化既会对消费需求量产生影响，又会对消费者的福利产生影响，我们称前者为价格变动的配置效应，包括替代效福利产生影响，我们称前者为价格变动的配置效应，包括替代效应和收入效应；后者为福利效应。本节是对价格变动的配置效应应和收入效应；后者为福利效应。本节是对价格变动的配置效应即替代效应与收入效应进行的分析（价格变动的福利效应将在下即替代效应与收入效应进行的分析（价格变动的福利效应将在下一章介绍），其中一章介绍），其中替代效应是指剔除价格下降后所产生的实际购替代效应是指剔

22、除价格下降后所产生的实际购买力上升的效应之后，由于相对价格变化而引起的商品买力上升的效应之后，由于相对价格变化而引起的商品i i对商品对商品j j的替代；的替代；收入效应是指由于商品收入效应是指由于商品i i的价格变得便宜的价格变得便宜, ,使消费者的实使消费者的实际购买力提高而导致的对商品际购买力提高而导致的对商品j j的消费量的变化的消费量的变化。 对价格变动的配置效应进行分析须借助于斯拉茨基方程。对价格变动的配置效应进行分析须借助于斯拉茨基方程。 第四节第四节 替代效应与收入效应替代效应与收入效应26 一、斯拉茨基方程一、斯拉茨基方程 1 1、斯拉茨基方程的基本形式、斯拉茨基方程的基本形

23、式 令令x(p,w)x(p,w)为瓦尔拉斯需求，为瓦尔拉斯需求，u u* *为消费者在价格为消费者在价格p p与收入与收入w w的前提的前提下达到的效应水平，则下达到的效应水平，则 （2.412.41） 称为斯拉茨基方程。它表明，价格变动对消费量影响的总效应（称为斯拉茨基方程。它表明，价格变动对消费量影响的总效应（TE)TE)等于替代效应（等于替代效应（SE)SE)与收入效应（与收入效应（IE)IE)之和。之和。 IEwpxwwpxSEpuphTEpwpxiii),(),(),(),(jjj27 2 2、斯拉茨基方程的证明、斯拉茨基方程的证明 设设 使 效 用 最 大 化 为使 效 用 最 大

24、 化 为 则 成则 成立立 ，等式两边对价格，等式两边对价格p pi i求在求在p p* *处的偏导数，可处的偏导数，可以得到：以得到： （2.422.42） 此式的意义为：方程左边表示当此式的意义为：方程左边表示当p pi i变化时，补偿需求如何变变化时，补偿需求如何变化。方程的右侧表明，补偿需求变化等于把支出固定在化。方程的右侧表明，补偿需求变化等于把支出固定在w w* *水平时水平时需求的变化，再加上收入变化引起的需求变化与维持最大效用水需求的变化，再加上收入变化引起的需求变化与维持最大效用水平不变收入必须变化的数量的积。最后一项其实就是平不变收入必须变化的数量的积。最后一项其实就是x

25、xi i* *，整理，整理后即可得到（后即可得到（2.422.42）式。）式。 ),(wpx)(xuu),(,),(upepxuphjjijijijpupewwpxpwpxpwph),(),(),(),(28 3.3.一个例子：用柯布一个例子：用柯布道格拉斯效用函数推导斯拉茨基方程。道格拉斯效用函数推导斯拉茨基方程。 4.4.斯拉茨基方程的弹性形式斯拉茨基方程的弹性形式 wwxpwxxxppxxppxu1111111111110 或或111111aE （2 2. .4 42 2） 意意义义：普普通通需需求求曲曲线线的的价价格格弹弹性性等等于于补补偿偿需需求求曲曲线线的的价价格格弹弹性性减减去去

26、对对应应的的收收入入弹弹性性与与研研究究的的商商品品消消费费数数量量（上上例例为为1x）所所占占支支出出比比例例的的乘乘积积。 29二二、直直接接效效应应 对对于于011*1111puwxxpxpx， 其其中中*11upx是是替替代代效效应应。 实实际际收收入入的的变变动动用用收收入入效效应应011pwxx描描述述， 实实际际上上收收入入变变动动可可以以引引起起消消费费者者资资源源的的重重新新分分配配，即即使使价价格格不不变变或或是是价价格格出出现现同同比比例例变变动动，它它的的影影响响可可以以是是正正向向的的，也也可可以以是是负负向向的的。因因此此，价价格格变变动动对对商商品品购购买买的的最

27、最终终效效应应是是个个未未知知数数。 30三、交叉效应三、交叉效应 斯拉茨基方程的一般形式为：斯拉茨基方程的一般形式为： 0*wijujijijjijiwxxpxDDxDDpx（2.452.45） 用弹性形式表示为用弹性形式表示为ijjiijaE，2 , 1,ji。 令令DDSjiij表示当第表示当第 i种商品的数量作为第种商品的数量作为第j种商品种商品价格变化调整结果时的替代效应。价格变化调整结果时的替代效应。 2112DD jiijSS （2.462.46） 即由第即由第j种商品价格变动而产生的第种商品价格变动而产生的第 i 种商品的替代效种商品的替代效应，与第应，与第i种商品价格变动而产

28、生的第种商品价格变动而产生的第j种商品的替代效应是相种商品的替代效应是相等的。这是一个应该注意的结论。等的。这是一个应该注意的结论。 31四、替代与互补四、替代与互补 1.1.替代替代与互补性的判定条件与互补性的判定条件 利用斯拉茨基方程可以给出比较严格的定义。利用斯拉茨基方程可以给出比较严格的定义。 对于商品对于商品ix和和jx，若存在，若存在0jipx，则认为则认为ix和和jx是替是替代的；若存在代的；若存在0jipx，则认为，则认为 ix和和 jx是互补的。若存在是互补的。若存在0jipx，则称商品则称商品1x和和2x是相互独立的。是相互独立的。 2.2.商品替代性质的讨论商品替代性质的

29、讨论 （略）（略） 321 1. .n种种商商品品的的最最优优消消费费决决策策。效效用用函函数数和和约约束束条条件件为为： ),(21nxxxfu niiixpw10 2 2. .斯斯拉拉茨茨基基方方程程的的推推广广 斯斯拉拉茨茨基基方方程程的的普普通通形形式式： 00pijujijiwxxpxpx，nji, 2 , 1, 斯斯拉拉茨茨基基方方程程的的弹弹性性形形式式： ijjijiaE，nji, 2 , 1, 本节讨论的是消费束由种商品构成本节讨论的是消费束由种商品构成第五节第五节 将上述讨论推广到将上述讨论推广到n n个变量个变量333 3. .互互补补与与替替代代效效应应的的推推广广：

30、njjijpS10，ni, 2 , 1 4 4. .弹弹性性关关系系的的推推广广 nijjiiaEa1，nj, 2 , 1 niijia10，nj, 2 , 1 niiia11 njij10，ni, 2 , 1 injjiE1，ni, 2 , 1 34本章小结本章小结 1 1、消费者行为描述的两种方法（对偶问题）、消费者行为描述的两种方法（对偶问题）),(),(),(),(),(),(),(),(),(upepupeuphuphwpwwppwpwpxwpxiiii35 2 2、需求的弹性分析、需求的弹性分析1),(0(22111211212111211221111111121211121122

31、1aaxwwwppxaaxpdpdxxpdpdxaEaEaxpdpdxExpdpdxE恩格尔合并条件：需求的收入弹性：弹性收入二者之间关系：交叉价格弹性：需求价格弹性：思路）最小化需求（希克斯古诺合并条件：交叉价格弹性：需求价格弹性：思路）最大化斯需求瓦尔拉弹性价格析性分的弹需求36 3 3、效应分析、效应分析福利效应收入效应替代效应总效应：（需求量）配置效应应效（价格）wwpxwpxpwpphpwpxjiijij),(),(:),(,(:),( 4 4、消费品间关系分析、消费品间关系分析000jijijipxpxpx独立商品：互补品：替代品：间关系消费品37本章作业本章作业 1 1、某个消费者的效用函数是、某个消费者的效用函数是 ，商品，商品1 1和和2 2的价格的价格分别为分别为p1p1和和p2p2，此消费者的收入为，此消费者的收入为m m，求瓦尔拉斯需求函数和效用，求瓦尔拉斯需求函数和效用为为u u的支出函数。的支出函数。 2 2、考虑一退休老人，他有一份固定收入，想在北京、上海与、考虑一退休老人，他有一份固定收入，想在北京、上海与广州三城市中选择居住地。假定他的选择决策只根据其效用函数，广州三城市中选择居住地。假定他的选择决策只根据其效用函数，设该效用函数的形式为设该效用