解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型

1、解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型总论：常用的八种方法1、定义法2、韦达定理法3、设而不求点差法4、弦长公式法5、数形结合法6、 参数法（点参数、K参数、角参数）7、代入法中的顺序8充分利用曲线系方程法七种常规题型（1）中点弦问题（2 ）焦点三角形问题（3 ）直线与圆锥曲线位置关系问题（4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题（5）求曲线的方程问题1 曲线的形状已知 这类问题一般可用待定系数法解决。2曲线的形状未知-求轨迹方程（6）存在两点关于直线对称问题（7 ）两线段垂直问题常用的八种方法1、定义法（1） 椭圆有两种定义。第一定义中，ri+r2=2a。第二定义中，ri=edir2=ed2。

2、（2） 双曲线有两种定义。第一定义中，h -r2|=2a，当ri2时，注意S的最小值为c-a:第二定义中，r1=ed1, r2=ed2，尤其应注意第二定义的应用，常常将半径与"点到准线距离”互相转化。（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不 要忽视判别式的作用。3、设而不求法解析几何的

3、运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为"设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用"点差法”，即设弦的两个端点 A(x i,yi),B(x2,y2),弦AB中点为M(xo,yo)，将点A、 B坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不 求”法，具体有：2 2(1) 务 岭=1(a b 0)与直线相交于 A、B，设弦 AB中点为 M(Xo,yo),则有 a b卑卑k = 0。(其中K是直线AB的斜率)a b2 2x y(2) 二 =1(a0,b0)与直线I相交于A、B，设

4、弦AB中点为M(x°,yo)则有a bxy0k =0(其中K是直线AB的斜率)a b一、2 k , 一(3) y=2px( p>0)与直线I相交于A、B设弦AB中点为M(X0,y。),则有2y°k=2p,即y°k=p.(其中K是直线AB的斜率)4、弦长公式法弦长公式：一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB长的方法是：把直线方程y二kx b代入圆锥曲线方程中，得到型如ax2 bx 0的方程，方程的两根设为 xA，xB，判别I 式为，贝U |AB|=" k2 |xA -xB|= .1 k2 ，若直接用结论，能减少配方、开|a|方等运算过程。5、数形结合法

5、解析几何是代数与几何的一种统一，常要将代数的运算推理与几何的论证说明结合起来考虑问题，在解题时要充分利用代数运算的严密性与几何论证的直观性，尤其是将某些代数式子利用其结构特征，想象为某些图形的几何意义而构图，用图形的性质来说明代数性质。女口" 2x+y ”，令2x+y=b，贝U b表示斜率为-2的直线在y轴上的截距；如"x2+y2” ,令Jx2 +y2 =d，贝U d表示点P (x, y)到原点的距离；又如" y 一3 ”，令y _ 3 =k，贝U k x+2 x+2表示点P (x、y)与点A (-2 , 3)这两点连线的斜率6、参数法(1) 点参数利用点在某曲线

6、上设点(常设“主动点”)，以此点为参数，依次求出其他 相关量，再列式求解。如 x轴上一动点P,常设P (t , 0);直线x-2y+1=0上一动点P。 除设P (xi,y 1)外，也可直接设 P (2yi-1,y 1)(2) 斜率为参数当直线过某一定点 P(xo,y o)时，常设此直线为 y-yo=k(x-x 0)，即以k为参数，再按命题 要求依次列式求解等。(3) 角参数当研究有关转动的问题时，常设某一个角为参数，尤其是圆与椭圆上的动点问题。7、代入法中的顺序这里所讲的“代入法”，主要是指条件的不同顺序的代入方法，如对于命题：“已知条件Pl,P2求(或求证)目标Q',方法1是将条件P

7、i代入条件P2,方法2可将条件P2代入条件Pi, 方法3可将目标Q以待定的形式进行假设，代入P1,P2,这就是待定法。不同的代入方法常会影响解题的难易程度，因此要学会分析，选择简易的代入法。八、充分利用曲线系方程法、定义法【典型例题】H.1Q-F，则点P的坐例1、(1)抛物线C:y2=4x上一点P到点A(3,4 . 2)与到准线的距离和最小标为F的距离和最小，则点Q的坐标2抛物线C: y =4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点为。分析：(1) A在抛物线外，如图，连 PF，贝y PH = PF，因而易发现, 当A、P、F三点共线时，距离和最小。(2) B在抛物线内，如图，作 QR丄I交于R,则

8、当B、Q、R三点共线时，距离和最小。解:( 1)(2， 2)连PF,当A、P、F三点共线时， AP + PH| = AP +|PF最小，此时 AF的方程为y=4 2一°(x-1)即 y=2j2(x-1),代入 y2=4x 得 P(2,2j"2),(注：另一交点为(-42)，312它为直线AF与抛物线的另一交点，舍去)1(2) (,1 )4过Q作QR丄I交于R,当B、Q、R三点共线时， BQ qf| | BQ - QR最小，此时 Q11点的纵坐标为1，代入y2=4x得x=，二Q( ,1)44点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。2

9、2例2、F是椭圆x . y =1的右焦点，A(1,1)为椭圆内一定点,43P为椭圆上一动点。(1) PA +|PF的最小值为fyA pHAF k jT、F0F丿x(2) PA +2PF的最小值为分析：PF为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径PF 或准线作出来考虑问题。解: (1) 4-、一 5设另一焦点为F 1贝U F (-1,0)连A F ,PFPA +|PF| =|PA +2a- PF、2a-(PF ' - PA) 2a- AF、4-V5 当P是F 'a的延长线与椭圆的交点时,PA +|PF取得最小值为4-J5。1(2)作出右准线 I，作 PH 丄 I 交于 H，因 a2=

10、4, b2=3, c2=1, a=2, c=1 , e=,21 PF =丄 PH .即2 PF = PH2 PA +2PF =|PA + PH2当A、P、H三点共线时，其和最小，最小值为_xA = 4_1=3c例3、动圆M与圆Ci：(x+1)2+y2=36内切,与圆C2：(x-1)2+y2=4外切,求圆心轨迹方程。分析：作图时，要注意相切时的“图形特征”：两个圆心与切点这三点共线图中的A、M、C共线，B、D、M共线)。列式的主要途径是动圆的“半径等于半径”(如图中的MC = MD ）。M解：如图，MC = MDAC - MA = MB - DB 即6 - MA = MB -2MA + MB =

11、8 （ *）点M的轨迹为椭圆,2a=8, a=4, c=1 , b2=15 轨迹方程为2 2x_. 2_=11615点评：得到方程(*)后，应直接利用椭圆的定义写出方程，而无需再用距离公式列式求解，即列出.(x 1)2 y2 (x -1)2 y2 =4，再移项，平方，相当于将椭圆标准方程推导了一遍，较繁琐!3例 4、 ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且 sin C-s in B=si nA,求点 A 的轨迹方程。5分析：由于sinA、sinB、sinC的关系为一次齐次式，两边乘以2R ( R为外接圆半径)可转化为边长的关系。解:si nC-si nB=3si nA532Rs in C

12、-2Rsi nB=5-2RsinAAB即 AB AC =6（*）点A的轨迹为双曲线的右支(去掉顶点)/ 2a=6, 2c=10 a=3,c=5,b=42 2所求轨迹方程为x . y 1（ x>3）916点评：要注意利用定义直接解题，这里由(*)式直接用定义说明了轨迹(双曲线右支)例5、定长为3的线段AB的两个端点在y=x2上移动，AB中点为M，求点M到x轴 的最短距离。分析：(1)可直接利用抛物线设点， 如设A(X!,xi2), B(X2, X22),又设AB中点为M(xoyo)用弦长公式及中点公式得出y。关于xo的函数表达式，再用函数思想求出最短距离。(2) M到x轴的距离是一种“点线

13、距离”，可先考虑M到准线的距离，想到用定义法。解法一：设 A(Xi，Xi )，B(x2，X2)，AB 中点 M(xo，yo)(Xi -X2)2(X； X；)2 =9 则+x2 =2x022Xi +X2 =2y。2 2由得(Xi-X2)1+(x 1+ X2)=9即(X1+X2)-4X1X2 1+(x 1+X2)=9由、得 2x1X2=(2xo)2-2yo=4x°2-2yo代入得 (2xo) -(8xo -4yo) 1+(2xo) =9294yo =4x。24xo(4x：-1> 2 .9 -1=5,yo当4xo2+仁3 即x02九 2 时，(yo)min5 . 2 5=5 此时 M

14、( 2,4法二：如图，2MM2BB2| = |AF| + |BFayfBA10M-BixAM R313MM 2> ，即MM 1+ >242MM 15 >-，当AB经过焦点F时取得最小值。45 M到x轴的最短距离为 -4点评：解法一是列出方程组，利用整体消元思想消xi, X2,从而形成 y关于X。的函数，这是一种“设而不求”的方法。而解法二充分利用了抛物线的定义，巧妙地将中点M到x轴的距离转化为它到准线的距离，再利用梯形的中位线，转化为A、B到准线的距离和，结合定义与三角形中两边之和大于第三边(当三角形“压扁”时，两边之和等于第三边)的属性， 简捷地求解出结果的，但此解法中有缺

15、点，即没有验证AB是否能经过焦点F,而且点M的坐标也不能直接得出。二、韦达定理法【典型例题】例6、已知椭圆x22丄 1(2乞m乞5)过其左焦点且斜率为m -11的直线与椭圆及准线从左到右依次交于 A、B、C、D、设f(m)彳AB CD| ,( 1)求f(m),(2)求f(m)的最值。分析：此题初看很复杂，对 f(m)的结构不知如何运算，因 A、B来源于“不同系统”A在准线上，B在椭圆上，同样C在椭圆上，D在准线上，可见直接求解较繁，将这些线段“投影”到x轴上，立即可得防f (m) = (Xb -Xa)V2-(Xd -Xc)V2| = J2|(Xb -Xa) -(Xd -Xc)|y c1D/ F

16、1A0 F2X=2 (Xb Xc ) - (Xa Xd )= J2(Xb +Xc)此时问题已明朗化，只需用韦达定理即可。2 2解：(1)椭圆1 中，a2=m , b2=m-1 , c2=1，左焦点 Fi(-1,0)m m 1则 BC:y=x+1，代入椭圆方程即(m-1)x2+my2-m(m-1)=0得(m-1)x2+m(x+1) 2-m2+m=022/ (2m-1)x +2mx+2m-m =0设 B(x 1,y1),C(X2,y2),则 X1+X2=-(2 三 m 三 5)2m 12m2m-1f (m) =|AB - CD| = J2|(Xb -Xa) -(Xd -Xc)二 2(X1 X2)

17、- (Xa Xc)二 2X1 X2(2) f (m) = <2 2m j 十1 = <2(1 十)2m -12m1当 m=5 时，f (m)min当m=2时,4屁f(m)m八点评：此题因最终需求Xb Xc，而BC斜率已知为1,故可也用“点差法”设 BC中点为M(x°,y°)，通过将B、C坐标代入作差，得x0y0,- k = 0，将 y°=x0+1，k=1 代入得m m -1x-x-1mm -1x-m2m -1，可见Xb2m2m 1当然，解本题的关键在于对f (m) =| AB - CD|的认识，通过线段在 x轴的“投影”发现f(m)=仪B +xC是解此

18、题的要点。三、点差法与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次 方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。若设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为 A(x1, y1)、B(x2,y2)，将这两点代入 圆锥曲线的方程并对所得两式作差， 得到一个与弦AB的中点和斜率有关的式子，可以大大 减少运算量。我们称这种代点作差的方法为"点差法”。1. 以定点为中点的弦所在直线的方程例1、过椭圆2 2164=1内一点M (2,1)引一条弦，使弦被M点平分，求这条弦所在直线的方程。解：

19、设直线与椭圆的交点为 A(x-!, y1)、B(x2, y2)M (2,1)为 AB 的中点 .& X2 =4% 2=22 2 2 2又A、B两点在椭圆上，则X14y1 =16，他 4y2 =162 2 2 2两式相减得(为x2 ) 4( y1 -y2 ) = 0于是(X1 X2)(X1 -X2)4(y1 y2)(y1 y2)=05 yX1 X241 _ X1 -X24(y1 y2)4 221 1即kAB，故所求直线的方程为 y-1 (x-2)，即x，2y-4=0。2 22例2、已知双曲线X2 -专=1，经过点M (1,1)能否作一条直线l，使I与双曲线交于 A、B，且点M是线段AB的

20、中点。若存在这样的直线I，求出它的方程，若不存在，说明理由。策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线，然后验证它是否满足题设的条件。本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。解：设存在被点 M平分的弦AB，且A(x-), y1)、B(x2, y2)则 x1 十 x2 = 2 y1 + y2 = 22X1Y12X2两式相减，得1 % _ y2(X1 X?)% X2)( yiy2)( yi y2 ) = ° - kAB22 为一x2故直线 AB: y 一1 =2(x_1) -1 =2(x-1)由2 y2消去y，得2x? 4x +3 = °X =1I 2 = (-

21、4)2 -4 2 3-8：0这说明直线 AB与双曲线不相交，故被点 M平分的弦不存在，即不存在这样的直线丨。评述：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。由此题可看到中点 弦问题中判断点的 M位置非常重要。（1）若中点M在圆锥曲线内，则被点 M平分的弦一 般存在；（2）若中点M在圆锥曲线外，则被点 M平分的弦可能不存在。2. 过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹221例3、已知椭圆 L =1的一条弦的斜率为 3,它与直线x-的交点恰为这条弦的中点75 252M，求点M的坐标。1解:设弦端点卩（为，）、Q（X2,y2），弦PQ的中点M（x°,y°），则x&

22、#176;二2x1x2 = 2x° - 1 ，y1 y2 = 2y02 275252 2yx.17525两式相减得 25(y1y2)(y y2) 75(x1x2)(xx2 0即 2y°(% - y2) 3(人-x?) =0y1 - y2 _3X1-X22y。X1 X231矿3，即八一2点M的坐标为（1 , - 1）。2 22 2例4、已知椭圆 =1,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。7525解:设弦端点卩（为，）、Q（X2,y2），弦PQ的中点M（x, y），则X1 X2 =2x，y1 y =2y2 2 2 2 又 yi_.xi_=i,互75257525两式相减得 25(y

23、1 y2)(y y2) 75(x1 x?)% _x2) = 0yi - y3xXi X2y"2=3Xi X2-3x.3,x y = 02 2y x i7525，得P(-5 325 3)q(5 32 2即 y(yi y2) 3x(xi x?) =0,点M在椭圆内.它的斜率为3的弦中点的轨迹方程为x »0(-整*空)2 22例i已知椭圆y2 =i，求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程2解 设弦的两个端点分别为 P x-!, yi ,Q x2, y2 ， PQ的中点为M x, y .2 2则乞 yi2 =i，（ i）Y2i，（2）2 22 2XiX222 cx X2 Yi - y22

24、 得：-Yi - y2 =0，- -2 yi y2 -0.22 为 _x2又为 x2 二 2x, % y2 二 2y, Yi =2， x 4 y = 0 .X X2t弦中点轨迹在已知椭圆内，所求弦中点的轨迹方程为 x 40 （在已知椭圆内）2例2 直线I : axy-：；：a 5 =0 （ a是参数）与抛物线 f : y二x i的相交弦是AB，则弦AB的中点轨迹方程是 .解设 A Xi, yi、B X2,y2 ， AB 中点 M x, y，则 Xi X2 = 2x.y +5 I ：a x -i Liy 5 =0， I 过定点 N i,-5 ,kAB 二 kMNx -i又 Yi = Xi i 2

25、，（ i）y2 = X2 i 2，（2）2得:% 一丫22=X11 IX22,kAB 二匕 ± = xx22.X x2于是-2x 2 ,/弦中点轨迹在已知抛物线内，.所求弦中点的轨迹方程为y = 2x2 -7 (在已知抛物线内)3.求与中点弦有关的圆锥曲线的方程例5、已知中心在原点，一焦点为F(0,50)的椭圆被直线l : y1横坐标为一，求椭圆的方程。22 2解：设椭圆的方程为 爲 笃=1，则a2-b2=50 -一a b=3x -2截得的弦的中点的设弦端点 P(x1，yj、Q(X2,y2)，弦 PQ 的中点 M(xo,y°)11x0 , y0 = 3x0 - 2 x1 x

26、2 = 2x0 = 1 ,y1222 2 2 2又生x_ = 1,尘=12 ，, 2 , 2a ba b，则2 = 2y。= -1两式相减得 b2(y1 y2)(Yiy2) a2(xx2)(xj -x2) =0即-b2(% -y2)a2(% -X2)=02y - y =a_2% - X2 b联立解得a2 =75 , b2 = 252 2y , x所求椭圆的方程是17525例3已知 ABC的三个顶点都在抛物线 y2 =32x上，其中A 2,8 , 且ABC的重心G是抛物线的焦点，求直线 BC的方程.解 由已知抛物线方程得 G 8,0 .设BC的中点为M x0,y0，则A、G、M三点共2 2X0线

27、，且AG = 2 GM，二G分AM所成比为2，于1 28 2y。12X0 =11解得y。, M 11,4 .=-4设 B ,yi ,C X2,y2，则 yi y -82 2 又 y1=32x1, (1) y=32x2 , (2)221 - 2 得：yiy232 Xi - X2 , kyi - y232BC 二二X1 -X2% + y232_ -8.BC所在直线方程为 y 4 = -4 x -11，即4x y -40 = 0.的42 2例4已知椭圆 务岂=1 a b 0的一条准线方程是 x =1，有一条倾斜角为a b，求椭圆方程直线交椭圆于A、B两点，若AB的中点为C 一丄，丄I 2 4JB X

28、2,y2，则 X1 X2，且2X12a(1)2X2ra2V2务 1，（2）1 - 2 得:2X12 2% 一丫2b2a2 y1y2-12% r% -x22b22=2b，（ 3）2又=1 ,ca2 = c，(4)而a2=b2 c2，( 5)由（3），（ 4），（ 5）可得 a21 .2X21,所求椭圆方程为41b4. 圆锥曲线上两点关于某直线对称问题2 2例6、已知椭圆 仝=1，试确定的m取值范围，使得对于直线 y = 4x m，椭圆上总43有不同的两点关于该直线对称。解：设R(xi,yj，P(X2,y2)为椭圆上关于直线y=4x+m的对称两点，P(x, y)为弦RF2的中点，贝V 3x12 4

29、y =12，3x22 4y22 =122 2 2 2两式相减得，3(% - x2 ) 4( y1 - y2 ) = 0即 3(xr X2XX1 -X2)4(y1 y2)(% - y2)=0y1 - y2&X2 =2x, % y2 =2y,% x2二y =3x这就是弦PP2中点P轨迹方程。它与直线y = 4x m的交点必须在椭圆内r联立丿y=3x ，得=4x + mx = -my = -3m则必须满足y2 ：: 3-3x2,4232即(3m)-m,解得2.132.13m13135. 求直线的斜率X2y2( 9 "例5已知椭圆 一+丄 =1上不同的三点 Ax1, y1 ),B .

30、 4,，C(%, y2 )与焦点259I 5 丿F 4,0的距离成等差数列 (1)求证：为 X2 =8 ； (2)若线段AC的垂直平分线与 x轴的交点为T，求直线BT的斜率k.(1) 证略.(2) 解；X1 X2 =8 , 设线段AC的中点为D 4,y0 .2222又A、C在椭圆上，.勺 肛=1 , (1)生 亘=1 , (2)2592591 - 2 得:%2 -X222 2 y -y2% y29 N X29 836xi X225 I yi y225 2y0 25 y025 y025y0.直线DT的斜率kDT一，直线DT的方程为y - y°- x - 4 .36361令八一，得，即T

31、 H-，.直线BT的斜率k二9_o_54上25又kpQ二-丄mv- "26. 确定参数的范围例6若抛物线C : y2二x上存在不同的两点关于直线 I : y = m x-3对称，求实数 m的取值范围.解当m = 0时，显然满足当m = 0时，设抛物线C上关于直线l:y=mx-3对称的两点分别为 2 2P Xi,%、Q X2,y2 ，且 PQ 的中点为 M x-,y-，则 =洛，（1）y? = x?，（2）22Vi 科21 - 2 得：-丫2 =为X2,kpQ-yiy2為_ x2-中点 M x0 ,y0 在直线 l:y二mx-3 上，y0 二m-3，于是 Xo'.中点在抛物线y

32、2二x区域内/、25M 二 y02 <x），即 1 m <5，解得-71一£口丿1一.I 2丿2综上可知，所求实数 m的取值范围是- .-, .7. 证明定值问题2 2例7已知AB是椭圆 务占=1 a b 0不垂直于x轴的任意一条弦，P是AB的a b中点，O为椭圆的中心求证：直线 AB和直线OP的斜率之积是定值证明设 A X1, y1 ,B X2 ,y2 且洛=x?，(1)2X22"a2y1，( 2)b2Xi2X2 2 a2 2yi -y22b (Xi +X2 ) k2, kayiy2% y2AB2bXiX22ayiy2b7 (定值).a+ y2. k - bA

33、B2x1X?a8. 其它。看上去不是中点弦问题，但与之有关，也可应用。例9,过抛物线y2 = 2px(p a 0)上一定点P( xo,yo)( y。a0)，作两条直线分别交抛物 线于 A( Xi,yi)，B( X2,y2).(1) 求该抛物线上纵坐标为 的点到其焦点F的距离；2(2) 当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求yi y2的值，并证明直线 AB的斜yo率是非零常数.2 2解(1)略:设 A (yi ,yi) ,B(y 2 ,y2)，贝UAE=y2 - yi -22y2 - yi1y2 yi' kpA=yi -y。22y 1 y。yi,kpB yoy2 -y。22y2 - y

34、o1y2yo由题意，kAB=-kAq1yi yoy2yo，则yi -2yo则：kAB=为定值。2yo例10、抛物线方程y2 =P(X 1)(P o),直线X y =t与X轴的交点在抛物线准线的右边。(1) 求证：直线与抛物线总有两个不同交点(2) 设直线与抛物线的交点为A、B，且OA丄OB ,求p关于t的函数f(t)的表达式。(1 )证明：抛物线的准线为1: x 1 -°4由直线x+y=t与X轴的交点(t, o)在准线右边，得t -1 - P，而4t p 4 o4X y =t22由 2消去y得 x -(2t p)x (t -p) =0y =p(x -1)2 2.-： =(2t p)

35、4(t-p) =p(4t p 4)0故直线与抛物线总有两个交点。(2)解：设点 A(X1, yi),点 B(X2, y2)2Xi X2 =2t p，X1X2 二t pQOA _ OB. kcA koB = -1贝U x1x2 y1y2 =0又 y"2 =(t X1)(t -X2)2X1X2y°2 =t (t 2)p =0p =f(t)t2t 2又p 0, 4t p 4 - 0得函数f(t)的定义域是(-2, 0)_.(0,:)【同步练习】2 21、已知：F1, F2是双曲线X_ _- 1的左、右焦点，过 F1作直线交双曲线左支于点a bA、B，若AB=m, ABF 2的周长

36、为（)A、4aB、4a+mC、4a+2mD、4a-m2、若点P到点F（4,0）的距离比它到直线x+5=0的距离小1,贝U P点的轨迹方程是()A、y2=-16xB、 y2=-32xC、2 y =16xr2 ccD、y =32x3、已知 ABC的三边AB、BC、AC的长依次成等差数列，且，AB a|AC，点B、C的坐标分别为（-1 , 0）, （1 , 0），则顶点A的轨迹方程是（）2 X2y2 X2yA、+ 3=1B、+ 3=1(x0)43432222C、Xy=1(x : 0)X D、y二 1(x0 且 y = 0)43434、过原点的椭圆的一个焦点为F(1 , 0)，其长轴长为4,则椭圆中心

37、的轨迹方程是/1 2 丄 29 ,八A、(x ) y (X 一1)421 29C、X ( y J (x - 1)24/ 丄1 2丄 29 ,八B、 (x ) y (x -1)2421 29d、x (y J (x 一1)45、已知双曲线二1上一点M的横坐标为4,则点M到左焦点的距离是 6、抛物线y=2x2截一组斜率为2的平行直线，所得弦中点的轨迹方程是 27、 已知抛物线y=2x的弦AB所在直线过定点 p(-2，0)，则弦AB中点的轨迹方程是8、过双曲线x2-y2=4的焦点且平行于虚轴的弦长为 9、 直线y=kx+1与双曲线x2-y2=1的交点个数只有一个，则k=2 210、设点P是椭圆 =1上

38、的动点，F1, F2是椭圆的两个焦点，求sin / F1PF2的259最大值。11、已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，左焦点到坐标原点、右焦点、右准线的距离依次成等差数列，若直线I与此椭圆相交于 A、B两点，且AB中点M为(-2,1), AB =43 ,求直线I的方程和椭圆方程。12、已知直线l和双曲线x2=1(a0,b 0)及其渐近线的交点从左到右依次为A、B、C、D。求证：AB = CD。参考答案1、CAF2 AF= 2a, BF2 BF,| = 2a ,AF2 + BF2 - AB = 4a, AF2 + BF2 + AB = 4a + 2m,选 C2、C 点P到F与到x+4=0等距离

39、，P点轨迹为抛物线p=8开口向右，则方程为2y =16x，选 C3、D/ AB + AC =2 疋 2，且 AB a|AC点A的轨迹为椭圆在 y轴右方的部分、又 A、B、C三点不共线，即y丰0，故选D。4、 A设中心为(x, y),则另一焦点为(2x-1 , 2y)，则原点到两焦点距离和为4得 1. (2x -1)2(2y)2 =4 (x _)2 . y2 =9 又 c<a,.(x -1)2 y2 ： 224(x-1) +y <4，由，得 x丰-1，选A2999295、左准线为x=-, M到左准线距离为 d =4 -()则M到左焦点的距3 555离为ed5 29296、x=2(y*

40、2 2设弦为 AB , A(X1 , y1), B(X2, y2)AB2中点为(x, y)，则 y1=2x1 ,2 2 2y2=2x 2 , yy2=2(X1 -X2 )一 y21121二一 一 =2(x-! - x2) 2=2 2x, x将 x 代入 y=2x 得 V ,轨迹xx222211方程是x = (y> )2227、v =x+2(x>2) 设 A(X1, V1), B(X2, V2), AB 中点 M(x , y),则2 2 2 y1 =2X1, y2 =2X2,%-y2 一 2(x1 -x2),(y1y2)- 2% _X2y -"0 kAB 一 kMP x 2

41、又弦中点在已知抛物线内V2V = 2，即 y =x+2x 22P, 即卩 y <2x，即 x+2<2x , x>28、4 a 二 b =4,C =8,C=2.2，令 *=2 2 代入方程得 8-y =4 V =4 , y2 2 (1-k )x -2kx-2=0± 2，弦长为4y=kx+1 代入 x2-y2=1 得 x2-(kx+1) 2-1=01 -k2° 得 4k2+8(1-k2)=0, k=_2 1-k2=0 得 k= ± 1"F 22210、解：a =25，b =9，c =16设F2为左、右焦点，贝U Fg 0)F2(4, 0)设

42、 PF1 二iPFzIn,诲2 “贝廿+2 =20+j2 -21 a cos日=(2c)222-得 212(1+cos 0 )=4bVPF1F2X4b22b2- 1+cos 0 =2r1 r2叩2 n+2 2ad ,-12 的最大值为a2- 1+cos 0的最小值为2b22，a18即 1+cos 0257 7jtcos0 ,0乞二乞二- arccos则当时，sin 0取值得最大值1,25252即sin / F1PF2的最大值为1。2由题意：C、2C、 c成等差数c22x y11、设椭圆方程为一2 = 1(a b 0)a b列，.2c/22、.22-a =2(a -b ), a =2b2椭圆方程

43、为二2b2=1，设 A(X!,y1) , B(X2, y2)x!2b22Ylb22y2 =0*号k2b b=0即二2k = 0 k=l2直线AB方程为y-1=x+2即 y=x+3 ,代入椭圆方程即222222x +2y -2b =0 得 x +2(x+3) -2b =02 4 = c c即a2 = 2c2,c二 3x2+l2x+18-2b2=0,AB = Xi _x'VM = LJl22 12(182b2)T2 =伍32 2解得b2=l2,椭圆方程为x y =i，直线|方程为x-y+3=02412'2Xi2_yi=12x02y02 ab2-得2 -k = 0设22ab2生斗12

44、 ab212、证明：设 A(x 1, yi),D(X2, y2), AD中点为 M(X0，Y0)直线I的斜率为k，则B(xi , yi),C(X2, y2), BC中点为 M (x°, y。)，f i2i2Xiyi2.2Jabi2i2X2Y22.2L_ab则由、知M、=o=o-得牛-牛0a bm 均在直线i: 2x -2ya bk = 0上，而M、M 又在直线I上若I过原点，则B、C重合于原点，命题成立若I与x轴垂直，则由对称性知命题成立若I不过原点且与x轴不垂直，则 M与M 連合 AB = CD四、弦长公式法若直线丨：y = kx b与圆锥曲线相交与 A、B两点，A (x1, y1

45、), B(x2, y2)则 弦长 AB =、/(捲x2)2 +(y<i - y2)2=(X - x2)2 k b -( kx2 b)2=Vi + k2 论 一 x2二k2 .(x1 x2)2 -4x1x2 同理:|ABF 1 k? 1 " - % 1 " % 4y2yi特殊的，在如果直线 AB经过抛物线的焦点，则|AB|=?般地，求直线与圆锥曲线相交的弦 AB长的方法是：把直线方程y=kxb代入圆锥曲线方程中，得到型如 ax2 bxC=：O的方程，方程的两根设为xA，XB ,判别式为，则|AB|二.1 - k2 |xxBH -：-i'1 ' k2 ，若

46、直接用结论，能减少配方、开方等运算过|a|程。例 求直线x - y T = 0被椭圆x2 4y2 = 16所截得的线段 AB的长。结合图形的特殊位置关系，减少运算在求过圆锥曲线焦点的弦长时，由于圆锥曲线的定义都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线的定义，可回避复杂运算。2例题1：已知直线y=x1与双曲线C:x2-d1交于A、B两点，求AB的弦长4解：设 A (捲，yj, B(X2, y2)y =x 122丄422得 4x -(x 1) -4=0 得 3x2-2x-5=0 -1则有253得，略=-3x-ix2ABK1 k2弘宀2)2一伽2皿誇+詈=影练习1 :已知椭圆方程为 y2 =1与直线方程l：

47、x -相交于A B两点，求AB的2 2弦长练习2:设抛物线y2二4x截直线 2x m所得的弦长AB长为3 5 ,求m的值分析：联立直线与抛物线的方程，化简，根据根与系数的关系，求弦长解：设 A (y =x联立方程221 +2 得 6x2 4x3 = 02捲x2二31X/2二 AB-1 k i (x1X2) - 4x1x2 = 2 (-3) _ 4 ( _ 2 )2112解：设 A (yj, B(X2, y2)联立方程：丿y 4x 得 4x2 (4m-4)x m2 = 0y = 2x mx1 x2 = 1 - m2x1x2m4寫 |AB = (1 +k2 寸(x1 +x2)2 4x2 =J5 J

48、(1 m)2 - m2-4例题2:已知抛物线y = -x2 3上存在关于直线x y二0对称相异的两点 A、B,求弦长AB分析：A、B两点关于直线x y =0对称，则直线AB的斜率与已知直线斜率的积为 - 1且AB 的中点在已知直线上解：；A、B关于l : x y = 0对称kl kABkAB设直线 AB 的方程为 y=x，b ， A(% , yj, B(x2, y2)联立方程y_x：by = x +3化简得 x2，b-3=01 1为 x2 - -1AB中点M (, b)在直线x y = 0上2 2b = 1x2 x-2=0xm = -2 AB = 1 k2 .(X1 X2)2 -4x1X2 =

49、 2 i(T)2 8=3、2小结：在求直线与圆锥曲线相交的弦长时一般采用韦达定理设而不求的方法，在求解过程中一般采取步骤为：设点T联立方程T消元T韦达定理T弦长公式作业：(1) 过抛物线y? =4x的焦点，作倾斜角为 :-的直线交抛物线于 A, B两点，且AB = 16 求的值32(2) 已知椭圆方程 X y2=1及点B(0,_2)，过左焦点 F,与B的直线交椭圆于2C、D两点，F?为椭圆的右焦点，求CDF?的面积。【典型例题】 五、数形结合法例1:已知P(a,b)是直线x+2y-仁0上任一点，求S= . a2 b24 6b 13的最小值。分析：由此根式结构联想到距离公式, 解: S=. (a 2)2 (b -3)2 设 Q(-2,3),则S=|PQ|,它的最小值即Q到此直线的距离.S | -22 3 -113、5 Smin -点评：此题也可用代入消元的方法转化为二次函数的最小值问题(注：可令根式内