角形倒边压轴题

1、三角形三条边的关系 三角形三边关系：三角形任何两边的和大于第三边. 三角形三边关系定理的推论：三角形任何两边之差小于第三边即a、b、c三条线段可组成三角形b c :：: a ： b c两条较小的线段之和大于最大的线段.注意：在应用三边关系定理及推论时，可以简化为：当三条线段中最长的线段小于另两条线段之和时，或当 三条线段中最短的线段大于另两条线段之差时，即可组成三角形.【例1】已知.ABC有两边长为a、b，其中a ：b，则其周长I 一定满足()A 2b : I : 2(a b) B. 2a : I ：2b C. a : H： a b D. a . I : 2a b 【解析】A .【例2】a、b

2、、c为三角形的三边长，化简a-b-c|-|b-c-a c-a-b，若此三角形周长为 11,求上面式子的值.【解析】/三角形任意两边之和大于第三边二 a -b -c ：0, b -c - a ： 0, c - a - b ： 0原式 =_(a _b _c) _(b _c_a)_(c_a_b) =a b c =11【例3】(1998年山东省竞赛题)已知三角形三边的长均为整数，其中某两条边长之差为5,若此三角形周长为奇数，则第三边长的最小值为().A. 8 B . 7 C . 6 D . 4【解析】 设a_b =5，由已知可得a b c为奇数，所以c为偶数，且c .a_b，所以c的最小值为6.【例4

3、】一个三角形的周长为偶数，其中的两条边长分别为 4和2003，则满足上述条件的三角形的个数为()A. 1个 B . 3个C . 5个D . 7个【解析】根据三角形三边关系定理，可求出三角形的第三边的取值范围是：大于1999而小于2007，再依其周长为偶数，可知第三边应为2000 , 2001 , 2002, 2003, 2004, 2005, 2006，这七个数中选出，而周长为偶数，已知一边长为偶数，一边长为奇数，由此可知，可第三边边长应为奇数.所以第三边 边长为2001,或2003或2005 .选B.【例5】 下列长度的线段能否组成三角形：a2 3、a2 4、a2 7(-0)； 下列长度的线

4、段能否组成三角形：3a、4a、2a 1( a . 1 )；5【解析】(1)a23, a24均小于a27，而(a23)(a24)=(a27) a2.因为a =0，所以(a2 3) (a2 4) a2 7，它们可以构成三角形；1(2)有 3a (2a 1) 4a , 4a (2a 1) 3a，而 3a 4a - (2a 1) = 5a -1，因为 a ,5所以5a-10，即3a 4a 2a 1,它们可以组成三角形；x -12【例6】周长为整数的三角形三边长分别为3、4、x，且x满足不等式，这样的三角形有个.(3XC27【解析】3.【例7】(03年河南省竞赛试题)周长为30,各边长互不相等且都是整数

5、的三角形共有多少个？f a 亠 b 亠 c 二 30【解析】设三角形的三边长为 a、b、c，且a : b : c，则有a b c 30_a +b a c Ab a故 2c : a b c = 30 , c ： 15 ;又 3c a b c = 30 , c 10，即 10 ： c ： 15当c =14时，有5组解：b =13 , a =3 ；b=12, a=4；b=11 ,a=5；b=10,a=6 ；b=9,a=7；当 c =13 时，有4 组解：b =12,a=5 ；b=11,a=6；b=10 ,a=7；b=9, a =8 ；当 c =12 时，有2 组解：b =11,a=7 ；b=10,a

6、=8；当 c =11 时，有1 组解：b =10,a=9 ；【例8】（2000年希望杯试题）一个三角形的三条边的长分别是a ,b ,c（a ,b ,c都是质数），且a b 16，则这个三角形是（）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 直角三角形或等腰三角形【解析】因为a , b , c均为质数且a b c =16，所以a , b , c中有一数为2,设a = 2，则b c =14，所 以|b_c|：2 .从而有|b_c|=0或|b_c|=1.当|b_c|=1时，b , c均不是整数，不合题意.因此， 只有|b_c|=0即a =2 , b=c=7，所以三角形是等腰三角形.【例9】若

7、三角形的周长为60，求最大边的范围.设m、n、p均为自然数，足 m兰n兰p , m+n + p=15，试问以m、n、 p为边长的三角形有 多少个？15I【解析】 设最大边为a，则20乞a： 30 ;.三角形三边关系定理，知p ： m n，即p p ： m n p =15 ,且 a 辽b 辽 c , a b c=13 ,【例10】/ m En 乞 p , 3p _m n p =15 ,【解析】由a b c =13，可知ab=13-c，又a亠b . c，所以13 - c . c ,即13c ： 一，又 a b c，所以213 - c c，即c ，从而c可取5、26又由a _b _c，可知a、c 可

8、取：3、5、5 ； 4、4、5 ；151515p-p :332p为自然数，p 可取5、6、7当p=7 时，n =7,m =1 ;n 二 6 ,m=2 ; n=5 , m=3 ; n=4 ,当p=6 时，n = 6,m 二 3 ;n =5 ,m =4 ;当p=5 时，n=5,m =5 .m =4 ;综上所述，以m、n、p为三边长的三角形共有 7个.（初二第4届希望杯1试）设 ABC的三边a、b、c的长度均为自然数, 则以a、b、c为三边的三角形共有 个.1、6、6 ； 2、5、6 ； 3、4、6，共可组成5个三角形.【例11】（第三十二届美国邀请赛试题 ）不等边三角形 ABC的两条高长度为 4和

9、12,若第三条高的长也是 整数，试求它的长.【解析】设第三边c边上高为h，三角形面积为 S，高为4,12的两边为a , b ,1 112S2S2S则有一 a 4 b 12 ch=S, a , b , c =2 22412h据三角形三边关系定理及推论，得空一空：空：竺空,.1丿 U.412 h 4126 h 3 h为整数，所以h =4或5 .又，三角形为不等边三角形， h = 5 .【例12】如图，P为 ABC内一点，试说明PA PB PC 1 （AB BC AC）.ABC【解析】图中有很多个三角形，在几个三角形中利用三边关系进行判断. 因为 PA PB AB , PB BC BC , PA P

10、C AC , 所以 PA PB PB PC PA PC AB BC AC , 即 2（PA PB PC） AB BC AC .1所以 PA PB PC 匕(AB BC - AC).AP，并延长交BC于【例13】如图，在三角形 ABC中，AB AC . BC，为三角形内任意一点，连结点D .求证：(1) AB AC AD BC ；(2) AB AC . AP BP CP .AF【解析】(1) I AB AC , . ABD ：. ACDv ,/ADB /ACD . ADB ZABD , AB . ADT AC BC , AB 亠 AC 2 AD 亠 BC(2)过点 P 作 EF / BC，交 A

11、B、AC 于 E、F , 则.AEF =/ABC , . AFE =/ACB由(1)知 AE AF AP EFv BE EP BP , CF FP CP- (AE - BE) (AF CF) (EP FP) . AP BP CP EF 即 AB AC . AP BP CP几何证明中后一问常常要用到前一问的结论.【例14】(祖冲之杯数学邀请赛试题 )如图所示，在 ABC中，AD_BC, D在BC上，ABC . . ACB , P是AD上的任意一点，求证 AC+BPAB + PC .【解析】作点B关于AD的对称点B，则点B落在线段CD上.连接AB交PC于点E，连接PB. 由轴对称图形的性质可得 A

12、B=AB , PB=PB.在.AEC 中，AE EC AC，在.：PEB 中，PE EB PB.因此 AC PB ：: AE EC PE EB 二 AB PC，所以 AC BP ：: AB PC .【例15】如图，在三角形 ABC中，.A =90度，AD垂直于BC .求证： AB - AC : AD BC .【解析】过A作AC垂直于AB交BC于C,112 2 2因为一 AD BC AB AC , AB (AC) =(BC),22所以 AB2 2 AB AC (AC)2 =(BC)2 2 BC AD (BC AD)2 ,所以 AB AC ： AD BC 又因为在三角形 ACC中，AC_AC：CC 得 AB - AC ： AD (BC CC ),即 AB AC :：: AD BC 【例 16】 点 C1、A1、B1 分别在,ABC 的边 AB、BC和 CA 上，且满足 A。： GB =BA： AC = CBt : B,A =1: 3 ,求证：1ABC的周长p与JABiCi的周长p之间有不等式一p p 2BAB1 C【解析】注意到三角形两边之差小于第