三角函数图像及性质习题含答案0

1、三角函数一、三角函数的基本概念和同角三角函数关系板块一：任意角的概念与弧度制（一）知识内容1.角的概念的推广角：一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形其中顶点，始边，终边称为角的三要素角可以是任意大小的角按其旋转方向可分为：正角，零角，负角1正角：习惯上规定，按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角；2负角：按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角；3零角：当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做零角在直角坐标系中讨论角：1角的顶点在原点，始边在 X 轴的非负半轴上，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角2若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫轴线角2终边相同的角的集合

2、：设：表示任意角，所有与：终边相同的角，包括本身构成一个集合，这个 集合可记为S - 360 ,kZ）.集合 S 的每一个元素都与:-的终边相同，当 k=0 时，对应元 素为:3弧度制和弧度制与角度制的换算角度制：把圆周 360 等分，其中1份所对的圆心角是1度，用度作单位来度量角的制度叫做角度制教师备案 一些特殊角的度数与弧度数的对应表：度数0s15 30456075 90120135150弧度0nn6n4n35 nn22 n33n45 n6度数180210 225 240 270*300 315 330 360弧度n7 n5 n44 nT3n25 nT7 n411 n62n1 弧度的角：长

3、度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角2规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零度数的绝对值：.=-，这种以弧度”作为单位来度量角的制度叫做弧度制r弧度与角度的换算：180s180二n rad,1 rad57.30 =57 18板块二：任意角的三角函数（一）知识内容1三角函数定义在直角坐标系中，设：是一个任意角，:终边上任意一点P（除了原点）的坐标为（x,y），它与原点的距离为r （ | x |2| y |2= . x2y20），那么2三角函数的定义域、值域函数定义域值域y =s inaRT,1y =cosaRT,1任一已知角:的弧比值y叫做:-的正弦，记作r即si

4、n :=比值-叫做的余弦，记作rcos篇，比值y叫做:-的正切，记作xtan:,ytan：x比值-叫做:-的余切，记作ycot二，即 cot ：=-；y比值-叫做的正割，记作xsec 用，即rsec、；x比值匸叫做:-的余割，记作yrcscot，即 csca =.ypage 3 of 41y =ta na式n+ kn, k乏Z卜R3三角函数的符号由 三 角 函 数 的 定 义 ， 以 及 各 象 限 内 点 的 坐 标 的 符 号 ， 我 们 可 以 得 知 :正弦值y对于第一、二象限为正（y0, r0），对于第三、四象限为负（r余弦值x对于第一、四象限为正（x0, r0），对于第二、三象限为

5、负（r正切值y对于第一、三象限为正（x, y 同号），对于第二、四象限为负（x可以用下图表示：*siricCSCH说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值4.同角三角函数的基本关系式:2 2 2 2 2 2十方 天系： sin x亠cos x =1， sec xtan x 二 1， esc x-cot x=1sin xcosxtanx ,cotxcosxsin x11丄1secx,cscx,ta nx =cos xcos xcot x角与咔2 nk Z）的三角函数间的关系;sin(i 2k) =si nt,cos(工2k) =cos二,tan(爲2kn= ta nt；角与-的三角函数间

6、的关系；sin()-sin： ,cos(-：)二cos：,tan(- J -tan：;角与勿:;(2k 1)nk Z)的三角函数间的关系；sin (2k 1) nl = sin、；,cos I (2k 1) cos、； ,tan、， (2k 1)=tan、JT角：与 的三角函数间的关系y： ：o, r . o);X :：0, r . 0)；x, y 异号)tui耳ccta商数关系:倒数关系:6诱导公式：42page 5 of 414.三角函数式的化简与三角恒等式的证明是个难点，需要学生熟悉并灵活运用所学的公式与知识， 一般情况下，化简的基本思路是：减少角的种数，减少三角函数的种数，适当配凑和拆

7、分，统一切割化弦等等.二、三角函数的图象与性质板块一：任意角的概念与弧度制(一)知识内容单位圆：半径等于单位长的圆叫做单位圆设单位圆的圆心与坐标原点重合，则单位圆与x 轴交点分别为A(1,0)，A ( -1,0)，而与y轴的交点分别为 B(0,1)，B (0, -1).由三角函数的定义可知，点P的坐标为这就是说，角的余弦和正弦分别等于角用终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标.过点A(1,0)作单位圆的切线，它与角G的终边或其反向延长线交与点T(或)，则tana = AT(或A).有向线段：坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向.具有方向的线段叫做有向线段.规定：与坐标轴方向一致时

8、为正，与坐标方向相反时为负三角函数线的定义：y711 /一T-一厂O卜.忆ITy = f (x_ a)y =f(x)上移a个单位(a .0) y _ a = f (x)y=f(x)下移 a 个单位(a 0) y a = f(x)f(x)各点横坐标变成原来的丄倍电 Ty = f ( x)f(x)各点纵坐标变成原来的-倍A TAy二f (x)厂f (x)绕 X 轴翻折y = f(x)f (x)厂f( x)page 11 of 411板块三：三角函数的性质1三角函数的性质函数y = sin xy = cosxy =tanxy = cot x定义域RRXXR,且xHJIk兀+,k壬Z2xx R,且x式

9、k兀，Z值域-1,1-1,1RR奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数有界性有界函数| sin x 1有界函数 cosx戶1无界函数无界函数12周期性（最小正周期）T =2nT =2nT= nT = npage 13 of 41单调性nn在2 k n ,2k n+22在2kn+,2kn+ 3|_22(nZ)在(2k_1)n2knLI ,2kn,(2k+1)nLI (Z)在(k n-,2 k n+訓(Z )在(k n, k n n|_l(k Z)nx =2k n + _,2x = 2k nymax =1；ymax =1；最值x=(2k+1)n.无无nx = 2k n-,2ym in =-1min =-1

10、 (k E Z)(Z)对称轴nx = k n+(kEZ)2x = kMkEZ)无无(k.n0)对称点(knO)(k Z)(k ,0)2(kn,0)(k乏Z)n(kn+,0)( Z)2(Z)2.y = sin x与y =sin x的性质函数y =|sin x|y =si n| x|定义域RR值域0, 1-1, 1奇偶性偶函数偶函数周期T =n不是周期函数kn, kn +上为增区间，2增减区间规律不明显，只能就具体单调性|kn+n, kn+J为减区间(k Z)1 2区间分析14（数学4必修）第一章 三角函数（上）基础训练A组一、选择题aaa1.设 a 角属于第二象限，且cos = cos，则一角属

11、于（）222A.第一象限B .第二象限C.第三象限D .第四象限page 15 of 41.7sin cosn2给出下列各函数值：sin(_10000):cos(-2200):tan(-10):10-,17n tan9负的有（）A. B. C . D .3sin21200等于()D.44 .已知sin，并且:是第二象限的角，那么5tan的值等于（ ）17兀2 .设MP和OM分别是角 丄 的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式:18MP：OM0 ，OM: 0MP;OM : MP：0:MP：0OM,3若角G与角B的终边关于y轴对称，则0（与B的关系是_.其中符号为A.B.D.-5. 若是第四象限的角

12、，则理卞是（）A.第一象限的角B.第二象限的角C.第三象限的角 D.第四象限的角6.sin 2 cos3tan4的值（）A.小于0B.大于0C.等于0D.不存在二、填空题1.设二分别是第二、三、四象限角，则点P (sin v, cos v)分别在第象限.A.B.其中正确的是164设扇形的周长为8cm，面积为4cm2，则扇形的圆心角的弧度数是 _。5与-20020终边相同的最小正角是 _ 。三、解答题1、2271已知tan為,- 是关于x的方程x -kx - k -3=0的两个实根，且3 ,求co - sin二tana2的值.2已知tanx = 2，求csx sin x的值。cosx sin x

13、page 17 of 41sin(540-x)1cos(360- x)tan(900-x) tan(450-x)tan(810-x)sin(_x)4已知sin x + cosx = m,( m兰72,且m式1)，求(1)sin3x + cos3x； ( 2)综合训练B组一、选择题1 .若角6000的终边上有一点- 4, a，贝U a的值是（）A.4 3B.-4 3C.- 4 3D.3c 来件sinx丄cosx tanx亠口2函数 y =-+-+；- 的值域是（）sinx cosxta nx3 .化简:sin4x - cos4x的值。18A-1,0,1,3?B.J 1,0,3/C.一1,3?若为

14、第二象限角,其值必为正的有（D.那么A.0个 B .1个 C.已知若角A.sin2：acos，2sin a = m,(m 1),m B.2-m:-的终边落在直线2B.-26 .已知tan= .3,A.B.二、填空题Ji231那么Tm2C.-2或21cos2二tan :-m.1 - m2sin :.1 -sin2:丄中,acos2).1 - m2+-m21 -cos :cos：3兀，那么cos；：sin的值是（2-1、321-3D.13且的终边过点的值等于（）P（x,2），则是第_ 象限角,page 19 of 412若角 G 与角 B 的终边互为反向延长线，则G 与 0 的关系是_3设宀=7.

15、412,2- -9.99，则宀，分别是第 _象限的角。4与-20020终边相同的最大负角是 _5.化简：mtan00+xcos90- psin180q cos270- r sin360=_三、解答题B1.已知 一90 ：90,-90 ： ： :：:900,求：_ 的范围。222123.已知tanx=2, (1)求一sin x cos x的值。2 .已知f(x) = cos双,x tan：C.sin： ；tan： ；cos:B.cos tan sin：D.tan：；sin：；B.6.在函数y=si nx、y=|si nx、28二、填空题1.关于x的函数f（X）二cos（x ）有以下命题： 对任意

16、，f（x）都是非奇非偶函数;不存在：，使f （x）既是奇函数，又是偶函数；存在，使f （x）是偶函数；对任意，f（x）都不是奇函数其中一个假命题的序号是 _ ，因为当：二_时，该命题的结论不成立2函数 y = csx的最大值为 _ .2 _cosx3若函数f(x)=2tan(kx + Q的最小正周期T满足1cTv2,则自然数k的值为_.3J3满足sin x的x的集合为25若f(x) =2sinwx(O可1)在区间0,Q上的最大值是42，则 b=_3三、解答题21 .画出函数y =1 -sin x, x0,2二1的图象。(2)设f(x) =sin(cosx),(0乞x玄恵)，求f(x)的最大值与

17、最小值。2比较大小(1)si n1100,si n15O0； (2)ta n220,ta n2OO03(1)求函数y-、log21-1的定义域。 sin xpage 29 of 414若y = cos2x 2psin x q有最大值9和最小值6，求实数p,q的值。综合训练B组一、选择题、11方程sin二xx的解的个数是()4A.5B6C.7D.82.在(0,2二)内，使sinx cosx成立的x取值范围为()30兀5兀C（,）44.5二3二D -（,二）（,-4-一4 2）3 .已知函数f （x）JT=sin（2x亠仃）的图象关于直线x=对称,8则可能是（）HJIr 3二A. B.C.D.24

18、444.已知.ABC是锐角三角形，P =sin A sin B,Q =cosA cosB,则（ ）A.P：QB.P QC.P =QD.P与Q的大小不能确定5如果函数f（x）二sin（二x二）（0 2二）的最小正周期是T,且当x= 2时取得最大值,那么（）A. T =2,B. T = 1,71=：2JIC.T =2, v -二 D.T =1,二26.y =sinxsinx的值域是（）A.-1,0B.0,1C.-1,1D.-2,0二、填空题1已知cosxh23”是第二、三象限的角，则a的取值范围 _4 a2 .函数y = f（cosx）的定义域为2k二-一,2k二- 6ZkH 3则函数y二f（x）

19、的定义域为x兀3函数y = cos（-一）的单调递增区间是23page 31 of 414 .设0，若函数f(x)=2sinwx在FU上单调递增，则 b 的取值范围是。3 45函数y=lgsin(cos x)的定义域为。三、解答题1.( 1)求函数y = . 2 log1x tan x的定义域。V 2(2)设g(x) =cos(sin x),(0 x 0）在区间0,上截直线y=2及y-1所得的弦长相等且不为0，则下列对A,a的描述正确的是（ ）二、填空题设f（x）是定义域为R，最小正周期为JI3cosx,（ x：0）的函数，若f（x）2722z,则sin x,（0乞x：二）15：f（等B.C.

20、0D.4已知A,，A2，A.a,A322B.a J,A崇22C.a =1, A亠1D.a =1, A乞11 .已知函数y =2a bsin x的最大值为3，最小值为1，则函数y - _4asin x的最小正周期为_ ,值域为_2当x I, I时，函数y=3sinx2cos2x的最小值是 _ ，最大值是 _4._ 若函数f(x)=asin2x+btanx+1，且f(3)=5,贝U f伍+3) =_。5 .已知函数y =f(x)的图象上的每一点的纵坐标扩大到原来的4倍，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿x轴向左平移一，这样得到的曲线和y = 2si nx的图象相同，则已知函数y二f(x)的

21、2解析式为_.三、解答题1求使函数y 、3COS(3X-:) -sin(3x -:)是奇函数。3函数f(x) =(-)叱3page 35 of 412已知函数y = cos2x asi nx-a22a5有最大值2，试求实数a的值。3.求函数y =sinx-cosx sinxcosx, x：二0,二I的最大值和最小值。2兀4已知定义在区间i第,上的函数y = f(x)的图象关于直线x对称，36兀2当时，函数f (x) = Asin(，x：；*)JI(A 00,-2其图象如图所示2(1)求函数y =f (x)在慕,的表达式;32)，数学4(必修)第一章三角函数(上)基础训练A组一、选择题H31 a

22、K1.C2k2kQ%,(k Z), kk ,(k Z),24 22aa当k =2 n,( nZ)时，一在第一象限；当k=2 n T,( nZ)时，一在第三象限;22求方程f(X)口22-的解.17：237sin4,cos 3,tan-55JI2：二，sin2 0; 3：二，cos3：0;二:4 ,tan4 0;sin2cos3tan 4：02 2 2当二是第四象限角时，sin：0, cos；171W2.si n MP 0, cos O M：01 81 83- 2k二二 -与l：，关于x轴对称12, l4.2 S=3(82 )r = 42, 4+ 40=2禺4, = = 20 0 0,0 0 0

23、5.158-2002 - - 2 1 601 58 ,(2 1603606)而cos2a二-COSa小otCOS 0, 在第三象限;222.Csin( -1000) =sin800；cos(2200) = cos(40) = cos400sin三3.Btan(-10) = tan(3恵一10)：10cos二-sin717:tan9Jsin21200=si n12010丽乔仙万：017:tan9sin :5.Cr：- :-，若是第四象限的角，则-a是第一象限的角，再逆时针旋转18004.A6.A当二是第二象sin0 , co s填空题17：238三、解答题得tan= 1,贝U sin- cos

24、-1.解：；tan ta n27二k -3=1,k -2，而3:n2tan：ta n2.解:cosx sinx=Og= 口3cosx -sinx 1 - tanx 1-2,-cos-：sin二page 39 of 41数学4（必修）第一章 三角函数（上）综合训练B组一、选择题a_1. Btan 600,a = -4 ta n6OO0= -4ta n60= -4、3一42. C 当x是第一象限角时，y =3;当x是第二象限角时，y =一1；当x是第三象限角时，y =-1；当x是第四象限角时，y =-1312k2kn；x,（k Z）,4k二二：2：4k二2二，（kZ）,n otnkk ,（kZ）,

25、2在第三、或四象限，sin2：0，422Ctotcos2可正可负；在第一、或三象限，cos可正可负22sin a丄/-cos2asin a |sina5.Dj2-=-十- ，(1 s in2acoscos。cossi na sin。当a是第二象限角时， -+-=ta+tana=0；cos叫cos。sin口sina当a是第四象限角时， 上-=tand -taZ =0cos叫cosasin(180-x)1cosxtan(x)tan(900-x)tan(900-x) sin(-x)si rx1t anx t axi- () xi n-tanxtan4.解：2m21由sin x cosx = m,得1

26、 2sin xcosx二m ,即sin xcosx =23.解：原式(1)sin3x cos3x二(sin x cosx)(1sin xcosx)二m(1 一1丁rc 33m -m2(2)sin4x cos4x = 1 -2sin2xcos2x = 1-2(2 .m -1)22-m42m2123.A4.Bcos：Uta n，正cos 丁1 _m2404兀.i73-1 + J36.B,cos : - sinJ.3222二、填空题三、解答题2sin5x -sin xcosxcos2x =2sin2x -sin xcosx cos2xsin2x cos2x1.解:-900-P c900,4502.解

27、:3.解:V)f(1)fpp(-)，-135 -14,f()二f23兀1=cos3釦0（1）:1352sin2xcos2x二342212sin x cos x342 丄2sin x cos xX_4 _tan2x 1-tan27_121.二，-2 ,3 cos320贝U是第二、或三象限角，而Py= 203.得是第二象限角，则1n二一2,ta Jx310： ：7. 4 12二2：得1是第一象限角;JI9.299二4； ： 4.-202-2 0 00236O-( 2025.0t an0=0 ,0 , s0i n 1 8 00, =c o s27 0=0,s in 3600(2)page 41 of

28、 412 t a%x - t ant a rx14.证明：右边=(1一sin二cos：)2= 2 - 2sin二，2cos：- 2sin：cos:= 2(1- si：nc-ossin -co= 2(1- s i：n )(1:c o s )422.2(1 -sin：)(1 cos: ) = (1 -sin“：.亠cos：)数学4（必修）第一章 三角函数（上）提高训练C组1.D2.A3.B4.A5.D6.A选择题sin 600=sin 240=sin(18060) =-sin 60cosx：0,1ax0,xa 0,(x)COSXxacosxlog3si：0,3阿3曲=3也斫二1作出图形得1二sin

29、0.5,r二r画出单位圆中的三角函数线sin 0.5l+-x 彳a -1r二sin0.5=1 -(-1) (-1) = 1(COSTcosh)2= (COST- cosS)24 = 8,cos v cosf -2.2填空题-在角的终边上取点一122. 一、或三2K二:3- 2ky ,k(F Z )l,2+-1y二sin2(x)二JIjrsin二-cos二:0tan-：0.5：i -4 40,或I. 2i |5二: (：,：)U(二)5兀4 24n a page 45 of 411.0此时f(x)二coX偶函数2.3y(2 - coxs =)2xo s2y - 2x, c =-J2-y 1,y

30、+1y 133.2,或3nnT,1：:k：二而k Nk或，3r4.x | x=2k,或2k二JI-,k1ZI33J3兀n5. _x 0厂,0 xJ0 xJ43333三、解答题1.解：将函数y=sinx,x0,2，的图象关于x轴对称，得函数y- -sinx,x0,2二1的图象，再将函数y=-sinx,x0,2二1的图象向上平移一个单位即可。2.解:(1)si n110=si n70,si n150=si n30,而si n 700sin 30,. sin 110sin 150(2)tan2200=tan400,tan2000=tan200,而tan40。tan200, tan2200tan200

31、01 1 113.解：(1)log21 _0,log21,2,0 : si nx_ si nxsinxsinx2兀5兀2k二：x乞2 k或2kx 2 kmF,k Z665-(2c：,2 1( 2k；2 k ) Z(为所菊。66(2)当0 _x一 时,-1 cosx -1，而-1,1是f (t) =sint的递增区间当cos:二一时，f(xhin=sin(勻)sin1当cos:二时，f(x)max二si n 1_ 24. 解：令sin x =t,t T,1，y =1 -sin x 2psin x qy - -(sinx _p)2p2q 1 _ -(t _ p)2p2q 1 -(p)2p2q 1对

32、称轴为t =p3 .-GoGo兀一4-赫3f(x)m a x=2sin-222n46当p -1时，-1,1是函数y的递减区间，ymax二y|t“=-2p q =9口315_ymin=y|t=2P q=6，得p ,q，与p：-1矛盾；一42当p 1时，-1,1是函数y的递增区间，ymax= y|t=2pq=9315ymin二yh - -2pq=6，得p=4，q，与p 1矛盾；当 一1邛叮时，ymaxyltmP q 1=9，再当p_o,ymi-y |t-_2 p7=6，得 =31, = 42, 3；当p 0，ymin二y|t=2p q = 6，得p - - . 3 1,q =4 2 . 3p =（

33、、3-1q,=4 2 3数学4（必修）第一章三角函数（下）综合训练B组一、选择题一11. C 在同一坐标系中分别作出函数y1sin二x,y2x的图象，左边三个交点，4右边三个交点，再加上原点，共计7个2. C 在同一坐标系中分别作出函数yi=sin x, y2= cosx, x （0, 2二）的图象，观察：刚刚开始即x（0,）时，cosx sinx；4i 5到了中间即x（，）时，sinx cosx；445兀最后阶段即x（,2二）时，cosx sinx43.C对称轴经过最高点或最低点,_) =1= 2 _= k-：-8 8 2二k二一，k Z4It31314.BA B , A B= si nA

34、cosB; B A= sin B cos A222si rA siBicAs(BoP , Qf(-1,si n(2page 47 of 415. AT =2, f(2sin(2二二)=1户可以等于一n20,sin x工06. Dy=sinx sinx=n 2兰y0_2sin x,sin x -1L.4a2.丄，12kx乞2k二乞，一1ECOSX叮26322江8兀x江x3.4k,4k,k Z函数y=coS(递减时，2k二332 3234. ,2令x ,x ,则，-是函数的关于2 2 22222兰-则42: - 2n n 23Tj2kWKZ三、解答题2 log,x _00：x一41.解：(1):t

35、anx HO也兰xm+了环得0：x，或_ x _ 42x(。2 V ,4(2)当0乞二时,0辽si nx汨，而0,1是f (t) =cost的递减区间当sirx二时,f(xhin=cos1、填空题1. (_1,2)2k二:原点对” Ji n,n Ji一3匸齐，5.(2k-：nn-22 2),(k Z)sin (cos )而0-,乞1 xco s当si rx=时，f (xhax二C 0 s=0。12492.解:-2 -tantan.(1)tan3tan寸223.解:(2)1, sin1 cos142n当x时，2专有意义；而当31X时，2兀f=）无意义,4.解:.f （x）为非奇非偶函数。令cos

36、x =t,t -1,1，则y = 2t22at -(2a 1)a当2 -1,即a：-2时，- 1, 1是函数y的递增区间,a当1，即a 2时，-1,1是函数y的递减区间，1得a，与a 2矛盾；8|，对称轴t=，彳1ymi-；1ymin= -4a仁？,a当11，即2空a空2时,2ymin=a-2a_1二丄a24a 3=02 2得a = -1,或a -3,- a 1,此时ymax=a仁5数学4（必修）第一章三角函数（下）提高训练C组、选择题1.D2.B3.B22- -3 sin x-cos x 0,-cos2x 0,cos2x：0,2k2x：2k二2 2n n对称轴x=石,f(石)二215:4)15二4323) = f (sin31444.Csin A sin A2.sin代=1,而0：sin Ai-1= sin A = 1,A二9005.B令cosx二t,t -1,1，则y =t2，3t 2，对称轴t二-当si rx=时，f (xhax二C 0 s=0。1250page 51 of 41-1,是函数y的递增区间，当t=-1时yminO；