TUMAIL公共基础知识之数量关系笔记

1、数量关系1、算数知识奇偶（1）整数：正整数、0和负整数。（2）自然数：0和正整数。（3）偶数和奇数：能够被2整除的为偶数，2n；否则为奇数，2n+1（n为整数）。又称单数和双数。（4）0：0是特殊的偶数。（5）加减：同奇同偶则为偶，一奇一偶则为奇。（6）乘法：乘数有偶则为偶，乘数无偶则为奇。质合（1）质数：自然数中除了1和本身外，无法被其他自然数整除称为质数，又称素数。最小质数为2。（2）合数：自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他的自然数整除称为合数。最小合数为4。（3）0和1：0和1既不是质数也不是合数。（4）质因数分解：任何合数都能分解成若干质数的乘积。（5）短除法：从最小的质数除起

2、，一直除到结果为质数。整除（1）整除：整数a除以非0的整数b没有余数，我们就说a能被b整除或说b整除a。（2）传递：如果ba能整除，cb能整除，则数a也能被c整除。（3）加减：如果a与b都能被c整除，则a+b与a-b也能被c整除。（4）乘法：如果a能被b整除，c是任意整数，则积ac也能被b整除。（5）除法：如果a能同时被b、c整除，且b与c互质，那么a一定能被积bc整除，反之也成立。（6）2整除：个位上是0、2、4、6、8的。（7）3整除：各位数字之和是3的倍数。（8）4整除：末两位能被4整除。（9）5整除：个位是0或5的。（10）6整除：能同时被2和3整除。（11）7整除：个位数截去，余下的

3、数减去个位数的2倍，差是7的倍数。（12）8整除：末三位能被8整除。（13）9整除：各位数字之和是9的倍数。最大公约两个整数共有约数中最大的整数为最大公约数。方法为质因数分解，共有质数的乘积即为最大公约数。最小公倍两个整中共有倍数中最小的整数为最小公倍数。方法为质因数分解，两数所有公约数与非公约数的乘积即为最小公倍数。倍数若a、b是整数，ab=mn，且m/n是最简分数，则a是n的倍数，b是m的倍数。连比几个比例中，每一个比值的后项是下一个比值的前项。方法为找出中间量统一比例关系，一般为最小公倍数。平均数（1）算数平均数：X=X1+X2+X3+Xn/n。注：算术平均数与各数之差的平方和等于最小数

4、。（2）几何平均数：Mg=。注：n个正数的几何平均数不大于算术平均数。（3）加权平均数：X=M1X1+M2X2+M3X3+MnXn/M1+M2+M3+Mn（4）加权权重：一部分平均值为a，一部分平均值为b，加权平均数为c，那么a与b权重x/y=c-b/a-c。2、代数知识不定方程ax+by=c，a,b,c均为整数。（1）奇偶：同奇同偶则为偶，一奇一偶则为奇。（2）尾数：两数和、差、积的尾数等于两数尾数和、差、积的尾数。尤其注意5x的尾数为0或5。（3）互质：ax=by，a与b互质，那么x/y必然为非整数。不等式（1）性质：若a>b>0，则1/a<1/b。（2）不等式求解：设未

5、知数，根据不等式确定范围，最终确定答案。分段函数如商场满200减50，满500八折。Y= x-50，200x<500;Y=0.8x，x500。等差数列一个数列首项为A1，公差为d，项数为n，和为Sn。（1）通项：An=A1+（n-1）d（n1）；（2）对称：Am+An=Ap+Aq（m+n=p+q）；（3）公差：d=（An-Am）/（n-m）；（4）求和：Sn=n（A1+An）/2=nA1+1/2n（n-1）d；或者Sn=pn+qn（p、q为常数），d=2p，A1=p+q;等比数列一个数列首项A1，公比q，和为Sn。（1）通项：An=A1*qn-1；（2）对称：Am*An=Ap*Aq（m+

6、n=p+q）；（3）公比：q=an/an-1（n2）;（4）求和：Sn=A1（1-qn）/1-q（q1）；Sn=nA1（q=1）；特殊数列（1）平方数列求和：Sn=12+22+32+n2=1/6n（n+1）（2n+1）；（2）立方数列求和：Sn=13+23+33+n3= 1/2n(n+1) 2（3）斐波拉契数列：F0=0，F1=1，Fn=Fn-1+Fn-2（n，nN）3、几何知识相似全等（1）相似：对应角相等、对应边成比例。（2）全等：两边及其夹角相等；两角及其夹边相等；三边对应相等。（3）面积：相似平面图形面积比为相似比的平方；相似立体图形体积比是相似比的立方。三角不等式任意两边之和大于第三

7、边，任意两边之差小于第三边。勾股定理（1）直角三角形：勾2+股2=弦2（2）勾股数：（3,4,5）（5,12,13）（7,24,25）（8,15,17）（9,40,41）（11,60,61）平面公式（1）三角形：S=ah=absinC（2）梯形：S=(a+b)h（3）平行四边形：S=ah（4）圆形：C=2r=d，S=r2=d2（5）扇形：S=r2=lr凸多边形内角和：S=(n-2) ×1800直线切割平面区域数：an=1+等周（1）平面：周长一定，越趋近于圆，面积越大；面积一定，越趋近于圆，周长越小。（2）立体：表面积一定，越趋近于球，体积越大；体积一定，越趋近于球，表面积越小。立体

8、公式（1）球：S=4r2，V=r3（2）圆柱：S=2r2+2rh,V=SH=r2h（3）锥体：S=r+r2，V=r2h正多面体（1）定义：每个面都是全等的正多边形，且每个顶点所接面数均等。（2）模型：正四、正五、正八、正十二和正二十。三视图主视图、俯视图和左视图，反映物体的长、宽、高尺寸。解析几何（1）圆：(x-x0)2+(y-y0)2=r2（2）圆内点：x2+y2<r2正方形分割一个正方形可以分割成除2、3、5外任意数量的小正方形。蜂窝覆盖小圆对一定区域进行无缝隙覆盖，蜂窝状排列时用的小圆最少。立方体染色将一个立方体表面染色并切割成边长为原来的小立方体，则：（1）三面被染色的是8个在顶

9、角的小立方体；（2）两面被染色的是12(n-2)个在棱上的小立方体；（3）一面被染色的是6(n-2)2个在外表面中央的小立方体；（4）未被染色的是(n-2)3个不在表面的小立方体。4、行程问题行程问题（1）比例：S与vt成正比，v与t成反比。（2）平均速度：V=S/相遇问题（1）相遇：S=S1+S2=(v1+v2)t（2）直线多次相遇：S总=(2n-1)S（3）环线多次相遇：S总=nS追及问题（1）追及：S1-S2=(v1-v2)t（2）环线多次追及：S1-S2=nS青蛙爬井天数=+1流水问题船速=（顺速+逆速）/2，水速=（顺速逆速）/2火车问题（1）过桥：S=桥长+车长（2）错车：S=L1

10、+L2=(v1+v2)t（3）相对运动：相对运动距离=车长，相对速度=速度和或速度差。5、工程问题工程问题（1）比例：工作量与效率、时间成正比，效率与时间成反比。（2）轮流：效率和乘以时间。工作总量可以设为每个人单独完成用时的最小公倍数。（3）合作：求效率和。水管问题进/排水量=（进速排速）×时间牛吃草问题（1）草生长速=（2）初始草量=（吃草速草生长速）×时间6、利润问题收支利润=收入支出利润率利润率=1折扣率（1）折扣率=×10（2）部分折扣：=7、容斥原理二集容斥AB=A+BAB三集容斥ABC=A+B+CABBCCA+ABC文氏图集合抽象为大小一致的圆，集合

11、大小作为数字标注于图。8、排列组合排列Pmn=（nm1）组合Cmn=（nm1）环线排列n个人围成一圈，排列方式有Hn-1n-1=（n-1）!传球n个人经过m次传球，球回到发球人手中，传球方式有Qmn=(n-1)k/n±（）错位重排n封信装入n个信封，要求信和信封编号不同，则：（1）排列方式：Xn=（n-1）（Xn-2+Xn-1）（n2）（2）性质：n个数的错位重排数Xn是（n-1）的倍数。（3）数值：X1=0，X2=1，X3=2，X4=9，X5=449、概率问题等可能概率事件空间分为n个等可能情形，事件A包含其中m个情形，A事件发生概率为：G(A)=条件概率在事件B已经发生的前提下，

12、A事件发生的概率为G(AB)=独立重复概率将某实验重复进行n次，在一次实验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复实验中该事件正好发生m次的概率是：Gmn= Cmnpm(1P)n-m分类分步概率先计算每一类或每一步的概率，再计算整个事件概率。10、抽屉原理抽屉原理（1）原理一：把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件；（2）原理二：把多于mn个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于m+1的物体；（3）原理三：把无穷多件物体放入n个抽屉，则至少有一个抽屉里有无穷个物体。（4）原理四：把mn1个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m1）个物体。11、

13、数据分配数据分配（1）若数据可以相同，则各数相等离散性最差；（2）若数据不能相同，则公差为1的等差数列离散性最差。12、运筹问题时间分配将在逻辑上不冲突的事件同时进行。黑夜过桥（1）尽量让时间相近的两个人一起过桥；（2）让对岸过桥时间最短的人把灯送回。空瓶换酒若A个空瓶可换一瓶酒，有B个空瓶，最多可以喝到C瓶酒：C=（取整）任务分配让相对效率高的人去做他擅长的事才能确保整体效率最高。物质集中路两侧物资总重量小的流向总重量大的。线性规划（1）目标函数：M=c1x+c2y（2）约束条件：a1x+a2ya3，b1x+b2yb313、其他题型浓度问题（1）溶液=溶质+溶剂（2）浓度=×100%（3）饱和度：溶质溶解于溶剂的上限为饱和浓度。时钟问题（1）钟面问题：角度差=时间(分钟) ×5.5°（2）坏钟问题：坏钟每小时比标准钟快n分钟，当坏钟走过m分钟时，标准钟走过分钟。日期问题（1）闰年：每个世纪前99年，能被4整除的为闰年；每个世纪的最后一年，能被400整除的为闰年。（2）星期：平年每过一年，星期数的变化1；闰年每过一年，星期