MATLAB在微积分中的应用

1、应用MATLAB求解微积分问题吕喜明（内蒙古财经学院统计与数学学院，内蒙古，呼和浩特，010051） 摘要：在微积分的学习中，我们经常会遇见一些比较复杂问题。这些问题用手工求解，既费时间且容易出错，借助MATLAB可以有效的解决问题，从而大大提高工作效率。本文从微积分问题出发，详尽地介绍MATLAB的符号运算命令及其用法。 关键词：MATLAB 微积分 极限 导数 积分 Taylor 级数一、引言MATLAB，即“矩阵实验室”，它具有强大的符号运算功能。本文从微积分问题出发，详尽地介绍MATLAB的符号运算命令及其用法。 在MATLAB中提供了一些常用的函数来支持微积分运算，涉及的方面包括求极

2、限，求导数，求积分，Taylor展开，级数求和等诸多问题。下面我们就来作详尽的介绍。运用MATLAB求解微积分是很有用的，其速度比人工计算要快很多，在数学建模中更是一种现代化工具，效果和效率都有突破性的提高。二、MATLAB在微积分中的应用1 极限(limit)问题的求解1单变量函数的极限（1）的极限【命令】limit【调用格式】limit(f,x,x0) %f关于x求趋于x0的极限，x0可以取无穷大例1：计算极限【程序代码】syms x ; %创建符号变量 y=sin(x)/x; limit(y,x,0) ans =1 例2：求函数的极限syms x;y=log(x+sqrt(1+x.2)/

3、(x+tan(x);limit(y,x,0) ans =1/2 例3：计算极限【程序代码】syms x a b; %创建多个符号变量 f=x*(1+a/x)x*sin(b/x); limit(f,x,inf) %inf表示正无穷大 ans =exp(a)*b （2）或的极限（单侧极限）【命令】limit【调用格式】limit(f,x,x0,'right')或limit(f,x,x0,'left')例4：计算极限【程序代码】 syms x; %创建一个符号变量 f=(exp(x3)-1)/(1-cos(sqrt(x-sin(x); limit(f,x,0,'

4、;right') %求x趋向于0的右极限 例5:计算极限 (微积分课本90页15(9)【程序代码】syms x; %创建符号变量y=x/sqrt(1-cos(x); limit(y,x,0,'left') %求y趋向于0的右极限 ans =-2(1/2) 2多变量函数的极限（1）的极限【命令】limit(limit(f,x,x0),y,y0)或limit(limit(f,y,y0),x,x0)【调用格式】limit(limit(f,x,x0),y,y0)或limit(limit(f,y,y0),x,x0)例6:计算极限 (微积分旧课本P293例2(2)【程序代码】sym

5、s x y ; %创建多个符号变量f=(x*y)/(sqrt(x*y+1)-1);limit(limit(f,x,2),y,0) %求x2 y0时的极限 ans =2 例7:计算极限【程序代码】syms x y a; %创建多个符号变量f=exp(-1/(y2+x2)*sin(x)2/x2*(1+1/y2)(x+a2*y2);limit(limit(f,x,1/sqrt(y),y,inf) 例8:计算极限 (微积分新课本P316例2)【程序代码】syms x y ; %创建多个符号变量f=(x*y)/(x2+y2);limit(limit(f,x,0),y,0) %求x0， y0时的极限 an

6、s =0 注：利用matlab计算二元函数的极限时，其只有计算功能，没有判断功能。2 求函数的导数(differential coefficient)1一元函数的导数和高阶导数：（1）【命令】diff【调用格式】diff(f,x,n) %关于x求n阶导数例9： 求的导数，和【程序代码】syms x; %创建一个符号变量 y=sin(x)/(x2+4*x+3); y1=diff(y,x) y2=diff(y,x,2) y10=diff(y,x,10) y1 =cos(x)/(x2+4*x+3)-sin(x)/(x2+4*x+3)2*(2*x+4)y2 =-sin(x)/(x2+4*x+3)-2*

7、cos(x)/(x2+4*x+3)2*(2*x+4)+2*sin(x)/(x2+4*x+3)3*(2*x+4)2-2*sin(x)/(x2+4*x+3)2y10 =-10*cos(x)/(x2+4*x+3)2*(2*x+4)+90*sin(x)/(x2+4*x+3)3*(2*x+4)2+18144000*sin(x)/(x2+4*x+3)6*(2*x+4)2+604800*cos(x)/(x2+4*x+3)8*(2*x+4)7-2419200*cos(x)/(x2+4*x+3)5*(2*x+4)-3628800*cos(x)/(x2+4*x+3)7*(2*x+4)5-27216000*sin(

8、x)/(x2+4*x+3)7*(2*x+4)4-1814400*sin(x)/(x2+4*x+3)5+15120*sin(x)/(x2+4*x+3)4*(2*x+4)2+101606400*sin(x)/(x2+4*x+3)9*(2*x+4)6-151200*sin(x)/(x2+4*x+3)4+12700800*sin(x)/(x2+4*x+3)8*(2*x+4)6+6048000*cos(x)/(x2+4*x+3)6*(2*x+4)3-1814400*sin(x)/(x2+4*x+3)9*(2*x+4)8+720*cos(x)/(x2+4*x+3)4*(2*x+4)3-5040*sin(x

9、)/(x2+4*x+3)5*(2*x+4)4-1440*cos(x)/(x2+4*x+3)3*(2*x+4)-sin(x)/(x2+4*x+3)-18144000*cos(x)/(x2+4*x+3)6*(2*x+4)-76204800*cos(x)/(x2+4*x+3)8*(2*x+4)5-3628800*cos(x)/(x2+4*x+3)10*(2*x+4)9-32659200*sin(x)/(x2+4*x+3)10*(2*x+4)8+72576000*cos(x)/(x2+4*x+3)7*(2*x+4)3+54432000*sin(x)/(x2+4*x+3)7*(2*x+4)2+29030

10、400*cos(x)/(x2+4*x+3)9*(2*x+4)7+3628800*sin(x)/(x2+4*x+3)11*(2*x+4)10-127008000*sin(x)/(x2+4*x+3)8*(2*x+4)4-5040*sin(x)/(x2+4*x+3)3-3628800*sin(x)/(x2+4*x+3)6+151200*sin(x)/(x2+4*x+3)7*(2*x+4)6+120960*cos(x)/(x2+4*x+3)5*(2*x+4)3-90720*cos(x)/(x2+4*x+3)4*(2*x+4)-756000*sin(x)/(x2+4*x+3)6*(2*x+4)4+907

11、200*sin(x)/(x2+4*x+3)5*(2*x+4)2-30240*cos(x)/(x2+4*x+3)6*(2*x+4)5-90*sin(x)/(x2+4*x+3)2 注：利用matlab计算高阶导数时，只能计算有限阶，不能计算符号阶。例10：求的导数【程序代码】 syms x n; %创建多个符号对象y=sin(x);yn=diff(y,x,n) yn =0 2多元函数偏导数（1）【命令】diff（diff(f,x,m),y,n）或diff（diff(f,y,n),x,m）【调用格式】diff（diff(f,x,m),y,n）或diff（diff(f,y,n),x,m）例11：求的二

12、阶偏导数 (微积分课本P301例8)【程序代码】syms x y; %定义多个符号变量 z=x*sin(x2+y2);zxx=diff(diff(z,x),x) %先对x再对x求偏导zxy=diff(diff(z,x),y) %先对x再对y求偏导zyx=diff(diff(z,y),x) %先对y再对x求偏导 zyy=diff(diff(z,y),y) %先对y再对y求偏导 zxx =6*cos(y2+x2)*x-4*x3*sin(y2+x2)zxy =2*cos(y2+x2)*y-4*x2*sin(y2+x2)*yzyx =2*cos(y2+x2)*y-4*x2*sin(y2+x2)*yzy

13、y =-4*x*sin(y2+x2)*y2+2*cos(y2+x2)*x 例12：已知，求,【程序代码】syms x y %创建多个符号对象 z=(x2-2*x)*exp(-x2-y2-x*y); zxy=diff(diff(z,x,1),y,1) zx3y2=diff(diff(z,x,3),y,2) zxy =(2*x-2)*(-2*y-x)*exp(-y2-x2-x*y)-(x2-2*x)*exp(-y2-x2-x*y)+(x2-2*x)*(-2*x-y)*(-2*y-x)*exp(-y2-x2-x*y)zx3y2 =-12*(-2*y-x)*exp(-y2-x2-x*y)-12*(-2

14、*x-y)*exp(-y2-x2-x*y)+6*(-2*x-y)*(-2*y-x)2*exp(-y2-x2-x*y)+18*(2*x-2)*exp(-y2-x2-x*y)-6*(2*x-2)*(-2*y-x)2*exp(-y2-x2-x*y)-12*(2*x-2)*(-2*x-y)*(-2*y-x)*exp(-y2-x2-x*y)-6*(2*x-2)*(-2*x-y)2*exp(-y2-x2-x*y)+3*(2*x-2)*(-2*x-y)2*(-2*y-x)2*exp(-y2-x2-x*y)+12*(x2-2*x)*(-2*y-x)*exp(-y2-x2-x*y)+18*(x2-2*x)*(-

15、2*x-y)*exp(-y2-x2-x*y)-6*(x2-2*x)*(-2*x-y)*(-2*y-x)2*exp(-y2-x2-x*y)-6*(x2-2*x)*(-2*x-y)2*(-2*y-x)*exp(-y2-x2-x*y)-2*(x2-2*x)*(-2*x-y)3*exp(-y2-x2-x*y)+(x2-2*x)*(-2*x-y)3*(-2*y-x)2*exp(-y2-x2-x*y) 【注解 】求或可调用如下简化命令：zxdiff（z,x）或zy=diff（z,y）例13：已知，求【程序代码】syms x y z; %定义多个符号变量 f=sin(x2*y)*exp(-x2*y-z2);

16、fx3y2z=diff(diff(diff(f,x,3),y,2),z,1); %求导fx3y2z=simple(fx3y2z) %化解结果 fx3y2z =-32*x*z*exp(-x2*y-z2)*(12*sin(x2*y)*x2*y-15*sin(x2*y)*x4*y2-3*cos(x2*y)+12*cos(x2*y)*x2*y-2*cos(x2*y)*x6*y3+2*sin(x2*y)*x6*y3) 3 积分( integral)问题的求解1不定积分(indefinite integral)的求解：（1）【命令】int【调用格式】int(f,x)【输出控制】int(f,x)+C例14：

17、求 (微积分课本P213例7)【程序代码】syms x C; y=x3*log(x)2; yj=int(y,x)+C yj =1/4*x4*log(x)2-1/8*x4*log(x)+1/32*x4+C 例15：求的不定积分 (微积分课本224页3(5)【程序代码】syms x a b e C; %创建符号变量y=(sin(a*x)-e(x/b);yj=int(y,x)+C %求不定积分 yj =-1/a*cos(a*x)-b/log(e)*e(x/b)+C 2定积分的计算【命令】inf（f,x,a,b）【调用格式】inf（f,x,a,b）例16：计算 (微积分新课本P244例2)【程序代码】

18、syms x; y=exp(sqrt(x); I=int(y,x,0,1) I =2 例17：计算【程序代码】syms x; %创建符号变量 y=1/(1+x2); I=int(y,x,0,inf) %计算定积分 I =1/2*pi 例18：求积分 syms x y z F2=int(int(int(x2+y2+z2,z,sqrt(x*y),x2*y),y,sqrt(x),x2),x,1,2)VF2=vpa(F2) % 积分结果用 32 位数字表示 F2 =1610027357/6563700-6072064/348075*2(1/2)+14912/4641*2(1/4)+64/225*2(3/4)VF2 = 4 幂级数(Power series)的泰勒(Taylor)展开【命令】taylor【调用格式】taylor(f,x,n,a) %在点处k项展开例19：把sinx在0点展开到次。syms x;y=sin(x)m6=taylor(y,7,0) y =sin(x)m6 =x-1/6*x3+1/120*x5 例2