应用弹塑性力学ch8-温度应力问题

1、要点要点:（1）温度场的确定）温度场的确定 热传导微分方程、温度场边界条件热传导微分方程、温度场边界条件的确定。的确定。（2）温度应力场问题的基本方程）温度应力场问题的基本方程（3）温度应力场问题的求解方法）温度应力场问题的求解方法8-1 8-1 关于温度场和热传导的一些概念关于温度场和热传导的一些概念 8-2 8-2 热传导微分方程热传导微分方程8-3 8-3 温度场的边值条件温度场的边值条件8-4 8-4 按位移求解温度应力的平面问题按位移求解温度应力的平面问题8-1 8-1 关于温度场和热传导的一些概念关于温度场和热传导的一些概念（1 1） 温度应力温度应力当弹性体的当弹性体的温度改变温

2、度改变时，由于时，由于受到约束作用受到约束作用，造成，造成弹性体弹性体不能不能自由膨胀与收缩，由此而产生的应力。自由膨胀与收缩，由此而产生的应力。 称为称为温度应力温度应力或或变温应力变温应力温度应力产生的条件：温度应力产生的条件：温度改变；温度改变；受到约束作用，物体不能自由变形。受到约束作用，物体不能自由变形。（2 2） 热传导热传导热量从物体的一部分传递到另一部分，或从一个物体传入热量从物体的一部分传递到另一部分，或从一个物体传入与之相接触的另一物体。与之相接触的另一物体。 称为热传导称为热传导（3 3） 温度场及其描述温度场及其描述任一瞬时，物体内各点的温度随位置（坐标）的分布规律，任

3、一瞬时，物体内各点的温度随位置（坐标）的分布规律，称为该瞬时的温度场。称为该瞬时的温度场。),(tzyxTT 稳定稳定温度场：温度场：若物体内各点的温度若物体内各点的温度只随位置（坐标）而变化只随位置（坐标）而变化，而不随时间，而不随时间而变化的温度场。而变化的温度场。稳定稳定温度场温度场：若物体内各点的温度若物体内各点的温度只随位置（坐标）而变化只随位置（坐标）而变化，而不随时间，而不随时间而变化的温度场。而变化的温度场。 即：即：0),(ttzyxT不稳定不稳定温度场温度场： 稳定稳定温度场也称温度场也称定常温度场。定常温度场。若物体内各点的温度若物体内各点的温度不仅随位置（坐标）而变化不

4、仅随位置（坐标）而变化，而且随时，而且随时间而变化的温度场。间而变化的温度场。 不稳定不稳定温度场也称温度场也称非定常温度场。非定常温度场。平面稳定平面稳定温度场温度场：),(tyxTT 0),(ttyxT, 0),(ztyxT（4 4） 等温度面等温度面任一瞬时，连接场内温度相同的各点，得任一瞬时，连接场内温度相同的各点，得到的曲面，称为该瞬时的等温面。到的曲面，称为该瞬时的等温面。（4 4） 等温度面等温度面任一瞬时，连接场内温度相同的各点，得任一瞬时，连接场内温度相同的各点，得到的曲面，称为该瞬时的等温面。到的曲面，称为该瞬时的等温面。图中虚线表示相差为图中虚线表示相差为T 的一些等温面

5、。的一些等温面。等温度面的性质等温度面的性质：（a）沿等温面，温度不变；而沿其它面，）沿等温面，温度不变；而沿其它面，温度都为变化的。温度都为变化的。（b）沿等温面的法线方向，温度的变化）沿等温面的法线方向，温度的变化率最大。率最大。（5 5） 温度梯度温度梯度为表示温度为表示温度 T 在某一点在某一点 P 处的变化率，在处的变化率，在 P 点取一点取一矢量矢量，称为，称为温度梯度，温度梯度， 用用T 表示。表示。T：方向：方向： 沿等沿等温面的法线方向，即指温度增加的方向；温面的法线方向，即指温度增加的方向；大小：大小：nT取等取等温面的法线方向单位矢量为温面的法线方向单位矢量为 n0，沿温

6、度，沿温度增加增加方向。方向。（5 5） 温度梯度温度梯度为表示温度为表示温度 T 在某一点在某一点 P 处的变化率，在处的变化率，在 P 点取一点取一矢量矢量，称为，称为温度梯度，温度梯度， 用用T 表示。表示。T：方向：方向： 沿等沿等温面的法线方向，即指温度增加的方向；温面的法线方向，即指温度增加的方向；大小：大小：nT取等取等温面的法线方向单位矢量为温面的法线方向单位矢量为 n0，沿温度增加方向。，沿温度增加方向。则则温度梯度可表示为：温度梯度可表示为：nT0nT温度梯度的物理意义温度梯度的物理意义： 温度梯度代表该点的最大温度变化率的温度梯度代表该点的最大温度变化率的方向方向和和大小

7、大小。温度梯度的投影：温度梯度的投影：),cos(xnnT),cos(ynnT),cos(znnTxTyTzT（6 6） 热流速度与热流密度热流速度与热流密度热流速度热流速度：单位时间内通过等温面面积单位时间内通过等温面面积S 的热量，的热量，dtdQ用用表示。表示。热流密度或热通量：热流密度或热通量：通过等温面单位面积的热流速度，用通过等温面单位面积的热流速度，用 q 表表示示热流密度的大小热流密度的大小，则有，则有SdtdQq/热流密度的热流密度的矢量表示矢量表示：SdtdQ/0nqn0 为温度梯度方向的单位矢量。为温度梯度方向的单位矢量。“”表示热流密度的表示热流密度的矢量表示矢量表示q

8、 的方向的方向总是与温度梯度的方向相反。即：热量总是与温度梯度的方向相反。即：热量总是由高温面传到低温面。总是由高温面传到低温面。（7 7） 热传导基本定律热传导基本定律热流密度与温度梯度成正比，而方向相反热流密度与温度梯度成正比，而方向相反。即。即Tq（i i）式中，比例常数式中，比例常数 称为称为导热系数导热系数，可表示为，可表示为SnTdtdQ/由此可见，由此可见，导热系数导热系数 的物理意义为的物理意义为：单位温度梯度下通过等温面单位面积的热流速度。单位温度梯度下通过等温面单位面积的热流速度。 的量纲：的量纲： 热量热量长度长度 1 1 时间时间 1 1 温度温度 1 1热流密度的大小

9、：热流密度的大小：nTq热流密度矢量热流密度矢量 在在 x 轴上的投影为轴上的投影为q),cos(xqqxq),cos(xnTq),cos(0 xnTnxT同理，热流密度矢量同理，热流密度矢量 在在 y 轴、轴、 z 轴上的投影为轴上的投影为q,xTqx,yTqy,zTqz（8-28-2）表明：热流密度矢量表明：热流密度矢量 在任一方向上的投影，等于导热系数乘在任一方向上的投影，等于导热系数乘以温度在该方向上的递减率。以温度在该方向上的递减率。q8-2 8-2 热传导微分方程热传导微分方程1. 热传导微分方程热传导微分方程（1 1） 热平衡原理热平衡原理在任意一段时间内，物体的在任意一段时间内

10、，物体的任一微小部分所积蓄的热量任一微小部分所积蓄的热量（亦即温度升高（亦即温度升高所需的热量），等于所需的热量），等于传入该微小部分的热量传入该微小部分的热量加上加上内部热源所供给的热量内部热源所供给的热量。 热平衡原理热平衡原理（2 2） 温度升高积蓄的热量温度升高积蓄的热量zxyOzxydxdzdy取如图微元体取如图微元体 dxdydz ，设微元体，设微元体在在dtdt时间内，温度由时间内，温度由 T 升高到：升高到：dttTT由于温度升高，微元体积蓄的热量为：由于温度升高，微元体积蓄的热量为：dttTdxdydzc式中，式中，为材料的密度；为材料的密度； c 为材料为材料的比热容，即单

11、位质量的物体温度升高的比热容，即单位质量的物体温度升高 1 1所需的热量；所需的热量；zxyOzxydxdzdyxqdxxqqxx（3 3） 热流传入的热量热流传入的热量在在dt时间内，微元体时间内，微元体 dxdxydz 的左的左面传入的热量：面传入的热量：dydzdtqx在在dtdt时间内，微元体时间内，微元体 dxdxydz 的右的右面传出的热量：面传出的热量：dydzdtdxxqqxx在在dtdt时间内，微元体时间内，微元体 dxdxydz 净传入净传入的热量：的热量：dxdydzdtxqx由热流密度与温度梯度的关系，有由热流密度与温度梯度的关系，有,22dxdydzdtxTdxdyd

12、zdtxqx同理，可得微元同理，可得微元体从其它两个方向净体从其它两个方向净传入的热量：传入的热量：,22dxdydzdtyTdxdydzdtyqydxdydzdtzTdxdydzdtzqz22zxyOzxydxdzdyxqdxxqqxx在在dt时间内，微元体时间内，微元体 dxdxydz 净传入净传入的总热量：的总热量：dxdydzdtzTyTxT222222Tdxdydzdt2（4 4） 物体内热源产生的热量物体内热源产生的热量设热源强度为：设热源强度为：W（单位时间、单位体积内供给的热量），（单位时间、单位体积内供给的热量），热源供给微元体热源供给微元体 dxdxydz 热量：热量：则则

13、dt时间内，时间内，Wdxdydzdt热源：热源：（1 1）供热的热源）供热的热源 正热源正热源，如金属通电发热、混凝土硬化，如金属通电发热、混凝土硬化时发热、水份结冰时发热等；时发热、水份结冰时发热等；（2 2）吸热的热源）吸热的热源 负热源负热源；如水蒸发时吸热、冰粒溶解时；如水蒸发时吸热、冰粒溶解时吸热等。吸热等。Tdxdydzdt2Wdxdydzdt（5 5） 热传导微分方程热传导微分方程zxyOzxydxdzdyxqdxxqqxx由热平衡原理，可知由热平衡原理，可知dttTdxdydzc（温度升高积蓄的热量）（温度升高积蓄的热量）= = （热流传入的热量）（热源供给的热量）（热流传入

14、的热量）（热源供给的热量） 将上式两边同除以：将上式两边同除以：,dxdydzdtc并移项整理得：并移项整理得：cWTctT2（a a）或简写为：或简写为：cWTatT2（b b）其中：其中：ca （8-38-3）a 称为称为导温系数导温系数。单位：米单位：米2/时。时。 热传导微分方程。热传导微分方程。混凝土的导温系数混凝土的导温系数 a = 0.003 = 0.003 0.0050.005。cWTatT2（b b） 热传导微分方程。热传导微分方程。说明：说明： 式中系数：式中系数：cWTctT2（a a）ac,均可近似地当作常数，均可近似地当作常数，但热源强度但热源强度 W 一般不能一般不

15、能当作常量，而必须是当作常量，而必须是)(tWW （6 6） 混凝土硬化过程中的热传导微分方程混凝土硬化过程中的热传导微分方程混凝土硬化期间（硬化发热期）混凝土硬化期间（硬化发热期） 不稳定温度场（非定常温度场）不稳定温度场（非定常温度场）绝热温升（绝热温升（ ）：把混凝土试块放在把混凝土试块放在绝热的条件绝热的条件下，使混凝土硬化时发生的热量全部下，使混凝土硬化时发生的热量全部用于提高混凝土试块本身的温度，这时，量得用于提高混凝土试块本身的温度，这时，量得试块温度的升高值试块温度的升高值 。)(t绝热温升（绝热温升（ ）: :)(t)( C绝热温升率：绝热温升率：t 绝热温升绝热温升 关于时

16、间的变化关于时间的变化率率混凝土硬化发热期热传导方程的简化：混凝土硬化发热期热传导方程的简化：由于混凝土试块不大，且处于绝热由于混凝土试块不大，且处于绝热情况下，所以可近似认为试块内的情况下，所以可近似认为试块内的温度温度分布是均匀的分布是均匀的，即温度只随时间而变化，即温度只随时间而变化，而不随坐标而变化，即而不随坐标而变化，即T20222222zTyTxT此时，热传导微分方程成为：此时，热传导微分方程成为：cWtT（b b）cWTatT2（c c）而此时的而此时的 就是绝热温升率就是绝热温升率 。tTt 因此有因此有tcWtTatT2将其代回式（将其代回式（b b），有），有（8-48-4

17、） 混凝土硬化发热期热传导微分方程混凝土硬化发热期热传导微分方程cWtT（b b）cWTatT2（c c）而此时的而此时的 就是绝热温升率就是绝热温升率 。tTt 因此有因此有tcW8-3 8-3 温度场的边值条件温度场的边值条件cWTatT2热传导微分方程：热传导微分方程：cWTctT2或或由方程涉及的变量（由方程涉及的变量（t、x、y、z）初始条件初始条件1. 初始条件初始条件一般形式：一般形式：),(0zyxfTtt（8-58-5）若初始为均匀分布，则：若初始为均匀分布，则：CTtt0（8-68-6）其中：其中：C 为常数。为常数。2. 边界条件边界条件（1 1） 第一类边界条件第一类边

18、界条件已知物体表面上任一点在所有各瞬时的温度，即已知物体表面上任一点在所有各瞬时的温度，即),(tzyxfTs) ,(边界Szyx（8-78-7）可知，其定解条件：可知，其定解条件：、边界条件。、边界条件。式中：式中：TS 为物体表面的温度。为物体表面的温度。CTs在最简单的情况下有在最简单的情况下有（8-88-8）（C 为常数）为常数） 此类边界条件，需由人工来实现，如：将物体与周围介质进行特殊的此类边界条件，需由人工来实现，如：将物体与周围介质进行特殊的热交换过程。热交换过程。（2 2） 第二类边界条件第二类边界条件已知物体表面上任一点处已知物体表面上任一点处法向热流密度法向热流密度，即，

19、即),(tzyxfqSn),(边界Szyx其中：下标其中：下标 s 表示表面；下标表示表面；下标 n 表示法向。表示法向。由式（由式（8-18-1）：）：),(tzyxfqnTSnS),(边界Szyx（8-98-9）（1 1） 第一类边界条件第一类边界条件已知物体表面上任一点在所有各瞬时的温度，即已知物体表面上任一点在所有各瞬时的温度，即),(tzyxfTs),(边界Szyx（8-78-7）对绝热边界，有对绝热边界，有0SnT（8-108-10）（3 3） 第三类边界条件第三类边界条件已知物体表面上任一点处已知物体表面上任一点处运流（对流）放热情况运流（对流）放热情况。热量的热量的运流（对流）

20、定律：运流（对流）定律：单位时间内从物体表面单位时间内从物体表面传向周围介质的热流密度传向周围介质的热流密度与两者的与两者的温度差成正比温度差成正比)(eSSnTTq（8-118-11）式中：式中： Te 为周围介质的温度；为周围介质的温度； 为运流放热系数，简称为运流放热系数，简称放热系数放热系数；利用热流密度与温度梯度的关系，有利用热流密度与温度梯度的关系，有)(eSSTTnT或写成：或写成：)(eSSTTnT（8-128-12）考虑一种极限情况：考虑一种极限情况：周围介质的周围介质的热流速度热流速度很大，运流几乎是完全的，则很大，运流几乎是完全的，则物体表面被迫取物体表面被迫取周围介质的

21、温度周围介质的温度，此时可近似取：，此时可近似取：eSTT （8-138-13） 若式中，若式中，Te 是随时间是随时间 t 变化的函数，则式（变化的函数，则式（8-138-13）同第一类边界条件。）同第一类边界条件。若若Te 是不随时间是不随时间 t 变化，则式（变化，则式（8-138-13）同第一类边界条件（）同第一类边界条件（8-88-8）。）。（4 4） 第四类边界条件第四类边界条件已知物体和与之接触的另一物体以热传导方式进行热交换，且设两物已知物体和与之接触的另一物体以热传导方式进行热交换，且设两物体完全接触，即物体表面温度体完全接触，即物体表面温度 TS 与接触体表面温度与接触体表

22、面温度 Tc 相同，即相同，即cSTT （8-148-14） 类似于第一类边界条件类似于第一类边界条件)(eSSTTnT（8-128-12）3. 热传导方程的求解热传导方程的求解cWTatT2热传导微分方程：热传导微分方程：cWTctT2或或初始条件初始条件：),(0zyxfTtt（8-58-5）边界条件：边界条件：（1 1） 第一类边界条件：第一类边界条件：),(tzyxfTs（8-78-7）（2 2） 第二类边界条件：第二类边界条件：),(tzyxfqnTSnS),(边界Szyx（8-98-9）（3 3） 第三类边界条件：第三类边界条件：)(eSSTTnT（8-128-12）（4 4） 第

23、四类边界条件：第四类边界条件：cSTT （8-148-14）通常温度场问题的求解比较困难，尤其难以得到解析解。一般采用数通常温度场问题的求解比较困难，尤其难以得到解析解。一般采用数值求解，如：值求解，如：有限差分法有限差分法，有限单元法有限单元法等。等。cWTatT2热传导微分方程：热传导微分方程：cWTctT2),(0zyxfTtt（8-58-5）),(tzyxfTs) ,(边界Szyx（8-78-7）),(tzyxfqnTSnS),(边界Szyx（8-98-9）)(eSSTTnT（8-128-12）初始条件：初始条件：边界条件：边界条件：第一类：第一类：第二类：第二类：第三类：第三类：或：

24、或：温度应力问题：温度应力问题：二、温度应力场的确定二、温度应力场的确定一、温度场一、温度场 T 的确定的确定8-4 8-4 按位移求解温度应力的平面问题按位移求解温度应力的平面问题说明：说明：在以后的讨论中，在以后的讨论中，T 表示温度的改变，而不是某一点的温度。表示温度的改变，而不是某一点的温度。升温时，升温时， T 为正；降温时，为正；降温时， T 为负。为负。1. 热弹性问题的基本假定热弹性问题的基本假定（1 1）材料在材料在热学热学和和力学力学意义上都是弹性的、均匀的、各向同性的。即意义上都是弹性的、均匀的、各向同性的。即有材料常数均与位置、方向无关。有材料常数均与位置、方向无关。（

25、2 2）材料常数与温度变化无关，或取平均值；不考虑蠕变、松驰和相材料常数与温度变化无关，或取平均值；不考虑蠕变、松驰和相变等发生。变等发生。（3 3）不考虑温度变化速率所引起的惯性效应。不考虑温度变化速率所引起的惯性效应。（4 4）不计变形与温度变化之间的耦合效应。不计变形与温度变化之间的耦合效应。 称称非耦合的线性热弹性理论非耦合的线性热弹性理论，简称，简称“热弹性理论热弹性理论”。2. 热弹性问题的基本方程热弹性问题的基本方程（1 1）平衡微分方程、几何方程、相容方程、边界条件）平衡微分方程、几何方程、相容方程、边界条件同第二章给出的结果。同第二章给出的结果。2. 热弹性问题的基本方程热弹

26、性问题的基本方程（1 1）平衡微分方程、几何方程、相容方程、边界条件）平衡微分方程、几何方程、相容方程、边界条件00YyxXyxyxyyxx（2-2）yuxvyvxuxyyx 几何方程几何方程（2-9） 平衡微分方程平衡微分方程yxxyxyyx22222（2-22） 相容方程相容方程vvuuss（2-17）YlmXmlsxysysxysx)()()()(（2-18） 位移边界条件位移边界条件 应力边界条件应力边界条件（2 2）物理方程）物理方程dxdzdyTdxdxTdydyTdzdzT自自由由变变形形从物体内任取一微元体从物体内任取一微元体 dxdxydz ， 当温度升当温度升高高 T 度时

27、，各边的长度变形为度时，各边的长度变形为TdxdxTdydyTdzdz其中，其中， 为线膨胀系数。为线膨胀系数。 其热应变为其热应变为Tzyx0zxyzxy（a）可见，可见，自由热变形自由热变形引起体积变形引起体积变形。其体积应变：。其体积应变：Tezyx3当微元体的变形受到约束限制而不能自由发生，或同时受其它载荷作用时，当微元体的变形受到约束限制而不能自由发生，或同时受其它载荷作用时，微元体的总应变就由其它条件引起的应变与温度引起的应变之和，即微元体的总应变就由其它条件引起的应变与温度引起的应变之和，即TEzyxx)(1TExzyy)(1TEyxzz)(1yzyzG1xyxyG1zxzxG1

28、（8-15） 温度应力问温度应力问题题物理方程物理方程xyyztba（a）平面平面 应力情形应力情形图示等厚薄板，图示等厚薄板，在同时受到外力和在同时受到外力和变温变温 T 作用，作用， 设温度和外力均不随板厚设温度和外力均不随板厚z 方向变化，方向变化， 此时仍有此时仍有, 0z, 0yz0 xz将其代入式（将其代入式（8-15），有），有TEyxx)(1TExyy)(1xyxyE)1 (2（8-16）将其上式用形变分量表示，有将其上式用形变分量表示，有（b）1)(12TEEyxx1)(12TEExyyxyxyE)1 (2（c）（b）平面应变情形平面应变情形如无限长柱体，如无限长柱体， 在同

29、时受到外力和在同时受到外力和 变温变温 T 作用，作用，设温度和外力均不设温度和外力均不随板厚随板厚z 方向变化，即：方向变化，即：T =T（x，y）。）。此时仍构成一平面应变问题，有此时仍构成一平面应变问题，有, 0z, 0yz0 xz将其代入式（将其代入式（8-15），有），有TEyxx)1 ()1(12TExyy)1 ()1(12xyxyE)1 (2（h）比较平面应力情形式（比较平面应力情形式（8-16），有），有TEyxx)(1TExyy)(1xyxyE)1 (2（8-16）EE211)1 ( TEyxz)(（8-20）TEzyxx)(1TExzyy)(1TEyxzz)(1yzyzG1

30、xyxyG1zxzxG1（8-15） 温度应力问温度应力问题题物理方程物理方程 3. 按位移求解温度应力的基本方程按位移求解温度应力的基本方程几何方程：几何方程：,xux,yvyyuxvxy（d）将其代入式（将其代入式（c），有），有1)(12TEyvxuEx1)(12TExuyvEyyuxvExy)1 (2（8-17）将其代入平衡方程（设将其代入平衡方程（设X =Y =0），有），有0)1 (212122222xTyxvyuxu0)1 (212122222yTyxuxvyv（8-18）0)1 (212122222xTyxvyuxu0)1 (212122222yTyxuxvyv（8-18）讨论

31、：讨论：分别代替了体力分量：分别代替了体力分量：0)1 (212122222xTyxvyuxu0)1 (212122222yTyxuxvyv（8-18）021211021211222222222222YyxuxvyvEXyxvyuxuE（2-20）yTExTE1,1（1）将式（）将式（8-18）与式（）与式（2-20）比较：）比较：YX,（平衡微分方程比较平衡微分方程比较）（3）由以上比较，得到结论由以上比较，得到结论：在一定的位移边界条件下，弹性体中由于变温引起的位移，就等于在一定的位移边界条件下，弹性体中由于变温引起的位移，就等于温度不变而受有下列假想载荷作用时的位移：温度不变而受有下列假

32、想载荷作用时的位移：体力分量：体力分量：,1xTEXyTEY1（f）（4）温度应力的实验模拟：）温度应力的实验模拟：可由上述替换，通过加载荷的方法，代替加热。可由上述替换，通过加载荷的方法，代替加热。把一个热学与力学的把一个热学与力学的耦合问题，转变为一个单纯的力学问题。耦合问题，转变为一个单纯的力学问题。（5）对于既有温度应力，又有其它载荷引起的应力时，需将两者叠加即可。）对于既有温度应力，又有其它载荷引起的应力时，需将两者叠加即可。8-5 8-5 位移势函数的应用位移势函数的应用1. 按位移求解的基本方程按位移求解的基本方程0)1 (212122222xTyxvyuxu0)1 (21212

33、2222yTyxuxvyv（8-18）位移表示的平衡方程位移表示的平衡方程 2. 求解过程求解过程基本步骤：基本步骤：（1）求出微分方程（）求出微分方程（8-18）的任一组特解，这组解只要求满）的任一组特解，这组解只要求满足微分方程（足微分方程（8-18），而不必满足边界条件。），而不必满足边界条件。（2）不计变温）不计变温T，求出微分方程（，求出微分方程（8-18）的任一组补充解，）的任一组补充解，然后，将两组解叠加，使其满足全部边界条件。然后，将两组解叠加，使其满足全部边界条件。（1）求方程（）求方程（8-18）的一组特解）的一组特解引入一函数引入一函数),(yx使位移特解表示为使位移特解

34、表示为,xuyv（8-21）函数函数),(yx称为称为位移势函数位移势函数。 将将vu,代入方程代入方程 (8-18)0)1 (212122222xTyxvyuxu0)1 (212122222yTyxuxvyv（8-18）得到：得到：xTx)1 (2yTy)1 (2注意到，注意到，、 均为常数，均为常数， 若取函数若取函数 满足下列微分方程：满足下列微分方程：T)1 (2（8-22）则方程（则方程（8-18）能满足。）能满足。 表明式（表明式（8-21）能作为一组特解。）能作为一组特解。式（式（8-22）亦）亦可表示为：可表示为：2)1 (1T（8-22）1)(12TEyvxuEx1)(12T

35、ExuyvEyyuxvExy)1 (2（8-17）,xuyv（8-21）再将式（再将式（8-21）与式（）与式（8-22）代入式（）代入式（8-17），），可得到位移特解的应力分量为：可得到位移特解的应力分量为：221yEx221xEyyxExy21（2）不计变温）不计变温T，求方程（，求方程（8-18）的一组补充解）的一组补充解设补充解为：设补充解为：vu ,使其方程（使其方程（8-18）的齐次方程（不计变温）：）的齐次方程（不计变温）：0212122222 yxvyuxu0212122222 yxuxvyv总的位移分量：总的位移分量：,uuu vvv 它必须满足位移边界条件；它必须满足位移

36、边界条件； 总的应力分量：总的应力分量：,xxx ,yyy xyxyxy 它必须满足应力边界条件。它必须满足应力边界条件。说明：说明：（1）当温度变化函数）当温度变化函数 T 已知时，已知时，方程（方程（8-22）：）：T)1 (2（8-22）通常比较容易求解。通常比较容易求解。 但必须先求出温度变化场但必须先求出温度变化场T。（2）方程（）方程（8-18）的补充解）的补充解 不容易由下述方程直接求得不容易由下述方程直接求得vu ,0212122222 yxvyuxu0212122222 yxuxvyv而通常用而通常用应力函数解法应力函数解法来求解。来求解。（3）叠加特解和补充解，以满足问题的

37、全部边界条件）叠加特解和补充解，以满足问题的全部边界条件但对应于位移特解的应力分量仍可式（但对应于位移特解的应力分量仍可式（8-23）求得，即）求得，即221yEx221xEyyxExy21（8-23）应力分量应力分量 的计算也不变，即的计算也不变，即zTEyxz)(（8-20）（3）对于平面应变问题，）对于平面应变问题，三个材料常数三个材料常数须作相应的替换。须作相应的替换。位移势函数位移势函数 所满足的方程（所满足的方程（8-22）变为：）变为：T12（8-22）T1121)1 ( 例：例：图示矩形薄板，发生如下变温：图示矩形薄板，发生如下变温：)1 (220byTT其中：其中：T0 为常数。试求其应力分布。为常数。试求其应力分布。解：解：（1）由方程（）由方程（8-22）求位移势函数）求位移势函数 求特解求特解T)1 (2（8-22）22021)1 (byT（a）取位移势函数取位移势函数为为42ByAy （b）代入式（代入式（a），可确定常数），可确定常数A、B22021)1 (122byTByA两边比较系数，得常数两边比较系数，得常数A、B,2)1 (0TA,12)1 (20bTB将常数将常数A、B代回式（代回式（b）, 有有2420122)1 (byyT求特解应力分量：求特解应力分量：24