第四章 第18讲　解直角三角形及其应用

1、第18讲解直角三角形及其应用一、选择题1(2019·大庆)2cos 60°(A)A1 B. C. D.2(2019·孝感)如图 ,在RtABC中 ,C90° ,AB10 ,AC8 ,那么sin A等于(A)A. B. C. D.3(2019·贵阳)如图 ,A ,B ,C是小正方形的顶点 ,且每个小正方形的边长为1 ,那么tanBAC的值为(B)A. B1 C. D.4.(2019·金华)如图 ,两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上 ,量得ABC ,ADC ,那么竹竿AB与AD的长度之比为(B)A. B.C. D.5(2019·宜

2、昌)如图 ,要测量小河两岸相对的两点P ,A的距离 ,可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C ,测得PC100米 ,PCA35° ,那么小河宽PA等于(C)A100sin 35°米 B100sin 55°米C100tan 35°米 D100tan 55°米6(2019·长春)如图 ,某地修建高速公路 ,要从A地向B地修一条隧道(点A ,B在同一水平面上)为了测量A ,B两地之间的距离 ,一架直升飞机从A地出发 ,垂直上升800米到达C处 ,在C处观察B地的俯角为 ,那么A ,B两地之间的距离为(D)A800sin 米 B800tan

3、米C. 米 D. 米二、填空题7(2019·滨州)在ABC中 ,C90° ,假设tan A ,那么sin B.8(2019·广西)如图 ,从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30° ,从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45° ,甲楼的高AB是120 m ,那么乙楼的高CD是40m(结果保存根号)9(2019·潍坊)如图 ,一艘渔船正以60海里/时的速度向正东方向航行 ,在A处测得岛礁P在东北方向上 ,继续航行1.5小时后到达B处 ,此时测得岛礁P在北偏东30°方向 ,同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60

4、76;方向为了在台风到来之前用最短时间到达M处 ,渔船立刻加速以75海里/时的速度继续航行小时即可到达(结果保存根号)10(2019·宁波)如图 ,某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB ,飞机上的测量人员在C处测得A ,B两点的俯角分别为45°和30°.假设飞机离地面的高度CH为1 200米 ,且点H ,A ,B在同一水平直线上 ,那么这条江的宽度AB为1 200(1)米(结果保存根号)三、解答题11(2019·达州)在数学实践活动课上 ,老师带着同学们到附近的湿地公园测量园内雕塑的高度用测角仪在A处测得雕塑顶端点C的仰角为30° ,再往雕

5、塑方向前进4米至B处 ,测得雕塑顶端C的仰角为45°.问：该雕塑有多高？(测角仪高度忽略不计 ,结果不取近似值)解：如解图 ,过点C作CDAB ,交AB的延长线于点D.设CDx ,CBD45° ,BDC90° ,BDCDx.A30° ,ADABBD4x ,tan A ,即 ,解得x22.答：该雕塑的高度为(22)米12(2019·烟台)汽车超速行驶是交通平安的重大隐患 ,为了有效降低交通事故的发生 ,许多道路在事故易发路段设置了区间测速如图 ,学校附近有一条笔直的公路 ,其间设有区间测速 ,所有车辆限速40千米/时数学实践活动小组设计了如下活动

6、：在l上确定A ,B两点 ,并在AB路段进行区间测速在l外取一点P ,作PCl ,垂足为点C ,测得PC30米 ,APC71° ,BPC35°.上午9时测得一汽车从点A到点B用时6秒 ,请你用所学的数学知识说明该车是否超速(参考数据：sin 35°0.57 ,cos 35°0.82 ,tan 35°0.70 ,sin 71°0.95 ,cos 71°0.33 ,tan 71°2.90)解：在RtAPC中 ,APC71° ,PCl ,tanAPC2.90 ,AC87.0.在RtBPC中 ,BPC35

7、6; ,tanBPC0.70 ,BC21 ,ABACBC87.02166.该车通过AB段的速度为11(米/秒)40千米/时米/秒 ,11 ,该车没有超速13(2019·抚顺)如图 ,BC是路边坡角为30° ,长为10米的一道斜坡 ,在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯 ,射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角DAN和DBN分别是37°和60°(图中的点A ,B ,C ,D ,M ,N均在同一平面内 ,CMAN)(1)求灯杆CD的高度；(2)求AB的长度(结果精确到0.1米 ,参考数据：1.73 ,sin 37°0.60 ,cos 37&

8、#176;0.80 ,tan 37°0.75)解：(1)延长DC交AN于点H ,如解图所示DBH60° ,DHB90° ,BDH30°.CBH30° ,CBDBDC30° ,CDBC10(米)(2)在RtBCH中 ,CHBC5 ,BH58.65 ,DH15.在RtADH中 ,AH20 ,ABAHBH208.6511.4(米)14(2019·桂林)如下图 ,在某海域 ,一艘指挥船在C处收到渔船在B处发出的求救信号 ,经确定 ,遇险抛锚的渔船所在的B处位于C处的南偏西45°方向上 ,且BC60海里指挥船搜索发现 ,在C

9、处的南偏西60°方向上有一艘海监船A ,恰好位于B处的正西方向 ,于是命令海监船A前往搜救 ,海监船A的航行速度为30海里/时 ,问渔船在B处需要等待多长时间才能得到海监船A的救援？(结果精确到0.1小时 ,参考数据：1.41 ,1.73 ,2.45)解：点A在点B的正西方 ,延长AB交南北轴于点D ,那么ABCD于点D ,如解图所示BCD45° ,BDCD ,BDCD.在RtBDC中 ,cosBCD ,BC60 ,即cos 45° ,解得CD30 ,BDCD30 .在RtADC中 ,tanACD ,即tan 60° ,解得AD30 .ABADBD ,A

10、B303030()海监船A的航行速度为30海里/时 ,渔船在B处需要等待的时间为2.451.411.041.0(小时)渔船在B处需要等待约1.0小时1.(2019·淮安)为了计算湖中小岛上凉亭P到岸边公路l的距离 ,某数学兴趣小组在公路l上的点A处 ,测得凉亭P在北偏东60°的方向上从A处向正东方向行走200米 ,到达公路l上的点B处 ,再次测得凉亭P在北偏东45°的方向上 ,如下图 ,求凉亭P到公路l的距离(结果保存整数 ,参考数据：1.414 ,1.732)解：作PDAB于点D ,如解图所示设BDx ,那么ADx200.EAP60° ,PAB90&#

11、176;60°30°.在RtBPD中 ,FBP45° ,PBDBPD45° ,PDDBx.在RtAPD中 ,PAB30° ,PDtan 30°·AD ,即DBPDtan 30°·ADx(200x) ,解得x100(1) ,CD100(1)273(米)答：凉亭P到公路l的距离约为273米2(2019·内江)如图是某路灯在铅垂面内的示意图 ,灯柱AC的高为11米 ,灯杆AB与灯柱AC的夹角A120° ,路灯采用锥形灯罩 ,在地面上的照射区域DE长为18米 ,从D ,E两处测得路灯B的仰角分

12、别为和 ,且tan 6 ,tan ,求灯杆AB的长度解：过点B作BFCE ,交CE于点F ,过点A作AGBF ,交BF于点G ,如解图所示 ,那么FGAC11.由题意 ,得BDE ,tan.设BF3x ,那么EF4x.在RtBDF中 ,tanBDF ,DFx.DE18 ,x4x18 ,x4 ,BF12 ,BGBFGF12111.BAC120° ,BAGBACCAG120°90°30°.AB2BG2.答：灯杆AB的长度为2米3如图 ,某校八年级(1)班学生利用寒假期间到郊区进行社会实践活动 ,活动之余 ,同学们准备攀登附近的一个小山坡 ,从B点出发 ,沿坡

13、脚15°的坡面以5千米/时的速度行至D点 ,用了10分钟 ,然后沿坡比为1的坡面以3千米/时的速度到达山顶A点 ,用了5分钟 ,求小山坡的高(即AC的长度)(精确到0.01千米 ,参考数据：sin 15°0.258 8 ,cos 15°0.965 9 ,1.732)解：过点D作DFBC于点F ,DEAC于点E ,如解图所示沿坡比为1的坡面以3千米/时的速度到达山顶A点 , ,ADE30°.BD×10 ,AD×5 ,ACAEECAEDFAD·sin 30°BD·sin 15°××

14、;0.258 80.34(千米)答：小山坡的高约为0.34千米4图1是安装在倾斜屋顶上的热水器 ,图2是安装热水器的侧面示意图屋面AE的倾斜角EAD为22° ,长为2米的真空管AB与水平线AD的夹角为37° ,安装热水器的铁架竖直管CE的长度为0.5米(1)求真空管上端B到水平线AD的距离(2)求安装热水器的铁架水平横管BC的长度(结果精确到0.1米 ,参考数据：sin 37° ,cos 37° ,tan 37° ,sin 22° ,cos 22° ,tan 22°)图1 图2解：(1)过点B作BFAD于点F ,如解图所示在RtABF中 ,sinBAF ,BFAB·sinBAF2sin 37°1.2(米)