3 32　数学归纳法的应用

1、3.2数学归纳法的应用1会利用数学归纳法证明一些简单的不等式及综合问题2了解贝努利不等式及其应用的条件，会用数学归纳法证明贝努利不等式(难点)基础初探教材整理贝努利不等式定理阅读教材P38P39“练习”以上部分，完成下列问题定理对任何实数x1和任何正整数n，有(1x)n1nx.在贝努利不等式中当x0时，n为大于1的自然数，不等式形式将有何变化？【解】当x0时，不等式将变成等式，即(1x)n1nx. 质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： 小组合作型贝努利不等式的简单应用设ba0，nN，证明：(ba)1.【精彩点拨】由

2、ba0，令1x(x0)，利用贝努利不等式证明【自主解答】由ba0，知1，令1x(x0)，则x1，由贝努利不等式(1x)n1nx，(1x)n1nx1n，故(ba)1.利用1x代换，为利用贝努利不等式创造条件.再练一题1试证明1与(nN)【证明】由nN，n12.由贝努利不等式，得(1)11.(2)由(1)得1，故.用数学归纳法证明不等式试证明：2n2n2(nN)【精彩点拨】【自主解答】(1)当n1时，左边2124，右边1，左边右边；当n2时，左边2226，右边224，所以左边右边；当n3时，左边23210，右边329，所以左边右边因此当n1,2,3时，不等式成立(2)假设当nk(k3且kN)时，不

3、等式成立当nk1时，2k1222k22(2k2)22k22k22k1k22k3(k22k1)(k1)(k3)(因k3，则k30，k10)k22k1(k1)2.所以2k12(k1)2.故当nk1时，原不等式也成立根据(1)(2)知，原不等式对于任何nN都成立通过本例可知，在证明nk1时命题成立的过程中，针对目标k22k1，采用缩小的手段，但是由于k的取值范围(k1)太大，不便于缩小，因此，用增加奠基步骤(把验证n1扩大到验证n1，2，3)的方法，使假设中k的取值范围适当缩小到k3，促使放缩成功，达到目标.再练一题2已知Sn1(n1，nN)，求证：S2n1(n2，nN). 【导学号：9491003

4、9】【证明】(1)当n2时，S2211，即n2时命题成立(2)假设nk时命题成立，即S2k11.当nk1时，S2k11111.故当nk1时，命题也成立由(1)(2)知，对nN，n2，S2n1都成立.探究性问题设f(n)1，由f(1)1，f(3)1，f(7)，f(15)2，.(1)你能得到怎样的结论？并证明；(2)是否存在一个正数T，使对任意的正整数n，恒有f(n).下面用数学归纳法证明：当n1时，f(211)f(1)1，不等式成立假设当nk(k1，kN)时不等式成立，即f(2k1)，则f(2k11)f(2k1)f(2k1)f(2k1).当nk1时不等式也成立据知，对任何nN原不等式均成立(2)

5、对任意给定的正数T，设它的整数部分为T，记mT1，则mT.由(1)知，f(22m1)m，f(22m1)T，这说明，对任意给定的正数T，总能找到正整数n(如可取假设中n为2m)，使得f(n)T，不存在正数T，使得对任意的正整数n，总有f(n)对一切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并证明你的结论【解】当n1时，则，a.(1)n1时，已证(2)假设当nk时，.当nk1时，.，0，也成立由(1)，(2)可知，对一切nN，都有，a的最大值为25.构建体系1用数学归纳法证明2nn2(n5，nN)成立时第二步归纳假设的正确写法是()A假设nk时命题成立B假设nk(kN)时命题成立C假设nk(k5)时命题成立D假设nk(k5)时命题成立【解析】由题意知n5，nN，应假设nk(k5)时命题成立【答案】C2利用数学归纳法证明不等式1f(n)(n2，nN)的过程，由nk到nk1时，左边增加了()A1项Bk项C2k1项D2k项【解析】1.共增加2k项【答案】D3用数学归纳法证不等式1成立，起始值至少取()A7B8C9D10【解析】左边等比数列求和Sn2，即1，.n7，n取8，选B.【答案】B4用数学归纳法证明11)时，第一步即证明不等式_成立. 【导学号：94910040】【解析】因为n1，所以第一步n2，即证明12成立【答案】125证明：12(nN)【证明】(1)当n1时，不等式成立(2)