4 41　导数的加法与减法法则42　导数的乘法与除法法则

1、§4导数的四则运算法则4.1导数的加法与减法法则4.2导数的乘法与除法法则1.理解导数的四则运算法则.(重点)2.能利用导数的四则运算法则求导.(重点、难点)基础·初探教材整理1导数的加法与减法法则阅读教材P42部分内容，完成下列问题.两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的和(差)，即f(x)g(x)f(x)g(x)，f(x)g(x)f(x)g(x).教材整理2导数的乘法与除法法则阅读教材P44“练习”以下至P45“例3”以上部分，完成下列问题.一般地，若两个函数f(x)和g(x)的导数分别是f(x)和g(x)，则f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)，(g(

2、x)0).特别地，当g(x)k时，有kf(x)kf(x).若f(x)，则f(x)_.【解析】f(x).【答案】质疑·手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：小组合作型导数的四则运算(1)函数y(2x23)(3x2)的导数是_；(2)函数y2xcos x3xln x的导数是_；(3)函数y的导数是_.【精彩点拨】仔细观察和分析各函数的结构特征，紧扣求导运算法则，联系基本初等函数求导公式，必要时可进行适当的恒等变形后求导.【自主解答】(1)法一：y(2x23)(3x2)(2x23)·(3x2)4x(3x2)(2x23

3、)·318x28x9.法二：y(2x23)(3x2)6x34x29x6，y18x28x9.(2)y(2xcos x3xln x)(2x)cos x2x(cos x)3xln xx(ln x)2xln 2cos x2xsin x3·2xln 2cos x2xsin x3ln x3.(3)y.【答案】(1)y18x28x9(2)y2x ln2 cos x2x sin x3 ln x3(3)y1.先区分函数的结构特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的四则运算法则求导数.2.对于较复杂的函数式，应先进行适当的化简变形，化为较简单的函数式后再求导，可简化求导过程.再练一题1.求下

4、列各函数的导数.(1)y(1)；(2)yxsin cos ；(3)y.【解】(1)化简得y·1xx，yxx.(2)yxsin cos xsin x，yx(sin x)1cos x.(3)y.利用导数求曲线的切线方程求过点(1，1)与曲线f(x)x32x相切的直线方程. 【导学号：94210044】【精彩点拨】点(1，1)不一定是切点，故设出切点坐标(x0，y0)，求出f(x0).写出切线方程，利用点(1，1)在切线上求x0，从而求出切线方程.【自主解答】设P(x0，y0)为切点，则切线斜率为kf(x)3x2，故切线方程为yy0(3x2)(xx0).(x0，y0)在曲线上，y0x2x0

5、.又(1，1)在切线上，将式和(1，1)代入式得1(x2x0)(3x2)(1x0).解得x01或x0.k1或k.故所求的切线方程为y1x1或y1(x1)，即xy20或5x4y10.1.求曲线的切线方程一定要分清是求曲线在点P处的切线方程，还是求过点P与曲线相切的直线方程.2.本题中点(1，1)虽然在曲线上，但经过该点的切线不一定只有一条，即该点可能是切点，也可能是切线与曲线的交点.再练一题2.求曲线y在点(1，1)处的切线方程.【解】y，当x1时，y0，即曲线在点(1，1)处的切线斜率k0.因此，曲线y在点(1，1)处的切线方程为y1.探究共研型导数运算法则的综合应用探究1二次函数yf(x)的

6、图像过原点，且它的导函数yf(x)的图像是过第一、二、三象限的一条直线，则函数yf(x)的图像的顶点在第几象限？【提示】设f(x)ax2bx(a0)，f(x)2axb，yf(x)2axb的图像是一条过第一、二、三象限的直线，即a>0，b>0，<0，<0，f(x)的图像的顶点在第三象限.探究2若函数f(x)ax4bx2c满足f(1)2，试求f(1)的值.【提示】由f(x)ax4bx2c得f(x)4ax32bx，又f(1)2，所以4a2b2，即2ab1，f(1)4a2b2(2ab)2.已知函数f(x)的图像在点M(1，f(1)处的切线方程为x2y50，求函数yf(x)的解析

7、式.【精彩点拨】利用点M为切点是切线与曲线的公共点，以及切线的斜率为f(1)联立方程组，可求出a，b的值.【自主解答】由函数f(x)的图像在点M(1，f(1)处的切线方程为x2y50，知12f(1)50，即f(1)2，由切点为M点得f(1).f(x)，即解得a2，b3或a6，b1(由b10，故b1舍去).所以所求的函数解析式为f(x).解决与切线有关的问题时，要充分运用切点的坐标.特别是切点的横坐标，因为切点的横坐标与导数有着直接的联系.再练一题3.图2­4­1中有一个是函数f(x)x3ax2(a21)x1(aR，且a0)的导函数的图像，则f(1)()图2­4&#

8、173;1A.B.C.D.或【解析】f(x)x22axa21，由题图与知，它们的对称轴都为y轴，此时a0，与题设不符合，故题图是f(x)的导函数的图像.由题图知f(0)0，a<0，所以a1，此时f(x)x3x21，所以f(1).【答案】B构建·体系1.函数f(x)(x21)x3的导数为()A.f(x)5x43x2B.f(x)6x53x2C.f(x)5x33x2D.f(x)6x5x3【解析】f(x)x5x3，f(x)5x43x2.【答案】A2.函数yx2cos 2x的导数为()A.y2xcos 2xx2sin 2xB.y2xcos 2x2x2sin 2xC.yx2cos 2x2xsin 2xD.y2xcos 2x2x2sin 2x【解析】y(x2)cos 2xx2(cos 2x)2xcos 2xx2(sin 2x)·(2x)2xcos 2x2x2sin 2x.【答案】B3.若曲线yx1(R)在点(1，2)处的切线经过坐标原点，则_.【解析】因为y·x1，所以在点(1，2)处的切线斜率k，则切线方程为y2(x1).又切线过原点，故02(01)，解得2.【答案】24.已知函数f(x)fsin xcos x，则f_. 【导学号：94210045】【解析】f(x)fcos xsin x，ffcos sin 1，f(