BinomialtreesBSMmodel

1、FRM考试中关于期权定价的两个模型二叉树模型和B-S-M模型是期权定价的主流模型，以下内容基本包含了FRM考试对这两个模型的要求，如果想更全面和深入的学习BSM模型，可以参考handbook或约翰-赫尔期权、期货和其它衍生产品（华夏出版社）一书，并配合微观金融学及其数学基础（清华大学出版社）。一、二叉树模型需要掌握的是1期和2期二叉树计算。使用二叉树模型为期权定价是一种相对“原始”的方法，通常有两种定价思路：一是通过对冲比率（RH）来计算期权价格；二是使用风险中性定价方法，我们应该重点掌握后者。1.使用HR计算call的价格（Replicating & arbitrage思路）关键在于

2、构造一个与某期权具有相同Payoff的“虚拟的”投资组合，且该投资组合应该由某期权的标的物以及其他无风险资产（long or short）构成。由于二者具有相同的Payoff，所以，根据无套利均衡的思想，他们的价格应该相等，因此对某期权的定价就转变为对该“虚拟的”投资组合的定价。假设我们构建的投资组合中包含n个单位的股票以及价值为B的无风险资产，那么我们就可以得到一个方程组：，从而得到n和B。再使用以下两个公式可以计算得到某期权的价格： 2.使用Risk-neutral方法为欧式期权定价请熟记以下公式，解题时必须用到它们，以1期二叉树模型为例：,对于2期二叉树模型，计算的思路和公式是一样的，只

3、不过过程相对复杂一些。NOTEs上的几个具体的数值案例可以用来练习，熟练计算过程。对于PUTs，可以使用以下公式：或者先计算Call，再使用Put-Call平价公式得到Put。3.考虑股票红利, （ 仅仅只有这么一点点变化而已！）4.使用风险中性方法为美式期权定价（这类题目计算量相对较大）美式期权可以在到期日前任意时刻执行，所以，我们在使用二叉树模型时，要计算每一个时间点期权的价值，并选择其中较大的作为执行时的价值，然后对其进行折现，即可得到该美式期权的价格。5.N期二叉树模型二叉树模型当然可以是多期的，甚至可以让N趋近无穷。我们可以使用诸如Matlab之类的数学计算软件来进行此类计算，其过程

4、与蒙特卡罗模拟十分相似，通过大量的计算，我们可以得到N的平方条模拟路径，并使用风险中性定价公式计算得到期权的价格。实际上这一做法也正是BSM模型的基础。二、B-S-M模型1.模型假设（1）标的资产的价格连续变动；（2）利率已知且保持不变；（3）标的资产收益的方差保持不变；（4）完美的资本市场（5）模型中的标的资产的价格遵循几何布朗运动（geometric Brownian motion），因此，标的资产的价格服从对数正态分布：具体的表达式为：需要说明的是，B-S-M模型是在Risk-neutral分析框架下推导出的模型，这一特征一定记住。2.模型主体首先介绍B-S模型，即该模型的最初状态。B-

5、S模型是布莱克和斯科尔斯两位经济学家开发出的期权定价模型，解决欧式看涨期权（且该期权的标的股票不分红）的定价问题。公式如下：或者，我们也可以只记住（1）式，而是用期权平价公式计算Put的价格。要求能够是用题目中给出的变量值，计算所需结果。特别需要记住这一个知识点：（1）B-S公式中的就是期权被执行的风险中性概率。（2）当股价远远高于执行价格，这时option变得deep in-the-money，option就几乎等价于一份具有相同执行价格的forward接下来我们要看到的是B-S模型的几个扩展模型（1）股票红利B-S-M模型如果我们所要计算的期权的标的股票存在红利支付，那么就要对之前的公式做

6、出一定的调整。这个问题是由莫顿完成的，因此，扩展后的公式叫做B-S-M模型。假设条件不变，公式略有变化：其中的q是股票红利（率），注意，B-S-M模型与B-S模型的区别。如果题目中假设股票存在红利支付，那么就应该使用B-S-M模型。（2）外币的利率（foreign rate of interest）Garman-Kohlhagen 模型如果我们将q变为r*，r*代表的是外币的利率（foreign rate of interest），那么，这时的模型就叫做Garman-Kohlhagen model。（3）期货期权（option on the future）Black model当我们要为期货期

7、权（option on the future）定价时，我们所使用的模型叫做Black model。该模型中，q变成了r（无风险利率），相应的公式变成了：（4）资产交换期权(exchange option)Margrabe模型资产交换期权(exchange option)持有者有权利按照期权合约，用资产B交换资产A。在这里，B-S-M模型中的执行价格K变成了资产B的价格，无风险利率r变成了资产B的收益率，而股票的波动率则变成了资产A和资产B的协方差。下一个问题是implied volatility（ISD）如果我们将期权的市场价格、执行价格、持有期、利率、红利、标的物价格当做已知变量输入到B-S

8、-M模型中，就可以计算得到股票的波动率，这样计算出来的波动率就叫做 implied volatility。但是，使用这样的方法计算得到的波动率往往与真实的波动率有差别。将计算结果与市场上真实的历史数据比较会出现以下两种现象：volatility smileISDs increase for a low and high values of K，外汇期权市场是该现象的代表。volatility skew对于股票指数期权，the effect is more asymmetrical, with very high ISDs for low strike prices。volatility skew的图形如下：对于这幅图，大家又要相应的记住两个概念，即“粘性执行价格”以及“粘性货币”，记住它们的曲线形态！因此，当说到volatility smile和volatility skew时，大家应该知道这是使用B-S-M模型反算出的implied volatility与真是市场波动率不一致的现象，相应的知道它们分别对应外汇期权市场以及股票指数期权市场。此外，还有一个相关的概念叫做the term structure of volatility，随着持有期的不同，计算得到的ISDs也会与真实波动率发生偏