虚功原理(微分形式的变分原理)讲解

1、§ 7-3虚功原理（微分形式的变分原理）、虚功原理受有理想约束.定常约束的力学系统，保持静平 衡的必要充分I条件是作用于该系统的全部主动力的 虚功之和为零.£ 补"=0/=1在直角坐标系中，上式写成n艺（F.v8x. + FvSy. + R 5z.） = 0<-1§ 7-3虚功原理（微分形式的变分原理）必要条件的证明：当力学系统相对惯性系处于静平衡时,E +丘=02 12山（F + F出）-8r = 0i = 1.2,7?£F.8r=0/«1IIII对理想约束00n§ 7-3虚功原理（微分形式的变分原理）充分条件的证明

2、：“若系统的主动力虚功之和为零，Z斤旺=0对于受有理想约束的系统工人旺+ x心北=0 Ml/-I力学系统的约束是定常的，各质点的无限小实位移 必与其中一组虚位移重合，故系统的主动力和约束 力的实功之和也满足上式Z F昕+工礼W = °/«141根据质点系的动能定理= f斤.心+Y丘折=0<=1 “1T =常量说明系统开始时静止， 以后就会始终保持静止§ 7-3虚功原理（微分形式的变分原理）§ 7-3虚功原理（微分形式的变分原理）§ 7-3虚功原理（微分形式的变分原理）几点说明：普适性.在变动中寻找平衡的条件例如单摆0 工 0时，mg -6

3、r 0（力& = 0时，mg = 0.0 = 0的位置为单摆的平衡位置（3）与牛顿力学不同，分析力学的方法不是将注意力 放在区分内力和外力上，而是放在区分主动力和约 束力上.如图所示提升重物的装置， 以把手端点的弧坐标s为广义坐标, 设重物距地面高度为九根据虚功原理 Fds-Wdh = 0F = W8h/8s如果知道力和$的函数关系9通过上式，就可求出F虚功原理中所说的主动力所做虚功之和为零，是 对任意的虚位移而言的,而不是针对特殊的虚位移 由于虚功原理的方程中不出现约束力，因此不能由 虚功原理求出约束力，但是，通过释放约束或用不 定乘子法，可以求出约束力§ 7-3虚功原理（

4、微分形式的变分原理）广义平衡方程据虚功原理，有乞尺旺"1=1n或，工（化皿+耳.6儿+你牝）=0r = l为了得到广义平衡方程，需要将虚功原理化为以 广义坐标表述的形式.SZQaZa = °a = 1展开后写成0&们+。2切2 + Qa、= °在完整系中，若网|工0§仏相互独立§ 7-3虚功原理（微分形式的变分原理）同理.若H 0 5血相互独立.，§仏=0 Q'Bq、=（） Q2 = 0推出，Qa =° a = 1,2，"广义平衡方程 虚功原理又可叙述为：对于受完整的、定常的. 理想约束的力学系统，

5、保持静平衡的必要充分条 件是所有的广义力都为零.对于主动力均为有势力的有势系，有 Qa=- dV所以，广义平衡方程成为=° « = 1,2,35 dV代入虚功原理中，有运亦创§ 7-3虚功原理（微分形式的变分原理）三、虚功原理的应用例題3如图所示今匀质杆04：质量为加19长为厶,能在 竖直平面内绕固定的光滑较链O转动，此杆的力端 用光滑钱链与另一扌艮质量为加2,长为<2的匀质杆A" 相连在端有一水平作用力求处孑静平衡时，两 杆与铅垂线的夹角01和q>2K判断约束类型是否完整约束?是否理想约束P2、判断自由度A. B两点的位置，4个变量OA =

6、 12S = 4-2 = 2=0 §2 = 02 V质量为加的小环P破限制在一个 半径为/?的光滑大圆环上，大圆 环绕过大环中心的铅垂轴以血 的角速度均勾转动，以小环为系 统，试确定其自由度.质点在球坐标系中用r加描述r = ROcp = coy、 非定常约束= 13. 分析受力（主动力）加加2耳，F7X§ 7-3虚功原理（微分形式的变分原理）4. 由虚功原理旺+加2耳旺5. 建立坐标系（必须是静止坐标系）加辭” +叫g“2 + F込=°6、转化成广义坐标” =cos(P2人儿=人 COS(P + cos (p22x3 = /( sin (p、+ 厶 sin (p

7、5) 2I= / COS(P0P + l2 COS q)、“p、! = - sin(p、b(P2 /,8y. = -Z. sin(p&(p、sin(p(p1)F cos q)m j g sin <p、一 m、g sin 卩/Q©2)z+ F cos广义力1 、 %叫 g sin2 一丿广义力由于§0和§卩2互相独立1F cos (p、m品 sin m ,g sin = 021F cos cp、m , g sin 卩，=0广义平衡方程§ 7-3虚功原理（微分形式的变分原理）可求出系统处于静平衡时°, %所满足的方程:2Ftan q)

8、 (2加2 +加Jg2Ftail (p、所以叫g2Fq>、= arc tan (2叫 + m i)8 2F(p= = arc tan 叫g§ 7-3虚功原理（微分形式的变分原理） 法二先求出广义力9再写出平衡方程5=厶所以有2个广义力Y件十"1，2-I 叽叫g3 = F_0斤0=二0人Q = Eg + 加20 匸亠 + F - Op两c(p巧1“2 厂 dX3y2 = A cos cp、+ cos q>2= / sin (p、+ 匚 sin q>,=一+ 叫&一+F一m( gl, sill 甲、一 m 2 gl sin (p、+ Fl、cos 卩=

9、0§ 7-3虚功原理（微分形式的变分原理）儿=ycosi2y2 = A cos © +2COS (p2sin (px + 11 sin <p2八 仁旺 二旺 -dry。2 =4 叫g+ F*2d(f>idy.dy2厂 dx.=加“ 了十加2g匸亠+ F °径d(p2 d(p21二m 2gl、sin 俨2 + Fl2 cos q)2虚功原理主要用于求解：系统的静平衡位置；维持系统平衡时作用于系统上的主动力之间的 关系.应用虚功原理解题的主要步骤是(1)明确系统的约束类型，看是否满足虚功原理所要求 的条件；正确判断系统的自由度，选择合适的广义坐标；(3)分

10、析并图示系统受到的主动力；S通过坐标变换方程，将虚功原理化成z QM = 0<z-l的形式，进而得出广义平衡方程么=04 = 1,2,.,$.对有势系，求出系统的势能U后，可通过抄/购。=0 a = 1,2,- -,5得广义平衡方程；求解广义平衡方程.§ 7-3虚功原理(微分形式的变分原理)可解出约束力：q、= “工=儿” =©4 = © 主动力为 叫,叫E，F,Fn 代入虚功原理，得Fn 张+ Fv Sy + 叫 £§儿 += 0§ 7-3虚功原理(微分形式的变分原理)2.不定乘子法(拉格朗日乘数法)先设系统由1个质点组成，受

11、1个完整约束/(x,y,z)=0 用3个直角坐标作为描述系统位置的变量于是当系统 平衡时，应满足虚功原理F 5x+ F 8v + F.8z = 0xy 丿 <但式中 心,不是相互独立的 .它们满足由约束方程 得出的岂仏+聖乞氐=0dx dy dz乘待定常数(不定乘子)2 ,与前式相加，得dfdfdf(F + 2 )8x+ (F + 2 )8y + (F, + 2 )8z = 0dx> 5y： 3z§ 7-3虚功原理(微分形式的变分原理)对对对(F + 2 )8x4- (F 4- 2 )6v + (F, + 2 )8z = 0dxy ayz dz依然不独立假定"不

12、独立，则独立.适当选取2值使&的系数为0,即 仁+几% = 0CZT 則主动力F已知，与约束方程/(x, z) = 0 联立求解，可求出平衡位置(x,y,z)和待 定常数2, A#为不定乘子，又称拉格朗 日乘子.这种方法称为不定乘子法.|不定乘子几是一个与约束力有关的量.=0§ 7-3虚功原理（微分形式的变分原理）将约束都释放，并将约束力视为主动力，虚功原理成为（F、+ F 皿）2 + （化 + Fjy + （匚 + FRz ）5z = 0£ + 仏=0 dfFr、dx, 相互独立.即可知设想质点被约束在一个光滑曲面上，其约束力为Qr = Fr + FrJ + Fr

13、.2 = 2Z + A j Akdxdydz即 Fr =说明约束力沿曲面的法线方向,2是约束力尺与 f的比例系数一般性讨论设一力学系统由川个质点组成，受到k个完整约束的限制©，儿，zj = 0“ = 1,2,、k§ 7-3虚功原理（微分形式的变分原理）A（则个坐标中有£个是不独立的系统平衡时，应满足 虚功原理 “ Z工（化* +行3儿+心込）=。式中的3”个6兀"”，6乙不是相互独立的，x 叽x 叽xox. +oy. +ozdxt 1 dyt 1 dzt '=0“ = 2, 9 k它们满足A个由完整约束给出的方程:1=1§ 7-3虚功原

14、理（微分形式的变分原理）If va 些II0(* df"rr* d/Z几+工七于 isi I “=i ox i' II 50i = 1,2,氛与£个约束方程联立求解，&个乙与平衡位置坐标便可 同时求出心称为不定乘子，又称拉格朗日乘子.这 种方法称为不定乘子法.将R个完整约束都释放,并将约束力都视为主动力， 虚功原理成为8xf +Z （仏+ F巫肚+（F" + F畸）8儿+（化+ F险）比=oRr§ 7-3虚功原理（微分形式的变分原理）3n个坐标变分变成完全独立的了，所以F,十 Fr、= 0 F“. + F 呛.=0I几+仏=0? + h

15、+ h+a严“1=0dx.df与仏+工几“严=0比较“f 弘=ET OX.F v ；叽Frn = Z 5dfF f V z 0 広厶 “ d7F -y2 汇/4 = l不定乘子心与约束力有密切关系.§ 7-3虚功原理（微分形式的变分原理）PQA例题5 质量为血的质点P被限制在光滑球面上运动. 已知球面的半径为°,求质点的平衡位置和约束力.解系统:质点建立原点在球心上的直角坐标系Oxyz.点的约束方程为f（x,y,z） = x2 + y2 + z2 - cC = 0s=2，但解题时仍以质点、的3个坐标X, y, z作为确定质点、 位置的变量它们的变分不独立，满足以下关系：2xdx + 2 vdy + 2zdz = 0质点所受的主动力是重力mg根据虚功原理， 6r = 0即一 mg 8z = 0§ 7-3虚功原理（微分形式的变分原理）一哗氐=02x8 + 2 y8y + 2 zSz = 0（mg