同济第六版《高等数学》教(学)案版第02章导数与微分

1、学习参考,会求平面曲线的切线方程,理解函数的可导性与连续性,熟练掌握基本初等函数的导 会求函数的微分。,会求反函数的导数。第二章导数与微分教学目的：1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量之间的的关系。2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，3、了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n阶导数。4、会求分段函数的导数。5、会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数教学重点：1、导数和微分的概念与微分的关系；2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则；3、基本初等

2、函数的导数公式；4、高阶导数；6、隐函数和由参数方程确定的函数的导数。教学难点：1、复合函数的求导法则2、分段函数的导数；3、反函数的导数4、隐函数和由参数方程确定的导数§2.1导数概念一、引例1 .直线运动的速度设一质点在坐标轴上作非匀速运动时刻t质点的坐标为ss是t的函数sf(t)求动点在时刻to的速度考虑比值s-f(t)f(to)ttotto这个比值可认为是动点在时间间隔tto内的平均速度如果时间间隔选较短这个比值在实践中也可用来说明动点在时刻to的速度但这样做是不精确的更确地应当这样令tto0取比值ftfj的极限如果这个极限存在设为v即ttolimt tof(t)f(to)t

3、 to这时就把这个极限值v称为动点在时刻to的速度2 .切线问题设有曲线C及C上的一点M在点M外另取C上一点N作割线MN当点N沿曲线C趋于点M时 如果割线MN绕点M旋转而趋于极限位置 MT直线MT就称为曲线C有点M处的切线设曲线C就是函数y f(x)的图形 现在要确定曲线在点M(xo,yo)(yof(xo)处的切线只要定出切线的斜率就行了为此 在点M外另取C上一点N(x, y)于是割线MN的斜率为其中tany yof(x) f(Xo)X Xo X Xo为割线MN的倾角 当点N沿曲线C趋于点M时X Xo如果当Xo时上式的极限存在设为k即limf(X)f(Xo)XX()XXo存在则此极限k是割线斜

4、率的极限也就是切线的斜率这里k tan其中是切线MT的倾角于是 通过点M(xo, f(Xo)且以k为斜率的直线MT便是曲线C在点M处的切线导数的定义1函数在一点处的导数与导函数从上面所讨论的两个问题看出非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限limflXf)x%xxo令xxxo则yf(xox)f(xo)f(x)f(xo)xxo相当于xo于是f(x)f(xo)lim20AX%xXo成为.yf(Xox)f(Xo)lim口或lim0-XoXXoX定义设函数yf(x)在点xo的某个邻域内有定义当自变量x在xo处取得增量x(点xox仍在该邻域内)时相应地函数y取得增量yf(xox)f(xo)如

5、果y与x之比当xo时的极限存在则称函数yf(x)在点xo处可导并称这个极限为函数yf(x)在点xo处的导数记为y|x为即f(Xox) f (X0)f(%)limlimxoxxo也可记为y|xxodydxxx0或桨函数f(x)在点X0处可导有时也说成f(x)在点xo具有导数或导数存在导数的定义式也可取不同的形式常见的有f(xo)limhof(xoh)f(xo)在实际中的变化率问题导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述f(x)f(xo)f(xo)limxxoxxo需要讨论各种具有不同意义的变量的变化快慢”问题在数学上就是所谓函数如果极限lm0fxxx_f_(xol不存在就说函数yf(x)在点xo

6、处不可导如果不可导的原因是由于lxmof(xox)f(xo)也往往说函数yf(x)在点xo处的导数为无穷大如果函数yf(x)在开区间I内的每点处都可导就称函数f(x而开区间I内可导这时对于任一xI都对应着f(x)的一个确定的导数值这样就构成了一个新的函数这个函数叫做原来函数yf(x)的导函数记作yf(x)袋或限导函数的定义式.f(xx)f(x).f(xh)f(x)ylim-lim-x0xh0hf(xo)与f(x)之间的关系函数f(x)在点xo处的导数f(x)就是导函数f(x)在点xxo处的函数值即f(xo)f(x)xxo导函数f(x)简称导数而f(xo)是f(x)在xo处的导数或导数f(x)在

7、xo处的值左右导数所列极限存在则定义f(x)在xo的左导数f(xo)f(xoh)f(xo)hf(x)在xo的右导数f(xo)limhof(xoh)f(xo)h如果极限limf(xoh)f(xo)存在则称此极限值为函数在xo的左导数hoh如果极限limf(xoh)f(xo)存在则称此极限值为函数在xo的右导数hoh导数与左右导数的关系If(xo)Af(xo)f(xo)A2.求导数举例例1.求函数f(x)C(C为常数)的导数f(xh)f(x)CCc解f(x)lim-limohohhoh即(C)o一，一1,例2求f(x)一的导致x1一f(xh)f(x).xhxh11角牛f(x)limlimx-h_x

8、limlim-hohhohhoh(xh)xho(xh)xx2例3求f(x)的导数f(xh)f(x)xhx角系f(x)lim-limxh0hh0hhg11lim：lim-：-h0h(xh'x)h0xh.x2,x例2.求函数f(x)xn(n为正整数)在xa处的导数a n 1) na n 1解f(a)limf(xf-(a)limxnanlim(xn1axn2xaxaxaxaxa把以上结果中的a换成x得f(x)nxn1即(xn)nxn1(C)0(x)E(x)21x(x)x1更一般地有(x)x1其中为常数例3.求函数f(x)sinx的导数解f(x)limf(x?f(x)limsin(x?sinx

9、h0hh0hlim2cos(x)sinh0h22.hSinh2limcos(x)cosxh02h2即(sinx)cosx用类似的方法可求得(cos x )sin x例4.求函数f(x)ax(a>0a1)的导数f(xh)f(x)axhax解f(x)limlima-h0hh0haxlim"1令ah1taxlimth0ht0loga(1t)ax-axlnalogae特别地有(ex)ex例5.求函数f(x)logax(a>0a1)的导数解f(x)limf(xh)f(x)limloga(xh)logaxh0hh0hlimLoga(x上)llim勺oga(1h)-limloga(1h

10、)：h0haxxh0haxxh0ax1. 1logae-xxlna解f(x)limloga(xh)logaxlim-loga(ih)h0hh0hx-limloga(1h)h-logaexh0yaVx7xyaxlna(logax)1xlna特殊地(lnx)1x1(lOgax) 芯(lnx)3.单侧导数f (x h) 极限lim h 0 h侬存在的充分必要条件是limf(xh)f(x)及limf(xh)f(x)h0hh0h都存在且相等f(x)在x0处的左导数f(%)f(xh)f(x)f(x)在x0处的右导数f(x0)limh0f(xh)f(x)导数与左右导数的关系I函数f(x)在点X0处可导的充分

11、必要条件是左导数左导数f(X0)和右导数f(X0)都存在且相如果函数f(x)在开区间(a,b)内可导且右导数f(a)和左导数f(b)都存在就说f(x)有闭区间a,b上可导例6.求函数f(x)x|在x0处的导数f(0h)f(0).|h|d解f(0)limlim1h0hh0hf(0h)f(0).|h|df(0)limlim1h0hh0h因为f(0)f(0)所以函数f(x)|x|在x0处不可导四、导数的几何意义函数yf(x)在点X0处的导数f(X0)在几何上表示曲线yf(x)在点M(X0,f(x。)处的切线的斜率即f(x0)tan其中是切线的倾角如果yf(x)在点X0处的导数为无穷大这时曲线yf(x

12、)的割线以垂直于x轴的直线xX0为极限位置即曲线yf(x)在点M(X0,f(xO)处具有垂直于x轴的切线xX0由直线的点斜式方程可知曲线yf(x)在点M(X0,y。)处的切线方程为yyof(xo)(xxo)过切点M(xo,yo)且与切线垂直的直线叫做曲线yf(x)在点M处的法线如果f(xo)0法线的斜率为从而法线方程为f(xo)1yyofix)(xxo)例8求等边双曲线y1在点(1,2)处的切线的斜率并写出在该点处的切线方程和法线x2方程1解y3所求切线及法线的斜率分别为x2111k1(瓦)x1 xoVxo2<'xo(oxo)解之得xo 4于是所求切线的方程为y 4<436

13、(x 4)即 3x yk2x22k14所求切线方程为y24(x12)即4xy4o11所求法线万程为y21(x1)即2x8y15o例9求曲线yx4的通过点(o4)的切线方程解设切点的横坐标为xo则切线的斜率为31 1f (xo) (x2) 2x2x x)于是所求切线的方程可设为yxo&3阮(xxo)根据题目要求 点(o4)在切线上因此四、函数的可导性与连续性的关系lim yx 0设函数yf(x)在点xo处可导即limyf(x0)存在则xoxlimxlimlimxf(x0)00x0xx0xx0这就是说函数yf(x)在点x0处是连续的所以如果函数yf(x)在点x处可导则函数在该点必连续另一方

14、面一个函数在某点连续却不一定在该点处可导例7.函数f(x)3收在区间(，)内连续但在点x0处不可导这是因为函数在点x0处导数为无穷大，limf(0h)f(0)lim近旦厂、h0hh0h>1x他2函数的求导法则一、函数的和、差、积、商的求导法则定理1如果函数uu(x)及vv(x)在点x具有导数那么它们的和、差、积、商(除分母为零的点外)都在点x具有导数并且u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)u(x)v(x)u(x)v(x)v(x)v2(x)证明(1)u(x)v(x)limu(xh)v(xh)uv(刈h0hlimu(xh)u(x)v(xh)

15、v(x)u(x)v(x)hohh法则(1)可简单地表示为(uv)uvu(xh)v(xh)u(x)v(x)(2)u(x)v(x)Iim0，'h，1limu(xh)v(xh)u(x)v(xh)u(x)v(xh)hohu(xh)u(x)v(xh)v(x)lim-v(xh)u(x)hohhu(xh)u(x)v(xh)lim-limv(xh)u(x)limh0hhohohu(x)v(x)u(x)v(x)其中limv(xh)v(x)是由于v(x)存在故v(x加点x连续h0u(x)v(x)v(x)法则（2）可简单地表示为(uv)uvuvu(xh)u(x)(3) u(x)limv(xh)v(x)lim

16、u(xh)v(x)u(x)v(xv(x)hohhov(xh)v(x)hlimu(xh)u(x)v(x)u(x)v(xh)v(x)hov(xh)v(x)hu(xh)u(x)v(xh)v(x)-v-v(x)u(x)limhhhov(xh)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x)v2(x)法则(3)可简单地表示为zuxuvuv(v)wh)(uv)uv(uv)uvuv(V)uvv2uv定理1中的法则(1)、(2)可推广到任意有限个可导函数的情形例如设uu(x)、vv(x)、ww(x)均可导则有(uvw)uvw(uvw)(uv)w(uv)w(uv)w(uvuv)wuvwuvwuvwuvw即(uvw)uv

17、wuvwuvw在法则(2)中如果vC(C为常数)则有(Cu)Cu例1.y2x35x23x7求y解y(2x35x23x7)(2x3)5x2)3x)7)2(x3)5x2)3x)23x252x36x210x3例2f(x)x34cosxsin求f(x)及f(万)解f(x)(x3)(4cosx)(sin-2)3x24sinxf(5)424例3.yex(sinxcosx)求y解yex)(sinxcosx)ex(sinxcosx)ex(sinxcosx)ex(cosxsinx)2excosx例 4. y tan x 求 y解y3用(处) cosx即 (tan x) sec2x例 5. y sec x 求 y

18、“F1斛 y (secx) () cos x即(sec x) sec x tan x用类似方法还可求得余切函数及余割函数的导数公式(cot x)csc2x(csc x)csc x cot x(sin x) cosx sin x(cosx)cos2 xcos2x sin2 x(1)cosx 1 (cosx)cos2 xcos2x1 sec2xcos2xsin x , sec x tan cos2x二、反函数的求导法则定理2如果函数xf(y)在某区间Iy内单调、可导且f(y)0那么它的反函数yf1(x)在对应区间Ixx|xf(y)yIy内也可导并且11.dy1f1(x)-或丁丁f(y)dxdxdy

19、简要证明由于xf(y)在Iy内单调、可导(从而连续)所以xf(y)的反函数yf1(x)存在且f1(x)在Ix内也单调、连续任取xIx给x以增量x(x0xxIx)由yf1(x)的单调性可知yf1(xx)f1(x)0于是y1x_xy因为yf1(x)连续故limy0x0从而f 1(x) lim -yx 0 x.1limy 0 xy1fly)上述结论可简单地说成反函数的导数等于直接函数导数的倒数例6 .设x sin y y y,为直接函数则y arcsin x是它的反函数 函数x sin y在开区间(万，)内单调、可导且(siny)cosy0因此由反函数的求导法则(arcsinx) x2(siny)类

20、似地有(arccosx)在对应区间Ix(11)内有111cosy.1sin2y-1x21函数x tan y例7.设xtanyy(,-5)为直接函数则yarctanx是它的反函数在区间(,)内单调、可导且(tany)sec2y0因此由反函数的求导法则在对应区间Ix()内有1111(arctanx)2-2-2(tany)sec2y1tan2y1x21类似地有(arccotx)2函数x ay在区间I y (1x2例8设xay(a0a1)为直接函数则ylogax是它的反函数)内单调、可导且(ay)ayIna0因此由反函数的求导法则在对应区间I x (0)内有(10g a x)1(ay)11ay1n a

21、 xln a到目前为止所基本初等函数的导数我们都求出来了那么由基本初等函数构成的较复杂的初等函数的导数如可求呢？如函数Intanx、eg(x x) g(x)3、的导数怎样求？三、复合函数的求导法则g(x)可导则复合函数y fg(x)在点x定理3如果ug(x)在点x可导函数yf(u)在点可导且其导数为dxfi或dx抹证明当u g(x)在x的某邻域内为常数时y=f(x)也是常数此时导数为零结论自然成立g(x)在x的某邻域内不等于常数时此时有y fg(x x) fg(x)fg(xx) fg(x) g(x x) g(x)f(uu)f(u)g(xx)g(x)dyyf(uu)f(u)g(xx)g(x)li

22、m-lim1lim=x=f(u)g(x)dxxoxuoux0x简要证明dy.y.yu.y.ulimlimlimlimf(u)g(x)dxxoxxouxuouxox例9yex3求学dx解函数yex3可看作是由yeuux3复合而成的因此dydydueu3x23x2eX3dxdudx例10ysin2x求dy1x2dx解函数ysin：2是由ysinuu72复合而成的1 x21x2因此dydydu2(1x2)(2x)22(1x2)2xcosucccccoscdxdudx(1x2)2(1x2)21x2对复合函数的导数比较熟练后就不必再写出中间变量例11.lnsinx求dydx.dy11解,(lnsinx)

23、(sinx)cosxcotxdxsinxsinx例12.y*2x2求也dx1.2解学(12x2)31(12x2)3(12x2)4xoodx333(12x2)2复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形例如设 y f(u) u(v) v(x)则dydydudydudvdxdudxdudvdx例13.ylncos(ex)求dydx解dylncos(ex)-1cos(ex)dxcos(ex)1sin(ex)(ex)extan(ex)cos(ex)例14.yesinx求学dx1.115dysin_sin1sin_11、解(ex)ex(sin1)excos1(1)dxxxx1sin11excos一x

24、2x例15设x0证明募函数的导数公式(x)x1解因为x(elnx)elnx所以(x)(elnxelnx(lnx)elnxx1x四、基本求导法则与导数公式1 .基本初等函数的导数(C)0(2)(x)x1(3)(sinx)cosx(4)(cosx)sinx(5)(tanx)sec2x(6)(cotx)csc2x(7)(secx)secxtanx(8)(cscx)cscxcotx(9)(ax)axIna(10)(ex)ex1(11)(logax)王xina(12)(lnx)x(13)(arcsinx)11x2(14)(arccosx)1.1x2(15)(arctanx)11x2(16)(arccot

25、x)11x22.函数的和、差、积、商的求导法则设uu(x)vv(x)都可导则(1)(uv)uv(2)(Cu)Cu(3)(uv)uvuv3.反函数的求导法则设xf(y)在区间Iy内单调、可导且f(y)0则它的反函数yf1(x)在Ixf(Iy)内也可导并1dxdy4.复合函数的求导法则设yf(x)而ug(x)且f(u)及g(x)都可导则复合函数yfg(x)的导数为dydydu.-或y(x)f(u)g(x)dxdudx例16求双曲正弦shx的导数.解因为shx1(exex)所以,、1,、1,、.(shx)2(exex)2(exex)chx即(shx)chx类似地有(chx)shx例17求双曲正切th

26、x的导数解因为thx等所以chx(thx)ch2x即xch2xch2x例18求反双曲正弦arshx的导数解因为arshxln(x5x2)所以(arshx)1(1一x)1xJx21x21x2由archxln(x<x21)可得(archx)/1x21由arthx11nLx可彳导(arthx)21x1x21 x2类似地可得(archx)一；(arthx)例19.ysinnxsinnx(n为常数)求y解y(sinnx)sinnx+sinnx(sinnx)ncosnxsinnx+sinnxnsinnx(sinx)ncosnxsinnx+nsinn1xcosxnsinn1xsin(n+1)x

27、7;23高阶导数般地函数yf(x)的导数yf(x)仍然是x的函数我们把yf(x)的导数叫做函数yf(x)的二阶导数即y(y)f(x)f(x)dxydx般地(n 1)相应地把yf(x)的导数f(x)叫做函数yf(x)的一阶导数类似地二阶导数的导数叫做三阶导数三阶导数的导数叫做四阶导数阶导数的导数叫做n阶导数分别记作yy(4)y或需需dnydxn如果函数f(x)在点x处具有n阶函数f(x)具有n阶导数也常说成函数f(x)为n阶可导n阶的导数二阶及二阶以上的导导数那么函数f(x)在点x的某一邻域内必定具有一切低于数统称高阶导数y称为一阶导数yy(n)都称为高阶导数axb例2.sincost s 2s

28、in例3.证明 函数y J2x x2满足关系式y 3y 1 0证明因为y2 2x 1 x2 - 2x x22x x22x x2 (1 x)2 2x2，2x x22x x2 (1 x)22x x2(2x x2卜(2x x2)3y3(2x x2)2y所以y3y10例4.求函数yex的n阶导数解yexyexyexy(4)ex一般地可得y(n)ex即(ex)(n)ex例5.求正弦函数与余弦函数的n阶导数解ysinxycosxsin(x区)ycos(x万)sin(xy)sin(x2万)ycos(x2')sin(x2-2-2)sin(x3万)y(4)cos(x3)sin(x4-2-)般地可得y(n

29、)sin(xn)即(sinx)(n)sin(xn)用类似方法可得(cosx)cos(xn)例6.求对函数ln(1x)的n阶导数解yln(1x)y(1x)1y(1x)2(1)(2)(1x)3y(4)(1)(2)(3)(1x)4般地可得y(n)(1)(2)(n1)(1x)n(1)n1(n1)!(1x)nln(1x)(n)(1)n1(n1)!(1x)n例6.求哥函数yx(是任意常数)的n阶导数公式1)x般地1)(2)xy ( 4)1)(2)(3)x 4可得y (n)1)(2)1)x n(x严1)(2)n 1)x n时得到(xn)(n)1)(2)21n!(xn)(n1)如果函数u u(x)及v v(x

30、)都在点x处具有n阶导数那么显然函数u(x)v(x)也在点具有n阶导数且(uv)(n)u(n)v(n)(uv)uvuv(uv)uv2uvuv(uv)uv3uv3uvuv用数学归纳法可以证明n(uv)Cnku(nk)v(k)这一公式称为莱布尼茨公式例8.yx2e2x求y(20)解设ue2xvx2则(u)(k)2ke2x(k1,2,20)v2xv2(v)(k)0(k3,4,20)代入莱布尼茨公式得y(20)(uv严u(20)vC201u(19)vC202u(18)v220e2xx220219e2x2x019218e2x2220e2x(x220x95)学习参考§24隐函数的导数由参数方程所

31、确定的函数的导数相关变化率一、隐函数的导数显函数形如yf(x)的函数称为显函数例如ysinxylnx+ex隐函数由方程F(xy)0所确定的函数称为隐函数例如方程xy310确定的隐函数为yy3Tx如果在方程F(xy)0中当x取某区间内的任一值时相应地总有满足这方程的唯一的y值存在那么就说方程F(xy)0在该区间内确定了一个隐函数把一个隐函数化成显函数叫做隐函数的显化隐函数的显化有时是有困难的甚至是不可能的但在实际问题中有时需要计算隐函数的导数因此我们希望有一种方法不管隐函数能否显化都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来例1.求由方程eyxye0所确定的隐函数y的导数解把方程两边的每一项对x求

32、导数得(ey)(xy)(e)(0)即eyyyxy0从而yy(xey0)xey例2.求由方程y52yx3x70所确定的隐函数yf(x)在x0处的导数y|x0解把方程两边分别对x求导数得5yy2y121x60学习参考由此得y121x65y42因为当x0时从原方程得y0所以,121x6.1y|x0T|x023求椭圆后41在(2,*/3)处的切线方程1692把椭圆方程的两边分别对x求导得22yy09从而9x16y衿代入上式得所求切线的斜率k y lx 2、3丁所求的切线方程为y3/系(x2)即<3x4y830解把椭圆方程的两边分别对x求导y 3.32代入上式得1,3k y 1x2-34所求的切线

33、方程为y33(x2)即43x244y8.30例4.求由方程xygsiny。所确定的隐函数y的二阶导数dydx解方程两边对x求导得1dycosy2ddx于是dy2dx2cosy上式两边再对x求导得d2y2SinyN4sinydx2(2cosy)2(2cosy)3对数求导法这种方法是先在yf(x)的两边取对数然后再求出y的导数设yf(x)两边取对数得lnylnf(x)两边对x求导得1ylnf(x)yyf(x)lnf(x)对数求导法适用于求哥指函数yu(x)v(x)的导数及多因子之积和商的导数例5.求yxsinx(x>0)的导数解法一两边取对数得lnysinxlnx上式两边对x求导得1.1yc

34、osxlnxsinx一yx于是，.1、yy(cosxlnxsinx)s1nxsinx、xs1nx(cosxInx)x解法二这种哥指函数的导数也可按下面的方法求sin xe sin x lxyesinxlnx(sinxInx)xsinx(cosxInx-snx)x例6求函数y.(x1)(x2)的导数.(x3)(x4)解先在两边取对数(假定x>4)得1lny2【ln(x1)ln(x2)in(x3)ln(x4)上式两边对x求导得1y1(工Jy2x1x2x3x4y,1111、于7y271,厂2x-4)当x<1时y；(1x)(2x)当2Vx<3时yJ(x1)(x2).(3x)(4x)(

35、3x)(4x)用同样方法可得与上面相同的结果注严格来说本题应分x4x12x3三种情况讨论但结果都是一样的二、由参数方程所确定的函数的导数设y与x的函数关系是由参数方程x(?确定的则称此函数关系所表达的函数为由参y数方程所确定的函数在实际问题中需要计算由参数方程所确定的函数的导数但从参数方程中消去参数t有时会有困难因此我们希望有一种方法能直接由参数方程算出它所确定的函数的导数设x(t)具有单调连续反函数t(x)且此反函数能与函数y(t)构成复合函数y(x)若x(t)和y(t)都可导则dydydtdy1(t)dxdtdxdtdx(t)dtdy即曳-(t)或包桌dx(t)dxdxdt若x(t)和y都

36、可导则dy3dx(t)例7求椭圆xacostt在相应于t彳点处的切线方程bcott a解dy(bsint)bcostdx(acost)asint所求切线的斜率为dyt.dx 4切点的坐标为x0acosa_22y0bsin-b-22切线方程为yb字1(xa-22)即bxay2ab0例8 .抛射体运动轨迹的参数方程为xv1t12yv2t2gt2求抛射体在时刻t的运动速度的大小和方向yv2tgt2解先求速度的大小速度的水平分量与铅直分量分别为x(t)V1y(t)V2gt所以抛射体在时刻t的运动速度的大小为vx(t)2y(t)2,V2(V2gt)2再求速度的方向设是切线的倾角则轨道的切线方向为tand

37、ydxy(t)V2 gtx(t)已知x(t), y(t)如何求二阶导数y ?(t)dy_(t)dx(t)d112sin21_ a(1 cost) a(1 cost)2(t 2n n为整数)、相关变化率yd_(dy)d(t)dtdx2dx'dx，dt'(t)ddx(t)(t)(t)12(t)(t)(t)(t)(t)(t)3(t)例9.计算由摆线的参数方程x a(ty a(1sint) cost)所确定的函数yf(x)的二阶导数解dy®a(1cost)asintdxx(t)a(tsint)a(1cost),c呜(t2nn为整数)总旦(dy)d(co山里设x x及y y(t

38、)都是可导函数而变量x与y间存在某种关系从而变化率小与罪间dx2dxdxdt2dx相关变化率问题就是研究这两也存在一定关系这两个相互依赖的变化率称为相关变化率个变化率之间的关系以便从其中一个变化率求出另一个变化率例10一气球从离开观察员500f处离地面铅直上升其速度为140m/min（分）当气球高度为500m时观察员视线的仰角增加率是多少？解设气球上升t（秒）后其高度为h观察员视线的仰角为则tanh500其中及h都是时间t的函数上式两边对t求导得seddLdhdt500dt已知dh140（米/秒）又当h500（米）时tan1sec22代入上式得dtd12d140dt500所以diT57）00/

39、4（弧度/秒）即观察员视线的仰角增加率是每秒014弧度§25函数的微分一、微分的定义引例函数增量的计算及增量的构成一块正方形金属薄片受温度变化的影响其边长由X0变到X0x问此薄片的面积改变了多少？设此正方形的边长为x面积为A则A是x的函数AX2金属薄片的面积改变量为A(xox)2(xo)22xox(x)2几何意义2x0x表示两个长为xo宽为x的长方形面积(x)2表示边长为x的正方形的面积数学意义当x0时(x)2是比x高阶的无穷小即(x)2o(x)2xox是x的线性函数是A的主要部分可以近似地代替A定义设函数yf(x)在某区间内有定义xo及xox在这区间内如果函数的增量yf(xox)f

40、(xo)可表不为yAxo(x)其中A是不依赖于x的常数那么称函数yf(x)在点xo是可微的而Ax叫做函数yf(x)在点xo相应于自变量增量x的微分记作dy即dyAx函数可微的条件函数f(x)在点xo可微的充分必要条件是函数f(x)在点xo可导且当函数f(x)在点xo可微时其微分-一定是dyf(xo)x证明设函数f(x)在点xo可微则按定义有yAxo(x)上式两边除以x得yAo(x)xx于是当x。时由上式就得到Alimyf(x0)x0x因此如果函数f(x)在点xo可微则f(x)在点xo也一定可导且Af(xo)反之如果f(x)在点xo可导即limf(xo)x0x存在根据极限与无穷小的关系上式可写成

41、f(xo)x其中o(当xo)且Af(xo)是常数xo(x)由此又有yf(xo)xx因且f(xo)不依赖于x故上式相当于yAxo(x)所以f(x)在点xo也是可导的简要证明一方面yAxo(x)A0(x)limf(%)Axxxox别一方面lim上f(xo)Jf(%)yf(xo)xxxoxx以微分dy近似代替函数增量y的合理性当f(xo)0时有limylim/yvlimy1xodyx0f(x0)xf(xo)xodxydyo(dy)结论在f(xo)0的条件下以微分dyf(xo)x近似代替增量yf(xox)f(xo)时其误差为o(dy)因此在|x|很小时有近似等式ydy函数yf(x)在任意点x的微分称为

42、函数的微分记作dy或df(x)即dyf(x)x例如dcosx(cosx)xsinxxdex(ex)xexx例1求函数yx2在x1和x3处的微分解函数yx2在x1处的微分为dy(x2)|x1x2x函数yx2在x3处的微分为dy(x2)|x3x6x例2.求函数yx3当x2x0.02时的微分解先求函数在任意点x的微分dy(x3)x3x2x再求函数当x2x0.02时的微分dy|x2x0.023x2|x2,x0.023220.020.24自变量的微分因为当yx时dydx(x)xx所以通常把自变量x的增量x称为自变量的微分记作dx即dxx于是函数yf(x)的微分又可记作dyf(x)dx从而有dyf(x)d

43、x这就是说函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于该函数的导数因此导数也叫做微商”二、微分的几何意义当y是曲线yf(x)上的点的纵坐标的增量时dy就是曲线的切线上点纵坐标的相应增量当|x|很小时|ydy|比|x|小得多因此在点M的邻近我们可以用切线段来近似代替曲线段三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则从函数的微分的表达式dyf(x)dx可以看出要计算函数的微分只要计算函数的导数再乘以自变量的微分因此可得如果下的微分公式和微分运算法则1基本初等函数的微分公式导数公式微分公式(x)X(sinx)cosx(cosx)sinx(tanx)sec2x(cotx)csc2x(secx)secxtanx

44、(cscx)cscxcotx(ax)axlnad(x)x1dxd(sinx)cosxdxd(cosx)sinxdxd(tanx)sec2xdxd(cotx)csc2xdxd(secx)secxtanxdxd(cscx)cscxcotxdxd(ax)axlnadx(ex)exd(ex)exdx(logax)1xlna(lnx)1(arcsinx)11x2d(arcsinx)11x2dx(arccosx)11x2d(arccosx)J2dx(arctanx)1x2d(arctanx)x2dx(arccotx)11x2d(arccotx)2函数和、差、积、商的微分法则求导法则微分法则(u v) u

45、vd(uv)dudv(Cu)Cud(Cu)Cdu(uv)uvuvd(uv)vduudv/ijuvuvu、vduudv.(v)v2(v0)叱)vdx(v0)证明乘积的微分法则根据函数微分的表达式有d(uv)(uv)dx再根据乘积的求导法则有(uv)uvuv于是d(uv)(uvuv)dxuvdxuvdx由于udxduvdxdv所以d(uv)vduudv3复合函数的微分法则设yf(u)及u(x)都可导则复合函数yf(x)的微分为dyyxdxf(u)(x)dx于由(x)dxdu所以复合函数yf(x)的微分公式也可以写成dyf(u)du或dyyudu由此可见无论u是自变量还是另一个变量的可微函数微分形式

46、dyf(u)du保持不变这一性质称为微分形式不变性这性质表示当变换自变量时微分形式dyf(u)du并不改变例3.ysin(2x1)求dy解把2x1看成中间变量u则dyd(sinu)cosuducos(2x1)d(2x1)cos(2x1)2dx2cos(2x1)dx在求复合函数的导数时可以不写出中间变量例4yln(1ex2)求dy1解dydln(1ex2)-4-rd(1ex2)1 exLex2d(x2)ex22xdx衿rdx1 ex1ex1ex例5.ye13xcosx求dy解应用积的微分法则得dyd(e13xcosx)cosxd(e13x)e13xd(cosx)(cosx)e13x(3dx)e13x(sinxdx)e13x(3cosxsinx)dx例6.在括号中填入适当的函数使等式成立(1) d()xdx(2) d()costdt解(1)因为d(x2)2xdx所以xdx12d(x2)d(2x2)